指数方程与对数方程(二)
一、素质教育目标
(一)知识教学点
1．对数方程的定义．
2．简单对数方程的解法．
(二)能力训练点
1．掌握简单对数方程的解法．
2．培养学生应用化归及数形结合等数学思想的意识，提高数学思维能力．
二、教学重点、难点和疑点
1．教学重点：对数方程的解法．
2．教学难点：对数方程的增根与失根．
3．教学疑点：造成增根与失根的原因．
三、课时安排
本课题安排1课时．
四、教与学过程设计
(一)复习引入新课
求下列函数的定义域(请两位学生板演)．
1．y=log2(x2-x-2)
2．y=log(x-2)4
(学生板演后教师评讲)
师：如果以上的函数式中，y=2，那么怎样求x呢？
生：可以得到两个等式：
log2(x2-x-2)=2及 log(x-2)4=2．
师：这是方程吗？
生：是．
师：对，这就是我们今天要学习的对数方程．它是如何定义的？
师生共同得出：对数的真数或底数中(或对数符号后面)含有未知数的方程
叫对数方程．
(二)对数方程的解法
师：一些简单的对数方程我们是可以求解的．如方程log(x-2)4=2，但怎
么解呢？我们首先需考虑的问题是能否将其转化为已学过的普通方程去解？(这
里体现了化归思想．)
生：能，因为对数式与指数式可互相转化，只需将其改为指数式，就可脱
去对数符号，转化为普通方程了．
师：很好，由原方程得
(x-2)2=4．
解得x1=4，x2=0．
它们是原方程的解吗？
生：是．
师：不要急着回答，再好好想一想．
生：x=0不是，当x=0时，原方程中的对数底数x-2小于0了，所以它不是
原方程的解．
师：对了，那为什么会出现这种情形呢？实际上当我们将原方程log(x-
2)4=2转化为新方程(x-2)2=4后，未知数x的范围变大了，由{x|x＞2，且
x≠3}，扩大为{x|x∈R且 x≠2}，这样就容易产生增根，因此当得出新方程的
解后，必须将其代入原方程中的真数或底数的式子中加以检验，舍去使对数无
意义的值，这个过程叫验根．
小结：形如logg(x)f(x)=a的对数方程的解法是“化指法”，即将其化为
指数式f(x)=g(x)a再求解，注意需验根．
例1 解方程lg(x2+11x+8)-lg(x+1)=1．
分析：利用对数运算法则变形为logg(x)f(x)=a．
解：(学生口述)
原方程可化为：
即x2+x-2=0．
解得x1=-2，x2=1．
经检验，x=-2是增根，原方程的根是x=1．
师：我们注意到，原方程变为①时，x的取值范围由
生：这一题我是这样做的，由对数运算法则可得到：
lg(x2+11x+8)=lg[10(x+1)]
进而 x2+11x+8=10(x+1)．
即 x2+x-2=0以下解法相同．
师：很好，完全正确，我们又可得出：形如logaf(x)=logag(x)的对数方
程可用“同底法”脱去对数符号，得f(x)=g(x)，解出x后，须满足
例2 解方程lg2(x+10)-lg(x+10)3-4=0．
分析：用“化指法”“同底法”均不奏效，由方程特征，将lg(x+10)看作
为一个整体，故考虑换元法，将其转化为普通方程解之．
解：原方程可化为
lg2(x+10)-3lg(x+10)-4=0．
令 lg(x+10)=y，
则：y2-3y-4=0．
∴y=4或 y=-1．
即lg(x+10)=4或 lg(x+10)=-1．
∴x+10=104或 x+10=10-1．
∴x1=9990，x2=-9.9．
经检验，它们均是原方根的根．
小结：形如 A(logax)2+Blogax+C=0的方程用换元法，令 logax=y，将原方
程简化为 Ay2+By+C=0然后解之．
(三)学生练习
1．解下列方程
①lg(x-1)2=2；
② lgx=lg(x+2)-lg(x+1)=1；
④ log3(x+1)·log3(3x+3)=2．
注：方程①注意不要失根，并讲明为何会失根．
2．求方程x+lgx=3的近似解
分析：它不是简单的对数方程，无法用常规方法求其解，这说明不是所有
对数方程我们现在都能解，此类非常规方程，我们目前只能用数形结合法求其
近似解．
解：(引导学生一起阅读课本)
原方程为lgx=3-x
令 y=lgx，y=3-x，在同一坐标系内画出函数y=lgx与 y=3-x的图象，求得
交点的横坐标x≈2.6，这个x值近似地满足lgx=3-x，所以它就是原方程的近
似解．
学生练习：
①求方程x2-lgx=0的解．
②求方程logax+2-x=0(0＜a＜1)的解的个数．
小结：1．对于一些非常规对数方程可用数形结合法求近似解或研究其解的
个数．
2．目前我们只学习了简单对数方程的解法．
(四)小结
1．简单对数方程的解法：
①型如logg(x)f(x)=a：化指法；
②型如logaf(x)=logag(x)：同底法；
③型如 A(logax)2+Blogax+C=0：换元法；
④数形结合法．
2．解对数方程验根是必不可少的．
3．增强应用重要数学思想方法的意识，如本节课里体现的化归、数形结合
等．
五、作业
P．65中10、12、13．
六、板书设计
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