充要条件教案
一、教学目标
(一)知识教学点
通过这节课的教学，要求学生正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个
概念，并能在论证中正确地运用．
(二)能力训练点
充要条件是重要的数学概念．它主要讨论命题的条件和结论的关系．通过
对充分条件、必要条件和充要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和
归纳的逻辑思维能力．
(三)学科渗透点
运用充分、必要、充要条件以及轨迹的纯粹性、完备性等知识，阐明曲线与方
程在坐标系建立的条件下是怎样既对应又统一的，怎样互相转化的，在进一步
理解曲线的方程、方程的曲线的概念及其相互关系的过程中进行辩证唯物主义思
想教育．
二、教材分析
1．重点：充分条件、必要条件和充要条件的概念．
(解决办法：对这三个概念分别先从实际问题引起概念，再详细讲述概念，
最后再应用概念进行论证．)
2．难点：充分条件、必要条件和充要条件三个概念在论证中的正确运用．
(解决办法：先要求学生分清什么条件是什么条件的充分条件或必要条件，
同时要注意一些常见命题的正确性．)
3．疑点：证明有关充要条件的命题．
(解决办法：先要学生分清充分性、必要性，再进行证明，要加强这方面的
训练．)
三、活动设计
1．活动：提问、讲授、引导练习．
2．教具：小黑板．
四、教学过程
(一)复习引入
教师概述一下命题的四种形式，并指出原命题与逆否命题等价，逆命题与
否命题等价．而命题的四种形式与条件的充分性和必要性有密切联系，所以本
节课着重讨论充分条件、必要条件和充要条件三个概念．课题是“充要条件”．
(二)充分条件
1．问题
命题“如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形”中，
条件和结论各是什么？条件和结论是什么关系？
请一同学回答．条件是“有两个角相等”，结论是“三角形是等腰三角
形”，条件是结论的充分条件，即“有两个角相等”是“三角形是等腰三角
形”的充分条件．
2．定义
如果A成立，那么B成立，即A B，就称条件A是B成立的充分条件．也
就是说，为使B成立，具备条件A就足够了．
立，可以推得A也不成立，那么同样可得条件A是B成立的充分条件．
3．例题 1(列举4个例子，用一小黑板事先写好，请4名同学完成．)
(1)如果x=y，那么x2=y2，因此x=y是 x2=y2的______条件；(充分)
(2)如果两角是对顶角，那么这两角相等，因此，两角是对顶角是这两角相
等的______条件；(充分)
(3)如果A=B，那么sinA=sinB，因此A=B是 sinA=sinB的______条件；(充
分)
(4)如果不重合的两条线l1、l2的斜率k1=k2，那么l1//l2，因此k1=k2是
l1//l2的______条件．(充分)
(三)必要条件
1．问题
命题“如果三角形是等腰的，那么它有两个角相等”中，条件和结论是什
么？条件和结论有什么关系？
请一同学回答．条件是“三角形是等腰的”，结论是“有两个角相等”，
“三角形是等腰三角形”是“它有两个角相等”的充分性．接着追问：“有两
个角相等”是“三角形是等腰三角形”的什么条件？引导学生回答：是必要条
件．
2．定义
如果B成立，那么A成立，即B A，就称条件A是B成立的必要条件．也
就是说，要使B成立，就必须A成立．
立，可以推得B也不成立，那么同样可得条件A是B的必要条件．
3．例题 2(列举4个例子，用一小黑板写好，请4名同学完成．)
(1)如果x=y，那么x2=y2，因此x2=y2是 x=y的______条件；(必要)
(2)如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等，因此，两个三角
形面积相等是它们全等的______条件；(必要)
(3)如果A=B，那么sinA=sinB，因此，sinA=sinB是 A=B的______条件；
(必要)
(4)如果两条有斜率的直线l1//l2，那么它们的斜率k1=k2，因此，k1=k2
是 l1//l2的______条件．(必要)
(四)小结
学习充分条件与必要条件，一定要分清什么条件是什么条件的充分
A的必要条件．教师应教会学生按照：“如果A B，那么A是B的充
样可以避免错误．
如：x2=y2是 x=y的充分条件吗？x=-y是 x2=y2的必要条件吗？
=-y的充分条件，同时可知x=-y不是x2=y2必要条件．
(五)充要条件
1．定义
如果既有A B，又有B A，即如果有A B，那么从A B可知A是
B成立的充分条件，又从B A可知A是B成立的必要条件，就称A是B成立的
充分而且必要条件，简称充要条件．
提醒学生注意：若 A B，则 A是 B成立的充要条件，显然 B也是A成立
的充要条件．
2．例题 3(列举 5个例子，事先用一小黑板写好，请 5名同学完成．)
(1)“有两个角相等”是“三角形是等腰三角形”的______条件；(充要)
(2)“两条有斜率且不重合的直线l1、l2的斜率k1=k2”是“l1//l2”的___
___条件；(充要)
(3)“x=y”是“x2=y2”的______条件；(充分不必要)
(4)“两个三角形面积相等”是“它们全等”的______条件；(必要不充分)
(5)“A＞B”是“sinA＞sinB”的______条件．(既不充分又不必要)
这时，教师指出：判断“A”是“B”的什么条件时，先看 A B是否成立，
再看 B A是否成立，从这两个方面作结论不会出错．
(六)巩固练习
1．下列四个命题中，甲是乙的什么条件？(请一同学演板)
(1)甲：ab=0，乙：a2+b2=0______条件．
(2)甲：|a|+|b|＞|a+b|，乙：ab≠0______条件．
(3)甲：a+b=-p，ab=q，乙：a，b是方程x2+px+q=0的两根______条件．
(4)甲：cosA＞cosB，乙：A＞B______条件．
答案：(1)必要不充分；(2)充分不必要；(3)充要；(4)既不充分又不必要
2．设A是 C的充分条件，B是 C的充分条件，D是 C的必要条件，D是B的
充分条件．
试问：
(1)D是 C的什么条件？
(2)A是 B的什么条件？
引导学生完成，教师板书．
解：∵A是 C的充分条件，∴A C．
∵D是 C的必要条件，∴C D．
∵D是B的充分条件，∴D B．
由上述互推关系可得：A C D B．
又∵B是 C的充分条件，∴B C．
A C D B C．
(1)∵C D，
∴D是 C的充要条件；
∴A是 B的充分不必要条件．
(七)全课小结
本课主要讲授了充分条件、必要条件、充要条件三个基本概念，着重理解A
B即 A是 B成立的充分条件，B A即 A是 B成立的必要条件，A B即 A是
B成立的充要条件(或B是A成立的充要条件)．
五、布置作业
1．在下列括弧中填写：“充分条件”或“必要条件”或“充要条件”：
(1)“m是有理数”是“m是实数”的( )；
(2)“x2-1=0”是“x-1=0”的( )；
(3)“x=2”是“x2-5x+6=0”的( )；
(4)“x＜5”是“x＜3”的( )；
(5)“内错角相等”是“两直线平行”的( )；
(6)“ABCD是矩形”是“ABCD是平行四边形”的( )；
(7)“两边和夹角对应相等”是“三角形全等”的( )．
2．(1)已知A和B是两个命题，如果A是B的充分条件，那么B是
(2)kAB=kBC是A，B，C三点在一直线上的______条件．
3．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，
但不是乙的必要条件，那么丙是甲的什么条件？
作业答案：
1．(1)充分条件；(2)必要条件；(3)充分条件；(4)必要条件；(5)充要条
件；(6)充分条件；(7)充要条件
2．(1)必要，必要；(2)充分不必要
六、板书设计
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