三角函数的恒等变换
教学目标
1．熟练掌握三角变换的所有公式，理解每个公式的意义，应用特点，常规
使用方法等．
2．熟悉三角变换常用的方法——化弦法，降幂法，角的变换法等．并能应
用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明．
3．掌握三角变换公式在三角形中应用的特点，并能结合三角形的公式解决
一些实际问题．
重点难点
重点是掌握所有三角公式，并能应用它对三角函数式进行变形．
由于公式多，题目杂，因此对三角关系式进行变形时，要通过观察、分析，
合理的选择公式，灵活的运用公式，这是难点．另外，在三角形中应用三角变
换公式，也是难点．
教学过程
一、三角变换公式的使用特点
1．同角三角函数关系式
(1)理解公式中“同角”的含义．
(2)明确公式成立的条件，例如，tan2α+1=sec2α，当且仅当a≠k
(3)掌握公式的变形．特别需要指出的是
sinα=tanα·cosα，cosα=cotα·sinα．它使得“弦”可以用“切”来表
示．
(4)使用这组公式进行变形时，经常把“切”、“割”用“弦”表示，即化
弦法，这是三角变换非常重要的方法．
(5)几个常用关系式
①sinα+cosα，sinα-cosα，sinα·cosα；(三式之间可以互相表
示．)
同理可以由sinα-cosα或sinα·cosα推出其余两式．
A．恒正 B．恒负
C．可以为零 D．可得任意实数
分析 答案为A．
分析 用化弦法．
例 3 已知 sinθ+cosθ=m，tanθ+cotθ=n，则 m，n的关系是______．
分析 用化弦法得
②代入①得m2n=n+2．
2．诱导公式
(1)诱导公式中的角是使公式成立的任意角．
(2)正确使用诱导公式的关键是公式中符号的确定．
(3)sin(kπ+α)=(-1)ksinα；cos(kπ+α)=(-1)kcosα(k∈Z)．
分析 使用诱导公式，并用化弦法．
3．两角和与差的三角函数
(1)公式不但要会正用，还要会逆用．
例 6 计算：
．
(2)公式的变形应用要熟悉．
熟记：tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanα·tanβ)，它体现了两个角正切
的和与积的关系．
分析 (1)中涉及 80°与70°的正切和与积，(2)中涉及α+β与α的
正切差与积，所以都用正切和角公式的变形公式．
(3)角的变换要能灵活应用，如
α=(α+β)-β，β=α-(α-β)，2α=(α+β)+(α-β)等．
分析 因为β=(α+β)-α，所以求cosβ用余弦两个角差的公式．
分析 因为2β=(α+β)-(α-β)，所以
例 10 已知3 sinβ=sin(2α+β)，则tan(α+β)=2 tanα．
证明 将已知变形：
3sin(α+β-α)=sin(α+β+α) 3sin(α+β)cosα-
3cos(α+β)sinα=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα．
等式两边同时除以cos(α+β)·cosα，即得tan(α+β)=2tanα．
4．倍角公式，半角公式
(2)使用二倍角的正弦、余弦公式时，公式的选择要准确．
如已知sinα，cosα，tanα求cos2α时，应分别选择cos2α=1-
(3)余弦的二倍角公式的变形——升幂公式、降幂公式必须熟练掌握．要明
确，降幂法是三角变换中非常重要的变形方法．
对sin3α，cos3α的公式应记住．
(4)使用正弦、余弦的半角公式时，要注意公式中符号的确定方法．正
在使用无理表达式时，须要确定符号；在使用两个有理表达式时，无须确
定符号，这是与选用无理表达式最大的区别，因此在化简、证明题中，
例 11 求值：
(4)先把sin10°·sin50°·sin70°化成余弦，得
cos20°·cos40°·cos80°，由于20°，40°，80°顺序为2倍的关系，联想
到正弦的2倍角公式，
分析 使用 1±cosα的升幂公式，便于开方．
(2)5sin2θ-3sinθ·cosθ+2cos2θ．
分析 由已知得tanθ=-4．
(2)原式可以加一个分母sin2θ+cos2θ，这样分子、分母同时除以cos2
还可以这样研究：将sin2θ、cos2θ降幂，使用万能公式．原式=5·
5．和差化积、积化和差公式
这两组公式现在不要求记忆，但要会使用．
(1)要明确，这两组公式是解决正、余弦的加、减、乘的运算关系式．
(3)对下列关系式要熟记：
例 14 将下列各式化积：
(1)1-sin2α-cos2α；
(2)sin5x·sin4x-sin3x·sin2x-sin8x·sinx；
分析 对(1)，题中有 1±cosα时，通常都用升幂公式．对(2)、(3)，
先将乘积化和差，再和差化积．
例 15 求值：
(1)cos2A+cos2(60°+A)+cos2(60°-A)；
(1)分析 可以用余弦的两角和、差公式展开计算；若先降幂，再化积更
简单．
(1)cos(α-β)； (2)sin(α+β)-2cos(α+β)．
解(1) 将已知的两式平方相加，得
(2)将已知的两式化积并相除，得
评述 对sinα±sinβ=a，cosα±cosβ=b这样两个式子通常的用法是，
如(1)，两式平方相加；如(2)，两式化积并相除．这两种用法要掌握．
6．三角形中的三角变换
三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三
角形自身的特点．
(1)角的变换
因为在△ABC中，A+B+C=π，所以
sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=-cosC；tan(A+B)=-tanC．
(2)三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理．
r为三角形内切圆半径，p为周长之半．
在非直角△ABC中，tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC．
(4)在△ABC中，熟记并会证明：
∠A，∠B，∠C成等差数列的充分必要条件是∠B=60°．
△ABC是正三角形的充分必要条件是∠A，∠B，∠C成等差数列且a，b，c
成等比数列．
[ ]
若 A为钝角，则A∈(120°，180°) A+B＞180°，不可能，所以
例 18 判定满足下列条件的△ABC的形状
解 (1)由已知及正弦定理得
因此△ABC是以∠C为顶角的等腰三角形或以∠C为直角的直角三角形；
因此△ABC为正三角形．
例 19 △ABC中，若∠A，∠B，∠C顺序成等差数列，则cos2A+cos2C的
取值范围是______．
分析 因为∠A，∠B，∠C顺序成等差数列，所以2B=∠A+∠C，
∠B=60°，∠A+∠C=120°．
对cos2A+cos2C用降幂变形，得
二、综合题分析
分析 要求角的大小，一般的方法是求角的一个三角函数值，但是为了
确定这个角的函数值，还必须研究这个角的范围．
二象限．
评述 (1)本题涉及倍角、半角、差角公式，因此作题时要分步进行，
(2)判定一个角所在的象限，常常需要这个角的两个三角函数值．
例 23 求值：
(1)4cos235°-cos170°-tan160°·sin170°；
(2)cot70°+4cos70°．
还可以采用下面的解法：
由上面的变形，得
评述 对于(2)，通分后，出现了sin 20°+2 sin 140°，非特殊
角间的正、余弦的代数和经常走和差化积的思路，这就需要创造和差化积的条件
第一种解法创造和差化积的条件方法是将2sin140°分成两部分；第二种解法
创造和差化积的条件方法是取 20°，40°的平均值30°，这样展开以后，可以
合并同类项，便于化简．
例 24 在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若
2sin2A=3sin2B+3sin2C，cos2A+3cosA+3cos(B-C)=1，求a∶b∶c及三个角的大
小．
解 由cos2A+3cosA+3cos(B-C)=1得
3cosA+3cos(B-C)=1-cos2A=2sin2A．
有 3sin2B+3sin2C=3cosA+3cos(B-C)，
1-cos(B+C)·cos(B-C)=cosA+cos(B-C)
1+cosA·cos(B-C)=cosA+cos(B-C)
1-cosA=cos(B-C)(1-cosA)．
由1-cosA≠0，得cos(B-C)=1，即∠B=∠C．
将∠B=∠C代入cos2A+3cosA+3cos(B-C)=1中，得
所以 ∠B=∠C=30°．
例 25 在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若
∠A，∠B，∠C顺序成等差数列，且 log4sina+log4sinC=-1，三
根据正弦定理
例 26 △ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若 a，b，c
顺序成等差数列，且∠A-∠C=120°，求sinA，sinC．
解 因为2b=a+c，由正弦定理得
能力训练
1．已知cos(-110°)=m，则tan 70°等于
[ ]
[ ]
3．在△ABC中，∠A＞∠B是 sina＞sin B的
[ ]
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件
[ ]
5．若 13sinα+5cosβ=9，13cosα+5sinβ=15，则sin(α+β)的值是
[ ]
6．已知tan(α+β)=3，tan(α-β)=5，则tan2α=______．
______．
9．求值：
(1)cos422°30′+cos467°30′；
(2)sin20°·cos50°+sin220°+cos250°；
(3)tan22°·tan31°+tan31°·tan37°+tan37°·tan22°；
(4)tan9°+cot117°-tan243°-cot351°．
10．根据下列条件，判定△ABC的形状．
∠B所对的边)．
11．求值：sec50°+tan10°．
12．求值：2sin20°+2cos25°+cot70°·sin10°．
13．△ABC中，若∠A，∠B，∠C所对的边a，b，c顺序成
答案提示
1．D 2．A 3．C 4．B 5．C
(3)tan31°(tan22°+tan37°)
+tan37°·tan22°=tan31°·tan59°·(1-tan22°·tan37°)
+tan37°·tan22°=1
10．(1)以∠A为顶角的等腰三角形
以△ABC为正三角形
(3)cos(A-B)+cosC=cos(A-B)-cos(A+B)=2sina·sinB=2sin2C，由正弦
设计说明
本部分内容公式多，变形灵活，学生会感到有困难．因此在复习时，重点
放在公式的基本使用方法和变形方法上．根据高考要求，题目不宜过难、过繁．
对三角形中的三角变换及三角的应用要给予重视．
/13
