双曲线极其标准方程教案
●教学目标
（一）教学知识点
1.双曲线及其焦点、焦距的定义.
2.双曲线的标准方程及其求法.
3.双曲线中a、b、c之间的关系.
（二）能力训练要求
1.使学生掌握双曲线的定义.
2.使学生掌握双曲线的标准方程及其推导方法.
3.使学生理解怎样的双曲线，其方程为标准方程，双曲线的标准方程所表示的曲线，
其图形有什么特征，并能根据双曲线的标准方程确定其焦点的位置.
4.使学生掌握a、b、c之间的关系.
（三）德育渗透目标
使学生通过对双曲线定义与椭圆定义的比较，双曲线标准方程与椭圆标准方程的比较，
双曲线与椭圆a、b、c关系的比较，掌握两种曲线的定义、标准方程及a、b、c关系的区别，并
认识到比较法是认识事物，掌握其实质的一种有效方法.
●教学重点
1.双曲线的定义.
2.双曲线的标准方程.
3.双曲线中a、b、c之间的关系.
●教学难点
双曲线的标准方程
●教学方法
指导学生自学法
学生在前面学过椭圆的有关内容，对于双曲线的内容只要与椭圆对照比较，教师再因
势利导给予必要的提示、点拨与帮助，学生完全可以自学掌握.
●教具准备
投影片三张
第一张：课本P105例1（记作§8.3.1 A）
第二张：课本P106例2（记作§8.3.1 B）
第三张：本课时教案后面的预习内容及预习提纲（记作§8.3.1 C）
●教学过程
Ⅰ.课题导入
［师］前面我们学习了椭圆的有关知识，请同学们回忆一下椭圆的距离定义.
［生］平面内与两个定点 F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭
圆，这两个定点叫做椭圆的焦点.两焦点的距离叫椭圆的焦距.（学生作答，教师板书）
［师］好，椭圆的标准方程是怎样的？
［师］ 12
2
2
2
b
y
a
x (a＞b＞0)
或 12
2
2
2
b
x
a
y (a＞b＞0)
（学生作答，教师板书）
［师］怎样的椭圆其方程为标准方程？
［生］中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆其方程为标准方程.（学生作答，教师板
书）
［师］标准方程所表示的椭圆其图形有什么特征？
［生］标准方程所表示的椭圆其中心在原点，焦点在坐标轴上.（学生作答，教师板
书）
［师］你能根据椭圆的标准方程确定其焦点究竟在哪个坐标轴上吗？
［生］哪个二次项的分母大，焦点就在相应的哪个坐标轴上.（学生作答，教师板书）
［师］求椭圆的标准方程，关键是什么？
［生］关键是确定a、b的值.（学生作答，教师板书）
［师］好，同学们对椭圆部分的基本内容掌握得很好，下面我们再来研究另外一种二
次曲线——双曲线（板书课题）.
Ⅱ.讲授新课
［师］课下，我们带着问题预习了双曲线及其标准方程一节，同学们利用 5分钟时间
再看一下课本，把我们提出的问题进一步搞清楚.
（学生看书，教师巡视）
［师］好，请同学们回答一下，双曲线的定义是怎样的？
［生］平面内与两个定点 F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨
迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点的距离叫做双曲线的焦距（学生
回答，教师板书）.
（若学生回答不严密，表述不清楚可看着课本读，或者学生从与椭圆的定义的对照中，
已发现了两者定义的相同与不同之处，表述已不成问题）
［师］与椭圆定义对照，比较两者有什么相同点与不同点？
［生］两者都是平面内动点到两个定点的距离问题，两者的定点都是焦点，两者定点
间的距离都是焦距，所不同的是椭圆是距离之和，双曲线是距离之差的绝对值.
（若学生回答不完全，教师要给予提示）
［师］好！但有一个问题想请同学们解释一下，椭圆是平面内到两定点的距离和为常
数的点的轨迹，双曲线是平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数的点的轨迹，只说
“差”不行吗？为什么要加“绝对值”三个字呢？
［生］只说差表示双曲线的一支，加上“绝对值”三个字，才能表示整条双曲线.
（学生根据预习情况，可以答出来，若答不出来，请学生在课本上找一找）
［师］可见双曲线有两支，丢掉任何一支都不是完整的双曲线，那么，双曲线的定义
中为什么要强调常数——差的绝对值小于|F1F2|呢？
［生］如果差的绝对值即常数等于|F1F2|，那么图形为两条射线；如果差的绝对差即
常数大于|F1F2|，那么无轨迹.
（如果学生答不来，教师可对学生作演示，启发学生明白这个道理，清楚这个约束条
件是非常必要的）
［师］好，双曲线的标准方程是怎样的呢？
［生］ 12
2
2
2
b
y
a
x (a＞0,b＞0)
或 12
2
2
2
b
x
a
y (a＞0,b＞0)
［师］与椭圆的标准方程比较，有什么区别？
［生］椭圆的标准方程中等式的左边是两项的和，双曲线的标准方程中，等式的左边
是两项的差.
［师］还有呢？
（学生观察，之后有一学生作答）
［生］椭圆中，a、b均为正，大小关系一定.
双曲线中a、b均为正，大小关系不定.
［师］双曲线标准方程是怎样建立起来的？
［生］以两个定点所在直线为 x轴或 y轴，以两个定点的中点为原点建立直角坐标系
求出来的.
［师］这两个定点的中点实质上就是双曲线的中心（为什么是中心将在双曲线的简单
几何性质中研究），因此我们可以说：中心在原点、焦点在坐标轴上的双曲线，其方程为标
准方程.（板书）
请同学们考虑一下，标准方程所表示的双曲线，其图形有什么特征？
［生］标准方程所表示的双曲线，其中心在原点，焦点在坐标轴上（学生回答，教师
板书）.
［生］根据双曲线的标准方程，谁能确定焦点究竟在哪个坐标轴上？
（学生观察思考、困惑，不知该怎样作答）
［师］对于椭圆的标准方程，哪个二次项的分母大，焦点就在哪个相应的轴上，类比
看看，该怎样表述呢？（仍无人回答）不要仅从大小上看（学生豁然开朗）
［生］哪个二次项系数是正的，焦点就在相应的哪个轴上.（板书）
［师］好，请注意：焦点始终在与双曲线相交的那个轴上.
求双曲线标准方程的关键是什么？
［生］关键是确定a、b的值.
［师］好，下面我们来看两个例子.
（打出投影片§8.3.1 A）教师读题
分析：这是一道清楚轨迹类型的题目，根据题意设出方程，确定a、b的值即可.
（学生在黑板上板书，教师讲解）
［师］再看这样一例
（打出投影片§8.3.1 B）教师读题
分析：这显然也是一道清楚轨迹类型的问题，同样根据题意设出方程，确定 a、b的值
即可，但这个题与例1所不同的是a、c的值不是直接可知，那么该怎样确定a、b的值呢？
［生］因为P1、P2两点都在双曲线上，并且坐标已知，所以由一个点的坐标，即可确定
a、b的一个关系，两个式子联立即可得a2、b2的值.
（学生经过预习，这个道理对于绝大多数同学是可以明白的）
［师］好，下面同学们合上课本，自己将这个题目的解答过程写一下.
（请一位学生在黑板上做，教师给予评讲）
［师］注意：本题是用待定系数法来解的，根据题意得到的关于待定系数 a、b的方程
组是一个分式方程组，并且分母的次数是 2，解这种方程时，利用换元法可以将它化为二
元一次方程组求解；也可以将 a2、b2分别整体作为未知数，直接化为分式方程组来解.
Ⅲ.课堂练习
1.课本P107练习1、4
2.写出课本P105页上方程①的简化过程.
答案：由 22)( ycx - 22)( ycx =±2a
∴ 22)( ycx =±2a+ 22)( ycx
∴x2+2cx+c2+y2
=4a2+x2-2cx+c2+y2±4a 22)( ycx
∴4cx-4a2=±4a 22)( ycx
∴c2x2+a4-2a2cx=a2x2+a2c2-2a2cx+a2y2
∴(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)
3.求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）a=4,b=3,焦点在 x轴上
（2）焦点为（0，-6）、（0，6），经过点（2，-5）
（3）焦点在 x轴上，经过点（- 3,2 ）、（ 2,3
15 ）
答案：（1） 1916
22
yx
(2) 11620
22
yx
(3) 13
2
2 yx
Ⅳ.课时小结
本节课我们学习了双曲线及其焦点、焦距的定义，双曲线的标准方程以及方程中a、b、c
三者之间的关系，同学们要与椭圆对照，比较其异同点进行掌握（对照板书进行强调，强
调定义、标准方程），a、b、c三者之间的关系，特别是不同点，强调怎样的曲线其方程为标
准方程；强调标准方程表示的曲线的特征；强调焦点位置的确定方法，指出焦点始终在与
双曲线相交的坐标轴上；强调求双曲线标准方程的关键.
Ⅴ.课后作业
（一）课本P108习题8.3 1、2、3
（二）1.预习内容：课本P106例3
2.预习提纲：
（1）在A处听到爆炸声的时间比在B处晚 2 s，说明了什么？
（2）根据题意怎样确定爆炸点的位置？为什么？
（3）如果 A、B两处同时听到爆炸声，那么爆炸点应在怎样的曲线上？
3.思考题
（1）已知方程 112
22
m
y
m
x 表示双曲线，求 m的取值范围.（课本P107练习3）
（2）方程 19
)2(
16
)1( 22 yx 表示双曲线吗？若是，其中心在哪里？焦点坐标是
什
么？若不是，说明理由.
●板书设计
二、双曲线
§8.3.1双曲线及其标准方程（一）
椭圆的定义
椭圆的标准方程
a、b、c三者间的关系
中心在原点、焦点在坐标轴上的椭圆，其方程为标准方程.
标准方程所表示的椭圆，其中心在原点，焦点在坐标轴上.
哪个二次项的分母大，焦点就在哪个相应的轴上.
求椭圆的标准方程，关键是确定a、b的值.
双曲线的定义
双曲线的标准方程
a、b、c三者间的关系
中心在原点、焦点在坐标轴上的双曲线，其方程为标准方程.
标准方程所表示的双曲线，其中心在原点，焦点在坐标轴上.
哪个二次项系数为正，焦点就在哪个相应的轴上.
求双曲线的标准方程，关键是确定a、b的值.
例1
例2
小结
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