0 0 类别 : 教案

§4.4.1 同角三角函数的基本关系式 ●教学目标 (一)知识目标 1.同角三角函数的基本关系. 2.已知某角的一个三角函数值，求它其余的各三角函数值. (二)能力目标 理解并掌握同角三角函数的基本关系，并能应用之解决一类三角函数的求值问题. (三)德育目标 通过同角三角函数关系的应用，使学生面对问题养成分析的习惯、学会分析的方法. ●教学重点 同角三角函数的基本关系. ●教学难点 已知某角的一个三角函数值，求它其余的各三角函数值时，符号的确定. ●教学方法 指导自学法 1.通过对同角三角函数关系式的分析，使学生清楚关系式成立的条件，明确关系式的 作用，并寻求关系式的记忆方法熟记关系式. 2.通过几例的分析比较，使学生掌握利用同角三角函数求三角函数值时，确定正负号 的方法，从而达到突破难点的目的. ●教学过程 Ⅰ.自学指导 师：今天我们来学习同角三角函数的基本关系式(板书课题)，课下同学们已经对这部 分内容进行了预习，这些关系式的得出能理解吗? 生：能理解. 师：这些关系式的具体内容是 . 生： 1cossin 22     tancos sin  tanα·cotα＝1(学生边回答，教师边板书) 师：请同学们再仔细看一下课本，看这些关系式是怎样得到的?它们的成立有条件吗? 若有，是什么? 生甲：这些关系式都是由任意角的三角函数定义得到的，它们的成立有条件：一是必 须为同角，二是当角的终边不在纵轴上时，   tancos sin  成立，当角的终边不在坐标轴上 时，tanα·cotα＝1成立. 师：生甲的回答正确吗? 生：正确. 师：可不可以将第二点说得再简单些呢? 生乙：关系式对式子两边都有意义的角成立. 师：好.通过分析，我们必须明确注意： (1)关系式是对于同角而言的. (2)关系式是对于式子两边都有意义的角而言的. (3)sin2α读作“sinα”的平方，它与α2的正弦是不同的. (上述注意的问题，在学生回答时，就可边板书). 师：这三个关系式是三个三角恒等式，只要 α的值使式子的两边都有意义，无论α 取什么值，三个式子分别都是恒成立的，即式子的左右两边是恒等的.以后说到三角恒等式 时，除特殊注明的情况外，也都假定是在使两边都有意义的情况下的恒等式. 师：怎样易记这些关系式呢? 生丙：关系式下的黑体字. 生丁：还可以将这些关系明朗化助记忆：如平方关系、商数关系、倒数关系. 师：两位同学的回答都很好!生丁同学不仅预习了课本，可能还将与此有关的课外书进 行了浏览自学，我们要提倡这种广泛获取知识的学习精神，做学 习上的有心人. 师：这些关系式还可以如图样加强形象记忆： ①对角线上两个函数的乘积为1(倒数关系). ②任一角的函数等于与其相邻的两个函数的积(商数关系).  ③阴影部分，顶角两个函数的平方和等于底角函数的平方 (平方关系). (这些倒数关系、商数关系从定义中是很容易得到的，不会增加学生太多的学习负担).  师：这些关系式有哪些方面的应用呢? 生：①求值②化简③证明(学生边答，教师边板书). 师：所谓求值，就是已知某角的一个三角函数值，可以利用这些关系式，求出这个角 其余的各三角函数值，但应该注意，利用平方关系求值时，由于要开平方，就面临一个正 负号的选择问题，究竟选正号还是选负号，要由角所在的象限决定. 注意： (板书). (1)应用平方关系求角的三角函数值时，一定要先确定角所在的象限. (2)正确选用公式以及公式的变用或活用.  师：课本上的例1、例2、例3都是已知角α的一个三角函数值，求它的其余三角函数 值问题，例1和例2有什么不同呢? 生：例1还告诉了角所在的象限，例2没有告诉. 师：例 2没有告诉角所在的象限，求解的过程就比较复杂啦，因为已知一个角的某一 三角函数值，这个角一般位于两个象限，故要分两种情况讨论求值. 师：例1、例2的解答过程，同学们还有什么不清楚的地方? 生：清楚了. 师：那好，现在我们来看一下例 3，例 3说明若角的某一三角函数值不是一个具体值 (或者说是一个字母)时，又要分这个字母表示的数是正、是负、是零三种情况进行讨论，这 又增加了问题的复杂程度. 归纳三个例题之情况，求值的问题有三种类型：①已知某角的某一三角函数值，且知 角的象限； ②已知某角的某一三角函数值，又知角的象限； ③已知某角的某一三角函数值为字母，不知角的象限. 对于第二、第三种类型一定要注意分情况讨论，否则，将导致解答的不完整. 下面我们来练习几个题 Ⅱ.课堂练习 课本 P27 练习1、2、3、4. 若时间许可，再练习课本 P27习题4.4 4①. (学生做后，教师评讲，更正学生解答过程中存在的问题，强调解答表述的条理性、层 次性、完整性). Ⅲ.课时小结 本节课我们学习了同角三角函数的基本关系，明确了关系式成立的条件以及关系式的 作用，并对在求值方面的应用进行了练习与分析，特别要注意利用平方关系求值时正负号 的选择问题，解决的关键是确定角所在的象限.求值问题有三种类型，对不清楚角所在象限 的，一定要分一切可能情况，不遗漏地进行讨论.这些关系式贯穿于三角学习的始终，希望 同学们很好掌握. Ⅳ.课后作业 一、课本 P27 习题4.4 1、2、3、4. 二、1.预习 P26例4、例 5 2.预习提纲 (1)化简的结果要求是什么? (2)代数中恒等式证明的常用方法有哪些? (3)例 5中采用的都是些怎样的证法? ●板书设计 课题：§4.4.1 同角三角函数的基本关系式 利用公式求值时应该注意 的问题： 1cossin 22   （平方关系） ①…   tancos sin  （商数关系） ②… tanα·cotα＝1（倒数关系） 求值问题的三种类型： 注意：①… ①… ②… ②… ③… ③… 公式的形象记忆法： 练习 公式的作用： 小结 ①… ②… ③… ●备课资料 《高中数学的内容、方法与技巧》 《高中数学辅导》 思考题： 1.已知 2 1cossin   ，求下列各式的值. ① sin3α＋cos3α ②sin4α＋cos4α ③sin6α＋cos6α 分析：由 2 1cossin   两边平方，整理得 8 3cossin  然后将各式化成关于sinα＋cosα，sinαcosα的式子将上两式的值代入即可求得各 式的值. 答案：①16 11 ② 32 23 ③ 64 37  注意：sinα＋cosα、sinα·cosα称为关于角α的正弦和余弦的基本对称式，关于 sinα、cosα的所有对称式都可以用基本对称式来表示.  2.已知sinα·cosα＝ 8 1 ，且 24   ，则 cosα－sinα的值是多少? 分析：由sinα·cosα＝ 8 1 得2sinαcosα＝ 4 1 sin2α－2sinαcosα＋cos2α＝1－ 4 1 （cosα－sinα）2＝ 4 3 ∵ 24   ，∴cosα＜sinα， 即cosα－sinα＜0. ∴cosα－sinα＝－ 2 3 .