函数教案
教学目标
1．教学内容：复习函数的概念、分段函数的概念、函数的定义域的求法、值
域的求法、函数图像的作法．
2．教学目的要求
(1) 全面深入理解函数的概念，在掌握函数符号和函数三要素的基础上，
会求函数的定义域、值域、解析式，会正确的画出函数的图像．
(2) 通过求函数的定义域、值域、解析式及作函数的图像，培养学生计算、推
理、画图等能力．
(3) 通过探求上述有关问题的解决，培养学生数形结合的思想、函数的思想
激励学生的学习热情，培养学生严谨的学习态度．
教学过程
一、课题引入
1．复习函数的定义、函数的三要素．
2．让学生回答，已知f[g(x)]的表达式，如何求f(x)的表达式？
3．提出本节课要学习的内容和要解决的问题．
二、知识讲解
1．求函数定义域及定义域的应用．
定义域是函数的关键性特性，对于每个确定的函数，其定义域是确定的，
对应法则是函数的核心，为了更明确、更深刻地揭示函数的本质，就产生了求函
数的定义域问题．在实际寻求函数的定义域时，应当遵循下列规则：
(1) 分式的分母应该不是零；
(2) 偶次根的被开方数应该为非负数；
(3) 方幂的指数是无理数或含有变数时，底数应该是正的；
(4) 对数的真数应该是正的，底数应该是正数且不是1；
(5) 形如M n的式子，若M0的M≠0，0n的n≠0；
(6) 有限个函数的四则运算得到的新函数，其定义域是这有限个函数的定
义域的交集(作除法时还要去掉使除式为零的x值)；
(7) 对于由实际问题建立的函数，其定义域还应该受实际问题的具体条件
制约．
关于定义域的应用，常见的有以下几个方面：
(1) 求值域或确定函数值的变化范围；
(2) 解析式的变形或化简；
(3) 解不等式或解方程；
(4) 求函数的最值．
2．求函数的值域及值域的应用．
最直接的方法是由函数的定义域通过对应法则求值域，有时也可根据具体
情况采用下列适当的方法或技巧．
(1) 观察法；
(2) 由函数的图像，运用数形结合的方法确定值域；
(3) 反解 x法，在建立反函数概念后，可利用互为反函数的定义域与值域
的互换关系求值域；
(4) 化为二次函数，利用二次函数的最值确定所给函数的值域——配方法．
(5) 利用二次三项式的判别式求值域——判别式法；
(6) 采用换元法求值域；
(7) 利用某些已知函数的值域，通过解不等式求得所给函数的值域；
3．求函数表达式与函数记号的运用．
通常会遇到下列各种情形：
(1) 对于已知函数f(x)、g(x)，求形如f[g(x)]的表达式；
(2) 已知f[g(x)]的表达式，求f(x)的表达式；
(3) 已知函数表达式类型，根据函数所具有的某些性质或约束条件确定表
达式中的待定参数；
(4) 根据函数对应法则的满足的某些条件，求函数的表达式；
(5) 给出实际问题，求其函数表达式．
在上述各种情形下，正确理解和运用函数记号，常常是疏通思路的关键．
4．求函数值与画函数图像．
求函数值是学习函数概念必须掌握的最基本的但却是最重要的方法．例如
画函数图像首先就要求函数值．
一个函数 y=f(x)可看成有序实数对(x，y)的集合．在直角坐标系中给出以
每个有序实数对为其坐标的点，所有这些点的集合就是函数的图像，函数的图
像表示法奠定了“数形”结合的基础．关于函数的图像，大致包括三个方面的
问题即画图、识图、用图．画图时，首先应该具备两种意识：(1) 定义域意识，
即画图时必须考查函数的定义域；(2) 转化意识，即将所画图形转化为基本图
形来考虑．
5．关于分段函数．
分段函数的定义由若干个互不相交的子集构成，在不同的子集上对应法则
也不同．
三、例题分析
1．求函数的定义域及定义域的应用．
例 1．求下列各函数定义域．
(1) 123
1
2
2
x
xy (2) xxy 1
11
(3) 3)12(||1 xxy (4) 1||
14 2 xxy
(5) xx
xy
||
)1( 0 (6) )0(1 abaxy
解：(1) (－∞，－2)∪(－2，2)∪(2，＋∞)
(2) [－1，1 )∪(1，＋∞)
(3) ]12
1[ ，
(4) )12[ ， ∪(－1，1)∪ ]21( ，
(5) (－∞，－1)∪(－1，0)
(6) ( a
b ，＋∞) (a＞0)或(－∞， a
b )(a＜0)
点评：对于含有字母的函数表达式，求定义域时要注意对字母进行讨论．
例 2．已知 y=f(x)的定义域[0，1]，求下列各函数的定义域：
(A) f(x2) (B) f( x
1 )
(C) f(3x)＋f(1－2x) (D) f( 12 x )
分析：f(x)中的 x∈[0，1]，f[g(x)]中的 g(x)处于 f(x)中 x 的位置，则
g(x)∈[0，1]，也就是在g(x)∈[0，1]的假设下，求x的范围．
解：(1) [－1，1]
(2) [1，＋∞）
(3) [0， 3
1 ]
(4) [－ 2 ，－1]∪[1， 2 ]
例 3．已知f(x2－1)的定义域是[－1，1]，求下列函数的定义域：
(１) f(x) (2) f(x+3)
分析：f[g(x)]中的 x∈[－1，1]，f(x)中 x 和 f(x＋3)中的 x＋3 处在
f[g(x)]中 g(x)的位置，因此要由 x∈[－1，1]先求出 g(x)的取值范围，设
g(x)∈[a，b]．(1) x∈[a，b]；(2) 含 x＋3∈[a，b]，再求出x的范围．
解：(1) x∈[－1，1] x2－1∈[－1，0]，
∴ f(x)的定义域为[－1，0]．
(2) ∵ x2－1∈[－1，0]，则x＋3∈[－1，0]，
∴ x∈[－4，－3]．故 f(x＋3)的定义域[－4，－3]．
例 4．已知函数 y= 1
12
x
x 的值域是 ]0( ， ∪ ),3[ ，求此函数的定义
域．
分析：解不等式 1
12
x
x ≤0或 1
12
x
x ≥3即可求得函数的定义域为 )12
1[ ，
∪ ]21( ， ．
2．求函数的值域及值域的应用
例 5．已知函数f(x)= 1
4
2
x
ax (a为实常数)
(1) 若 f(1)= 2
1 ，求 a的值；
(2) 当 a取由(1)所确定的值时，求 y=f(x)的值域．
分析：
(1) 由 f(1)= 2
1 ，得 2
1
11
4
a ，∴ a=3．
(2) 当 a=3时，y= 1
34
2
x
x ，转化成yx2－4x＋y＋3=0，用判别式法求得值域
为[－4，1]．
例 6．求函数 y= 22
1
2 xx 的值域，
分析：本题可用换元法或判别式法求解．
解法一：令u=x2＋2x－2=(x＋1)2－3(u≠0)，则 y= u
1 ，且 u≥－3，u≠0．
当－3≤u＜0时， u
1 ≤－ 3
1 ；
当 u＞0时， u
1 ＞0．
故函数的值域为 y∈ ]3
1,( ∪(0，＋)．
解法二：此函数的定义域为{x|x≠－1± 3 ，x∈R}．
由 y= 22
1
2 xx 得 yx
2＋2yx－2y－1=0．
由
0
,0)12(44 2
y
yyy
解得 y≤－ 3
1 ，y＞0,
例 7．求函数 y=x－ x21 的值域．
分析：通过变量代换(换元法)，转化为二次函数利用配方法求解．
解：由1－2x≥0可知函数的定义域为{x|x≤ 2
1 }
令 u= x21 (u≥0) ， 则 x= 2
1 2u ≤ 2
1 ． 故 u≥0 ， y= －
1)1(2
1
2
1
2
1 22 uuu ．
由 u≥0，得－ 2
1 (u＋1)2≤－ 2
1 ，∴y≤－ 2
1＋1= 2
1 ，故函数的值域为
]2
1( ， ．
点评：(1) 本题由函数 y=－ 2
1 (u＋1)2＋1(u≥0)的图像亦可求得值域 y≤ 2
1
．
(2) 由于函数式的变形，可能引起值域的扩大或缩小．
例8．求定义在区间[－1，1]上的函数 y= bxa
bxa
(a＞b＞0)的值域．
分析：本题可由定义域直接求出值域或反解x法．
解法一：原函数可化为 y=－1＋ bxa
a
2 ．
∵ －1≤x≤1，a＞b＞0
∴ －b≤bx≤b
∴ ba
a
2 ≤ bxa
a
2 ≤ ba
a
2
∴ ba
ba
≤－1＋ bxa
a
2 ≤ ba
ba
，即 ba
ba
≤y≤ ba
ba
解法二：∵ y≠－1(否则 a=0)，b≠0，则由原函数表达式．解得 x=
)1(
)1(
yb
ya ，
∴－1≤ )1(
)1(
yb
ya ≤1 ba
ba
≤y≤ ba
ba
．
例9．求使函数 y= 1
2
2
2
xx
axx 的值域为(－∞，2)的 a的取值范围．
解：令 1
2
2
2
xx
axx ＜2，
∵ x2－x＋1=(x－ 2
1 )2＋ 4
3 ＞0，
∴ x2＋ax－2＜2(x2－x＋1)，即 x2－(a＋2)x＋4＞0，此不等式恒
成立的条件是
△=[－(a＋2)]2－4·1·4＜0，解得－6＜a＜2．
3．求函数的解析式与函数记号的运用
例 10．已知f(x)= x1
1 ，求f(x＋1)，f[f(x)]，f[ )(
1
xf ]．
分析：f[g(x)]中的 g(x)与 f(x)中的 x处于相当的位置，即 g(x)是原象，
求f[g(x)]就是求定义域中元素g(x)的象．
解：f(x+1)= xx
1
)1(1
1
f[f(x)]= x
x
xf
11
1
11
1
)(1
1
f[ )(
1
xf ]= xxxf
1
)1(1
1
)(
11
1
例 11．在 x＋ x
1 的取值范围内定义函数 f (x)，使得 f (x＋ x
1 )=x2＋ 2
1
x
，求f (x)的解析式及定义域．
分析：这个问题应该理解为，已知对应法则 f下，定义域的元素 x＋ x
1 的
象是x2＋ 2
1
x ，求定义域中的元素x的象，其本质是求对应法则．有以下两种解
法．
解法一：把所给表达式表示成 x＋ x
1 的式子． 211
2
xxxxf ，
∴ f (x)=x2－2．
解法二：变量代换，令 xxt
1 ，则 21222 xxt ，
∴ 21 222 txx ，故 f (t)=t
2－2，即 f (x)=x2－2．
∵ x与 x
1 同号，∴ 211 xxxxt 2
1 xx ，
故t≤－2或 t≥2．
于 是 ， 所 求 画 数 解 析 式 为 f (x)=x2 － 2 ， 其 定 义 域 为
，， 22 ．
点评：解法二是换元法，这种方法适应性强，对一般函数都可以应用．
例 12．已知 f (x)是二次函数，且 f (0)=2，f (x+1)－f (x)=x－1，求 f
(x)的解析式．
解：依题意，可设 f (x)=ax2+bx+c (a≠0)．
由f (0)=2得 c=2．
由 f (x+1)－f (x)=x－1 得 2ax+(a+b)=x－1，比较系数得 2
1a ，
2
3b ．
∴ 22
3
2
1 2 xxxf ．
例 13．已知函数f (x)满足条件：f (x)+2
xf
1 =x，求f (x)．
分析：为求 f (x)，关键是消去
xf
1 ，从消元法的角度考虑，还需要另一
个关于f (x)、
xf
1 的“方程”，为此，只须将原方程中的x换成 x
1即可．
解：由 f (x)+2
xf
1 =x，用 x
1代 x 可得
xf
1 +2f (x)= x
1 ，从两式消去
xf
1 即得3 xf = xx
2 ，∴ 33
2 x
xxf ．
4．求函数值与画函数图像
例 14．抛物线 y=ax2+bx+c通过两点 A(0，4)和 B(4，0)，且其对称轴交 x
轴点C．试将△ABC的面积S表示为 a的函数，并画出草图．
解：由 y=ax2+bx+c 的图像过两点 A(0，4)，B(4，0)，可得 c=4，b=－
(4a+1)．
因抛物线的对称轴为 a
a
a
bx 2
14
2
，故点
02
14 ，a
aC ．
设坐标原点为0，则△ABC的面积．
aa
aCBOAS 142
14442
1
2
1 ．
因此，所求函数图像是把 ay
1 的图像向
上方平移 4 个单位得到 ay
14 ，然后把 y<0 的
部分折向 a轴的上方所得到的图形，如图 1—16
所示．
5．分段函数
例 15．函数
05
063
xx
xxxf ，则f {f [f (1)]}的值等于__________
__．
解：f {f [f (1)]}=f {f [－3]}=f (2)=0．
例 16．已知
212
10
01
1
x
xx
xx
xf
，
，
，
，求f (x)的定义域和值域．
分析：对构成定义域的各个子集作并，即为所求的定义域，同样在各个子
集上求出函数值的范围，然后作并即得函数的值域．
解：函数的定义域为 2， ．
当x<0时，x－1<－1，
∴ 01
11 x 即－1<y<0．
当0≤x<1时，0≤y<1．
当1≤x≤2时，y=2．
∴ 函数的值域为(－1，1)∪{2}．
例 17．如图 1—17，当一条垂直于 x 轴
(垂足为 x)的直线 l由左至右移动(与已知梯形
有公共点)，令 OX=x，试将图中有阴影部分的
面积 S表示为 x 的函数并画函数 S=S (x)的图
像．
解
642
68
4222
202
1
2
2
xx
xx
xx
S
，
，
，
画函数 S=S (x)的图像如图1—18
四、习 题
1．已知函数f (x2+1)的定义域为(－1，1)，那么函数f (2x－1)的定义域是__
_______
2．函数 xxy 211
1
的值域为____________．
3．已知 1
1
2 xxf ，g(x)=x+1，则f [g(x)]=___________．
4．f (x)是一次函数，且 2f (1)+3f (2)=3，2f (－1)－f (0)=－1，则 f
(x)=___________．
5．已知g (x)=1－2x，f [g (x)]= 2
21
x
x (x≠0)，则f (0)=__________．
6．画出函数
10
]01[1
，，
，，
xx
xxxf 的图像．
答 案
1．
2
31，
2． ，， 08
3． xx 2
1
2
4． 9
1
9
4 x
5．3
6．如图1-19
五、引伸和提 高
1．关于求函数解析式的几种方法；
2．关于复合函数的定义域和值域的求法
六、思 考 题
1．若
103
101
，，
，，
xx
xxf ，使等式f [f (x)]Ĕ11成立的x的取值范围是_______
_____．
2．若 y=f (x)的定义域为 R，且f (x+y)=f (x)+f (y)，f (8)=4，求
2
1f ．
答 案
1．[0，1][3，4]{7}
2． 4
1
2
1
f
/2
