数学教学多媒体课件
一类数列的变化特征
数列极限的定义
几个基本数列的极限
问题讨论
数列极限概念的小结
通过图像观察数列的特性
数列的图像（点击按钮调用图像）
通过图表定量观察 (1)
数列 : 0.9,0.99,0.999,0.9999,0.99999,0.999999,...........
项号 项 |an-1|
1 0.9 |0.9-1|=0.1
2 0.99 |0.99-1|=0.01
3 0.999 |0.999-1|=0.001
4 0.9999 |0.9999-1|=0.0001
5 0.99999 |0.99999-1|=0.00001
6 0.999999 |0.999999-1|=0.000001
7 0.9999999 |0.9999999-1|=0.0000001
...... ...... ........
对 ε=0.001与 ε =0.000001,则 n>3与 n>6后满足 |an-A|< ε
项号 项 |an-1|
1 1/2 |(1/2)-1|=0.5
2 1/4 |(1/4)-1|=0.25
3 1/8 |(1/8)-1|=0.125
4 1/16 |(1/16)-1|=0.0625
5 1/32 |(1/32)-1|=0.03125
6 1/64 |(1/64)-1|=0.015625
7 1/128 |(1/128)-1|=0.0078125
...... ...... ........
通过图表定量观察 (2)
数列 : 1/2,1/4,1/8,1/16,1/32,1/64,1/128,...........
对 ε=0.1与 ε =0.01,则 n>3与 n>6后满足 |an-A|< ε
数列极限定义
1.描述性定义 :
如果对数列 {an},存在常
数 A,当数列序号 n无限
增大时 ,数列的项 an无限
接近常数 A,称常数 A是
数列 {an}的极限 .
2.ε-N定义
任意给定正数 ε>0,如果总
存在自然数 N,当 n>N时 ,
不等式 |an-A|< ε恒成立 ,
则数列 {an}的极限是 A.
记作 :
|an-A|< ε
ε>0
Aann lim
对数列极限定义的说明
若数列 {an}的极限是 A,则 an可能小于 A无限的
趋近于 A;也可能大于 A无限的趋近于 A;还可
能时而大于 A,时而小于 A而无限的趋近于 A.
在极限的全过程中 ,ε必须具有绝对的任意性 ,但
在该过程的某一瞬间 , ε又是相对固定的 .
N的不唯一性 .虽然 N与 ε有关 ,但 N不是 ε的
单值函数 ,若自然数 N满足极限定义的条件 ,则
N+1,N+2,...也必满足该条件 .
例 1:(1)举出两个以 0为极限的数列 ;
(2)举出两个以 1为极限的数列 ;
(3)举出两个以 A为极限的数列 .
解 :
(1)an=1/n2 bn=(1/2)n ,...........
(2)an=(n+1)/n bn=1+(1/3)n,.......
(3)an=A+1/n bn=(-1)n(1/n)+A,.......
问 题 1
根据极限定义 ,猜想下列数列的极限
(1) ____
(2) ____
(3) ____
(4) ____
,.....1,......,6
1,5
1,4
1,3
1,2
1,1 n
,.....1,......,6
1,5
1,4
1,3
1,2
1,1 n
,.....)1(,......,6
1,5
1,4
1,3
1,2
1,1 n
n
,.....)1(1,......,6
1,5
1,4
1,......,0,3
1,0,2
1,1,0 n
n
0
0
0
0
问 题 2
判断下列命题的正确性 :
① 数列 {an}的极限是 A,则 A一定是该数列中的一项 ;
②任何一个无穷数列必存在极限 ;
③无穷数列的极限是 A,指的是 :对任意的 ε>0,总能
在 {an}中找到一项 aN,使 aN以后有无限项满足 |an-A|< ε.
④数列 {(-1)n}的极限存在 ,且偶数项的极限为 1,奇数项
的极限为 -1.
几个基本数列的极限
1. 01lim
nn
2. 0lim,1
n
n
qq 时
3. ccc
n
lim,为常数
证明：任给 ε>0,由
01lim
nn 的证明 :
εnn
101
所以 εn
1 故取 N= ]ε
1[
(注 : ]ε
1[ 表示 1/ε的整数部分）
所以，当 n〉 N时，不等式 ε01 n
恒成立，故数列 {1/n}的极限：
01lim
nn
证明：
0lim,1
n
n
qq 时 的证明
任给 ε>0,则由 |q|<1
ε|||0| nnn qqq
lg|q|n<lgε nlg|q|<lgε
||lg
lg
q
εn
当 |q|≠0,
①
①
qN lg
εlg若取
则当 n>N时 ,不等式 |qn-0|<ε恒成立 ;
当 |q|=0,显然 |0-0|=0< ε恒成立 ;
0lim,1
n
n
qq 时
证明 :
ccc
n
lim,为常数 的证明
任给 ε>0,由 |c-c|=0< ε,
取 N=任意自然数 ,那么当 n>N时 ,,
|c-c|=0< ε恒成立
所以 ,数列 {c}的极限是 c.
问题讨论
选择题 :
1.已知非常数的数列 {an}当 n－ >∞时极限为M,则在区间
(M-ε,M+ε)外 ,这个数列的项数为 : (A)无限项
(B)有限项
(C)零项 (D)有限项与无项项都有可能
2.记 a1+a2+......+an=Sn,则数列 {an}有极限是数列 {Sn}有极
限的
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条
件 (C)充分必
要条件 (D)不充分也不必要条件
B
B
填空题
1.数列 {an}中 ,已知 an=(n+2)/2n,则
|an-1/2|=_______,要使 n>N时 ,有
|an-1/2|<0.001,则 N的
最小值是 ________
2.数列
问题讨论
的极限是 :__
3.数列 a,a,a,......,a,......的极限是 :________
1/n
1000
0
a
, . . . . . ,)1(
1, . . . . . . . ,2
1,1,1
dnadadaa
问题讨论
推测下列数列的极限 ,并用极限定义证明
你的结论 .
1.数列
2.|q|<1,a1 ,q≠0,数列
3.数列
1n
n 的极限是 _______;
q
qa n
1
)1(1 的极限是 ____;
nn
nn
32
32 的极限是 _______;
1
-1
q
a
1
1
证明 :
任给 ε>0, 由
证明 的极限为 1
ε1
1
1
111
nnn
n
,1ε
1 n 取
11εN
则 n>N时 ,不等式 ε11 n
n 恒成立 ,所以
11lim n
n
n
1n
n
证明 :
证明 的极限为
q1
a ( 1 - q )1 n
q1
a 1
任给 ε>0, 由 εq
q
q
q
q
a
q
qa nnn
1111
)1( 11
|q|n<ε|1-q| lg|q|n<lg ε|1-q|
nlg|q|<lg ε|1-q|
||lg
|1|lg
q
qεn ( |q|<1,lg|q|<0)∵
||lg
|1|εlg
q
qN取
故当 n>N时 ,不等式 ε11
)1( 11
q
a
q
qa n 恒成立 ,所以
q
a
q
qa n
n
11
)1(lim 11
nn
nn
32
32
证明
证明 的极限为 -1
ε
n
n
n
n
nn
n
nn
nnnn
nn
nn
13
2
3
22
32
22
32
3232)1(32
32
任给 ε>0, 由
ε
εn
23
2 )2lg(3
2lg ε
εn
3
2lg
ε2
εlg
n
3
2lg
ε2
εlg
N取
nn
nn
32
32证明 的极限为 -1
ε)1(32
32
nn
nn
恒成立 ,
所以数列
nn
nn
32
32 的极限是 -1.
则当 n>N时 ,不等式
对《数列极限》我们要把握“序号无限
增大，数列的项无限接近一个常数”的
含义，正确理解它的定义；掌握应用数
列极限定义证明数列极限的方法，记住
三个基本数列的极限，能应用它们求比
较简单的数列的极限。
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