两角和的余弦教案
教学目的：
1．使学生初步理解两角和的余弦公式及其证明过程；
2．通过公式的论证，提高学生在直角坐标系下的推理能力；
3．通过本节的教学培养学生探索、归纳、猜想、论证的能力；
4．进一步认识“坐标法”在学习三角函数知识中的重要性．
教学重点：
两角和的余弦公式的推导．
教学难点：
公式的推导．
教学过程：
一．新课引入
问题与思考：
问题：下列两个等式成立吗？
（1）cos75º = cos（45º+30º）= cos45º + cos30º
（2）cos60º = cos（30º+30º）= cos30º + cos30º
这两个问题可以引起同学们的思考，会得到“一致”认识：不成立！但为什么不成立？
（1）由于 cos45º+cos30º= 2
2 + 2
3 >1
而 cos75º<1 ∴（1）不成立．
（2）cos30º+cos30º=2cos30º=2× 2
3 = 3 >1.
cos60º= 2
1 ∴（2）不成立.
提出问题：
那么 cos（45º+30º）= ? 能否用 45º，30º的三角函数来表示呢？
这里就提出一个问题：
如何用单角 α、β的三角函数表示 cos（α+β）
注意：这里 α、β为任意实数．
二、新课：
（板书）两角和的余弦公式
1．直接写出结果：cos (α+β) = cosαcosβ－sinαsinβ 记作 Cα＋β
2．分析一下公式的特征：
(ⅰ) 左式为两角和的余弦：即 cos（α+β）
右式为这两个角的余弦乘积 cosαcosβ减去这两个角正弦乘积 sinαsinβ.
(ⅱ) 注意符号特征：左式余弦中是 α+β
右式是余弦积－正弦积
3．验证：
（1） cos75º
= cos（45º+30º）
= cos45º·cos30º－sin45º·sin30º
= 2
2 × 2
3 － 2
2 × 2
1
= 4
26
大家已经知道 cos60º＝ 2
1 ，我们用两角和余弦公式验证：
（2） cos60º
= cos（30º+30º）
= cos30º·cos30º－sin30º·sin30º
= 2
3 × 2
3 － 2
1 × 2
1
= 4
1
4
3
= 2
1
4．练习：
（1） cos165º
= cos（120º+45º）
= cos120ºcos45º－sin120ºsin45º
（符号相异）
= 2
2
2
3
2
2
2
1
= 4
6
4
2
= 4
62
（2） cos (－105º)
= cos105º
=cos（60º+45º）
= cos 60º·cos45º－sin60º·sin45º
= 2
2
2
3
2
2
2
1
= 4
62
（3） cos (－ 12
61 )
= cos 12
61
= cos (4π+12
13 π)
=cos12
13 π
=cos
4
3
3
= cos 3
·cos 4
3 －sin 3
·sin 4
3
= 2
2
2
3
2
2
2
1
= 4
6
4
2
= 4
62
（4）求值 cos13º·cos17º－sin13º·sin17º
∵ cos13ºcos17º－sin13ºsin17º = cos（13º+17º）= cos30º
∴ 原式＝ 2
3
（5）求值： cos 12
5 cos 12
7 －sin 12
5 sin 12
7
解：原式＝cos（ 12
5 + 12
7 ）= cos 12
12 = cosπ = －1
（6）填空：① cos 3
·( )－( )·sin 6
= cos 2
② = cos(α－β)·cosβ－sin(α－β)·sinβ
5、证明：cos（α+β）= cosα·cosβ－sinα·sinβ
怎么证？→想到“数形”的转换！怎么转变？
ⅰ）我们可以用初中熟悉的“平面几何法”转换：
注意：这里使用的 α、β角均为正锐角，与我们要求的 α、β为任意实数，有距离．还有
什么办法？～三角函数的几何表示—单位圆！！
ⅱ ） 坐 标 法 ： 把 α 、 β 、 α+β 都 放 入 单 位 圆 ， 利 用 单 位 圆 把
cosα、cosβ、sinα、sinβ、cos（α+β）联系起来，如图：
很多同学会想到在 ΔP1OP3中用余弦定理求 cos (α+β)，但| P1P3 | ＝？（|OP1| = |OP3| =
1）出现了距离问题！
怎么计算这个距离～引出两点间距离公式．P1P2＝ 212212 yyxx
P1（x1,y1）、P2 (x2,y2)
因此，需要知道 P1、P2、P3点的坐标．
显然 P1（1，0）、P2（cosα，sinα）、P3（cos（α+β），sin（α+β））
这里请注意，求 P1P3的目的是求 cos（α+β），不可能仍在这个三角形中去求 P1P3，如
何求 P1P3？只能再构造一个三角形．利用两种不
同的方式表示同一个量求 P1P3，也就是说只有通
过一个含 P1P3的方程来求解，所以我们作出
ΔP4OP2≌ΔP1OP3，∠P2OP4＝α+β，如图：
P4（cos（－β），sin（－β））
∵ P1P3 = P2P4
∴ [cos（α+β）－1]2+sin2（α+β）=[cos（－
β）－cosα]2+[sin（－β）－sinα]2
展开并整理，得
2－2cos（α+β）= 2－2（cosαcosβ－sinαsinβ）
∴cos （ α + β ） = co s α ·cos β － sin α ·sin β
提问：这里的 α、β是特殊角？还是任意角？
联想：任意角的三角函数是怎么定义的？
再次强调：1．公式特征
2．α、β角的任意性
6．例题：
（1） 已知 cosθ =－13
5 ，θ∈（π， 2
3 ）. 求：cos（θ + 6
）的值．
解：∵ cosθ =－13
5 ，θ∈（π， 2
3 ）
∴ sinθ = 13
2
又∵ cos（θ+ 6
）=cosθ·cos 6
－sinθ·sin 6
∴cos（θ+ 6
）= 2
1
13
12
2
3
13
5
= 13
6
26
35 = 26
65
13
6
（2）已知：cos（θ－30º）=17
15 . θ∈（30º，90º）
求：cos θ的值．
解：∵ 30º＜θ＜90º
∴ 0º＜θ－30º＜60º cos (θ－30º) =17
15
∴ sin（θ－30º）=17
8
cosθ= cos[（θ－30º）+30º]
= cos（θ－30º）·cos30º－sin（θ－30º）sin30º= 2
1
17
8
2
3
17
15
= 34
8315
三．小结：
1．两角和的余弦公式的内容和推导．
2．公式的使用：① 正用与逆用 ② 变用
四．思考：
1．你能从 cos（α+β）= …… 得出 cos（α－β）= ？吗？
2．你能从 cos（α+β）= …… 得出 sin（α+β）= ? 吗？
/1
