充要条件教案
教学目标
1．使学生正确理解充分条件、必要条件和充要条件3个概念，并能在判断、
论证中正确运用．
2．在师生、学生间的数学交流中增强逻辑思维活动，为用等价转化思想解
决数学问题打下良好的逻辑基础．
教学重点与难点
正确理解3个概念，并在分析中正确判断．
教学过程
师：上堂课后留了一道题：给出原命题“若A，则B”(板书)，写出它的逆
命题、否命题、逆否命题．请同学们回答．
生：(口答，师板书)
原命题：若A，则B．
逆命题：若B，则A．
否命题：若非A，则非B．
逆否命题：若非B，则非A．
师：请同学们构造4个原命题，写在投影片上．要求是：
(1)原命题成立，逆命题不成立；
(2)原命题不成立，逆命题成立；
(3)原命题成立，逆命题成立；
(4)原命题不成立，逆命题也不成立．
(师巡视后，选4位同学的投影片待用．以下讨论将随机应变，下面写的只
是一种设想．)
师：(取第一位同学的投影片定格，并板书．)
原命题：如果 x=y，那么x2=y2．
师：这个原命题成立吗？
生：(口答)成立．
师：这个原命题的逆命题是什么？是否成立？
生：(口答)这个原命题的逆命题是：如果x2=y2，那么x=y．不成立．
师：请举一个逆命题不成立的例子．
生：(口答)例：取 x=1，y=-1．满足x2=y2，但x≠y．
师：如果我们把原命题的条件“x=y”记作A，把原命题的结论
称A是B的充分条件，B是A的必要条件．由于逆命题不成立，即
这个例子的原命题成立，但它的逆命题不成立．即“x=y”是“x2=y2”的充
分但不必要条件．
师：(取第二位同学的投影片定格，并板书．)
原命题：如果两个三角形面积相等，那么这两个三角形全等．
师：这个原命题成立吗？
生：(口答)不成立．
师：请举一个例子．
生：(板书)
因为AA′∥BC，所以S△ABC=S△A′BC．但这两个三角形不全等．
师：请叙述这个原命题的逆命题，并说明是否成立．
生：(口答)
如果两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等．
这个逆命题成立．
师：如果原命题不成立，而逆命题成立．我们说原命题的条件对结论的成
立是必要但不充分的．也就是说：“两个三角形面积相等”是“这两个三角形
全等”的必要但不充分条件．把本例原命题的条件记作A，结论记作B．由于原
命题不成立，而逆命题成立．即：A B，则称A是B的必要但不充分条件．
师：(取第三位同学投影片定格，板书．)
原命题：x2+y2=0，则x=0且 y=0．这个命题成立吗？
生：(口答)成立．
师：这个原命题的逆命题怎样叙述？是否成立？
生：(口答)“如果 x=0且 y=0，则x2+y2=0”．这个逆命题是成立的．师：
如果原命题成立，逆命题也成立．我们说原命题的条件是其结论的既充分又必
要的．本例中，把“x2+y2=0”记作A，把“x=0且 y=0”
分且必要条件，简称A是B的充要条件．
师：(取第四位同学的投影片定格，并板书．)
原命题：如a＞b，则|a|＞|b|．
这个原命题成立吗？并说明理由．
生：(口答)不成立．例：a=-1，b=-2．满足a＞b，但不满足|a|＞|b|．师：
请说出这个原命题的逆命题，并说明是否成立．
生：(口答)“如果|a|＞|b|，则a＞b”．不成立．例：a=-3，b=1．满足|
a|＞|b|，但不满足a＞b．
师：如果把原命题的条件记作A，原命题的结论记作B．本例是
A B，则称A是B成立的既不充分又不必要条件．
现在我们总结一下，本节所讲叙的概念(板书．)
件，B是A的必要条件．
A B，称A是B的充分但不必要条件；
A B，称A是B的必要但不充分条件；
A B，称A是B的既不充分又不必要条件．
以上前两条给出了充分条件、必要条件、充要条件这3个概念；第3条给出
了判断A是B的什么条件的依据．
现在请同学们回答：A B，B是 A的什么条件？
生：(讨论后回答)B是 A的必要但不充分条件．
师：请同学们阅读课本第50页，有关“曲线的方程”和“方程的曲线”的
定义．
(投影或计算机操作显示)
在直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上
的点与一个二元方程f(x，y)=0的实数解建立了如下关系：
1．曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
2．以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线
的方程；这条曲线叫做方程的曲线(图形)．
师：我们把“曲线的方程”和“方程的曲线”看成条件A，把关系1、2看成
B．它们都是A的必要条件．两者都满足了，A才具备充分性，即A是B的充要
条件．如果两者缺一，譬如仅把关系1看成B，那么A是B的充分但不必要条件．
为此，在定义“曲线的方程”和“方程的曲线”时，关系1、2缺一不可．实际
上这也是一个充要条件问题，是我们数学中常见的等价转换问题．
现在请看以下例题：
例 1 两条不重合的直线 l1、l2(共同前提)．l1与 l2的斜率分别为 k1、k2，且
k1=k2是 l1∥l2的什么条件？
(学生讨论后回答)
生甲：两条不重合的直线 l1、l2的斜率相等是 l1∥l2的充要条件．
师：这个结论对吗？
生乙：不对．因为 l1∥l2，有可能 l1和 l2的斜率不存在．故两条不重合的
直线 l1、l2的斜率相等是 l1∥l2的充分但不必要条件．
师：生乙的回答很好．如何改变命题的条件(或结论)，使命题的条件是结
论的充要条件呢？
生丙：把命题的结论改为“l1∥l2，且 l1、l2都有斜率”即可．
例 2 “0.1lgx2＞1”是“|x|＜1”成立的
[ ]．
A．充分但不必要条件
B．必要但不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
(学生讨论后回答)
例 3 “三棱锥(底面是非正三角形)的侧面和底面所成的二面角均相等”
是“三棱锥的顶点在底面的射影是底面的内心”的什么条件？
生：(口答)是充要条件．
师：同学们再想一想．
生：是充分但不必要条件．
师：为什么？
生：因为顶点在底面的射影有可能是非等边三角形的旁心．
师：大家再讨论一下，这位同学的结论是否正确？
生：(讨论后回答)不正确．应该是必要但不充分条件．其理由是：把条件
“三棱锥(底面是非等边三角形)的侧面和底面所成的二面角均相等”看成
A，“三棱锥的顶点在底面的射影是底面的内心”看成B．那么A B．理由是
有可能三棱锥的顶点在底面的射影是底面三角形的旁心．所以，A是B的必要但
不充分条件．
师：这位同学回答得很好．如何改变命题的条件，使其成为充要条件呢？
生：条件A是“三棱锥(底面是非等边三角形)的侧面和底面所成的二面角
均相等，且顶点在底面的射影落在底面三角形内”即可．
[ ]
(同学们讨论回答)
例 5 已知α是β的充要条件，S是γ的必要条件同时又是β的充分条
件，试求α与γ的关系．
师：请同学们把解答写在投影片上．
(师巡视后，选错误及正确解答展示，最后把正确解答定格．)
解：由已知得
所以γ是α的充分条件，或α是γ的必要条件．
例 6 (投影展示)
A B A是 B的什么条
件
n是自然数 n是整数
x是实数 x是有理数
x＞5 x＞3
m、n是奇数 m+n是偶数
a＞b a2＞b2
四边形对角互补 四顶点共圆
△ABC≌△A′B′C′ △ABC∽△A′B′C′
α=45° tanα=1
x∈A且 x∈B x∈(A∩B)
ab≠0 a≠0
(x+1)(y-2)=0 x=-1或 y=2
m是4的倍数 m是2的倍数
方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个
相等实根
Δ=b2-4ac=0
x=1或 x=-3 x2+2x-3=0
a2-b2=0 a＝0
(学生兴趣盎然，数学交流达到了高潮，在争论中得到正确答案．)
师：今天我们学习了充分条件、必要条件、充要条件3个概念，并学会了判
断条件A是B的什么条件．也为今后我们解决数学问题打下了等价转化的基础．
今天的作业：
1．第58页练习 1，2，3，4．
2．第 61页习题四，9．
3．构造16个小题，代数、三角、立体几何、解析几何各 4个．分别为A是B
的充分但不必要条件、A是B的必要但不充分条件、A是B的充要条件、A是B的既
不充分又不必要条件．
设计说明
1．“充要条件”是高中数学中一个重要的数学概念，也是学生解决数学问
题时进行等价转换的逻辑基础．在实际教学中，这一节一般有两种处理方法：
第一种是，在高一讲授或高二解析几何起始课时讲授，俗称“前充要”；第二
种是按教材编排，放到解析几何第二章讲授，俗称“后充要”．本节教案为
“后充要”设计．
2．由于“充要条件”与“原命题、逆命题、否命题、逆否命题”紧密相关．
而学生在初中都了解到原命题与逆否命题、否命题与逆命题是等价的．为此，本
教案着重从“原命题、逆命题”与“充要条件”的联系进行分析，从而没有提及
否命题和逆否命题．在实际教学中，可将否命题与逆否命题容纳进去．
3．本教案有悖于教材，仅从 A是 B的充分但不必要条件，必要但不充分条
件，充要条件，既不充分又不必要条件4个方面进行明确叙述，便于学生进行
正确的判断．
4．由于这节课概念性、理论性较强．一般的教学使学生感到枯燥无味．为
此，激发学生的学习兴趣是关键．把课堂由老师当演员转为学生当演员，以学
生为主，让学生自己构造数学题，自我感到数字美．从而培养学生的数学能力，
为强化等价转换这一数学思想打下良好的逻辑基础．
5．充要条件这节课是个难点，也是高中数学的基础．如有可能，不妨先给
学生介绍点简易逻辑知识．譬如，什么叫命题？用语言、符号或式子表达的，而
且能判断真假的语句叫做命题．两个命题 p、q用逻辑联词“且”联结起来构成
一个新命题，称为联言命题．联言命题的真假，只有当p、q同真时，才是真命
题．两个命题 p、q用逻辑联词“或”联结起来构成一个新命题，称为选言命题．
选言命题的真假，如 p、q中至少有一个是真命题，则这个选言命题是真命题，
只有当p、q同时是假命题，这个选言命题才是假命题．这种逻辑知识对学生判
断是十分有用的．
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