0 0 类别 : 课件

导数与微分 一、导数的概念 1.自变量的增量： 2.函数的增量： 3.导数的定义： xxxxxx  00 , )()( 00 xfxxfy  )()()(lim)( )()(limlim)( 0 00 000 导函数 一般地：        x xfxxfxf x xfxxf x yxf x xx 导数与微分 即导数为函数增量与自变量增量比的极限 ]([)(,|)()( 000 0   xfxfxfxf xx 但注： 存在，计算下列极限：、设例 )(1 0xf    )(2 2 1 )()(lim 00,2 1,2: )()2(lim1 0 00 0 00 0 xf h xfhxf hxhxhx x xfxxf h x       原式＝ 时令 导数与微分   )(2)()( )()(lim)()(lim )]()([)]()([lim )()()()(lim )()(lim2 000 00 0 00 0 0000 0 0000 0 00 0 xfxfxf h xfhxf h xfhxf h xfhxfxfhxf h hxfxfxfhxf h hxfhxf hh h h h              导数与微分 二、导数的物理和几何意义 1.物理意义： 表示运动物体瞬时 速度即： 2.几何意义： 表示曲线 y＝ f(x)在 x0 处的切线斜率即 若切点为 则曲线在 的 切线方程为： 法线方程为： )(xs )(tsv  )(xf 0 )( 0xftgk   ),( 00 yx 0xx  ))(( 000 xxxfyy  )()( 1 0 0 0 xxxfyy  x0 导数与微分 1ln)0(ln 11 1xlnay) 0lna(1 ln|)ln()()0( 0,12 0      a xyxay xy aaaafk ay x xx x 法线方程为： ＝ 切线方程为： 解： 程）点处的切线和法线方在（：求曲线例 导数与微分 三、基本求导公式： axee aaanxx xxc x a xx xxnn ln 1)(log.6)(.5 ln).(4).(3 ).(2,0).1 1 1      （ 导数与微分 2 2 2 1 1).(arcsin14).(13 sec)(sec12).(11 sec)(.10sin)(cos.9 cos).(sin81).(ln7 xxcsexctgxcsex xtgxxxcsectgx xtgxxx xxxx      导数与微分 xx xx xarcctgx xarctgx xx 2 1)(.19 1)1.(18 1 1)(.17 1 1).(16 .1 1).(arccos15 2 2 2 2       导数与微分 • 四、求导法则 • 若 u=u(x)， v=v(x)在 x处可导，则 2)( )( )( )( v vuvu v u uccu vuvuvu vuvu     导数与微分 • 1.求下列函数的导数 xx xxxxy xxxxy x cos12 )sin( sin1) 2 1 2 2   （ xxx xxxxxxy xxy x ln1ln )(lnln)()ln( ln)2 1   （ 导数与微分 22 2 )1( 2 )1( 11 )1( )1)(1()1()1( 1 1 1 13         xx xx x xxxx x xy x xy ）（ ）（ 导数与微分 !)1()()2)(1(0)0()0( )()()()()( )(y),()2)(1()(,2 !)1()()2)(1( 0)()2)(1(lim0 )0()(lim)0( 1 )0(),()2)(1()4( 00 nnfy xfxxfxfxxfxy xxfnxxxxf nn x nxxxx x fxfy ynxxxxy n n xx              则：令解法 ：利用导数的定义计算解法 求 导数与微分 2.复合函数求导 。求导自变量 对乘中间变量求导对中间变量即函数 点处可导，且在则 点处可导，在相应的 点处可导，在若定理：设 (x)x u(u)uy (x)(u)yx(x)]f[y u)( x)(),(),(        f f uf xxuufy 导数与微分 注：复合函数求导法则的关键在于： （ 1) 将复合函数分解成若干个基本初等函数； （ 2) 分别求出这些函数的导数并相乘； （ 3) 将所设中间变量还原 导数与微分   3 2 2 23 2 22 213 4)4()(3 1 21)( 21,:,21)2( secsec1)()(ln ,ln:,ln(1) 4 3 2 3 1 3 1 x xxuy xuy xuuyxy xctgxxutgxuy tgxuuytgxy        令 令 求下列函数的导数例 导数与微分 xx x x x x x xx tgeee ee evu evuy evvuuyey     cos sin )sin(1 )()(cos)(ln ,cos,ln:,cosln)3( 令 导数与微分  1)1()1(2 1 2 1 1 11 )()()(ln ,,ln: )1(,ln)4( 2      yxarctgxx xvu xarctgvuy xvarctgvuuy yxarctgy 令 求 导数与微分 x x u x u x u x x x v vy vvuy y 1cos 2 1 1 1 cos sin22ln )()sin(2ln2 )((cos)2( ,cos,2: 25) 1 2 1      ） 令 （ 导数与微分 x x x xx tvu xtvuy xttvvuuy xy 2cos1 4sin 2cos1 2cos2sin2 2)sin(22 1 )2()(cos1()( 2,cos,1,: 2cos16) 22 2 2 2         ） 令 （ 导数与微分 )(ln2 )(ln2 )(()( ,),(: )()(7) 22 2 2 2 xx v v v x afaxa ufaxa xaufy xvauufy afuf      ） 令 的导数存在，求已知（ 导数与微分 • 例 5：证明：偶函数的导数是奇函数 。 • 证：设 f(x)是偶函数，即 f(-x)=f(x) u=-x 是偶函数。同理可证奇函数的导数 是奇函数故 )()()( )()( ),()()( xfxfxf xfxf xfxxf    导数与微分 • 3.隐函数求导法则： 隐函数：由含 x， y的方程 F(x,y）＝ 0给出的函数称 为隐函数。有些方程，可以从中解出 y，将 y表示成 x的显函数的形式。如： 有些方程则不能解出 y，如 等， 对于这样的隐函数可不必解出 y，而是将 y作为 x的 函数隐藏在方程中利用隐函数求导法则求出其导数 ,, 22222 xRyRyx  0sin  yxy  导数与微分 隐函数的求导法则： 将 y作为 x的函数， y＝ y(x)，于是 F(x， y(x)） ＝ 0 对方程两边的 x求导，遇 y时，将 y作为中间变量 ， 利用复合函数求导法则对 y求导再乘 得到一个 含的方程，最后从新方程中解出 y y y y 导数与微分 • 例 6：求下列函数的导数 yy yy yyy yxy sin1 1 1)sin1( 0sin1 0sin1)         解： （ 导数与微分 exe eyyx xe ey exeyyxeey yxey x yy y y yyyy y y       0 1|1)0(10 1 )1(0 )0(12) 时 解： 求（ 导数与微分 2 5|1)2( 2 1|1)2( )4,2(),0,2(,4,0, 4442 1,22222 )2(223) 4 2 0 2 21 2 22              y x y x yx yxy yx yxy yy yyx yx yxyyyyxyx yxyxyx 及解得 代入原方程：将 解： 求（ 导数与微分 yx yx yxyx yxyx yx ex yeyyeexy yeyxyexy exy          )( )1()()( 4) 解： （ 导数与微分 )]()( )()(ln)([)]([ )()( )()(ln)(1 )(ln)(ln : )]([ .4 )( )( xfxf xgxfxgxfy xfxf xgxfxgyy xfxgy xfy xg xg     取对数化成隐函数 数皆为变量）称为幂指函数（底和指 幂指函数求导法则 导数与微分 )sinln(cos sinlncos1 lnsinlnln )2( ).ln1( 1ln1,lnln 1) 7 sin sin sin x xxxxy x xxxyy xxxy xy xxy xxxyyxxy xy x x x x x       （ ：求下列函数的导数例 导数与微分 )ln( )ln( ln)(ln lnln lnln,lnln 3) xxyx yyxyy x yyy xxy yy xyx yxy yxxyyx yx xy xy      （ 导数与微分 • 注：对一些较复杂的乘积，商或根式函数求导时， 可利用先取对数后求导的方法计算 6 2 3 3 3 6 2 3 2 3 2 33 3 3 3 3 3 3 3 1 2 1 1 1 2)1 3 1 3(3 11 )]1ln()1[ln(3 1 1 1ln3 1)1 1ln(ln 1 1)4( 3 1 x x x xy x x x x x xyy xxx x x xy x xy          解： 导数与微分 5.参数方程求导法则 2 1 1 1 1 1 1 ))1(ln( )( )( )()( )1ln(1) 8 )( )()( )( )(: 2 t t t arctgt tx tyxy arctgty tx tx tyxy ttyy txx t t                  （ 的函数的导数：求下列参数方程给出例 求导公式： 由参数方程给出的函数  导数与微分 1)0(11 1,001| cossin sincos cossin sincos sin cos )( )( 0cos sin)3( 2)cos1( sin )sin( )cos1( )( )( )cos1( )sin()2( 0                       xyxy yxtyk tt tt tete tete te te tx tyy ttey tex tctgta ta tta ta tx tyy tay ttax t tt tt t t t t 切线方程为： 时又 ＝）（ ）（＝ 处的切线方程求在 导数与微分 五、函数的微分 1.微分的定义 :设函数 y=f(x)在点 x0处可导 , 是自变量 x的增量 ,则称 为 函数 f(x)在 x0处关于 x的微分 .记为 : ,即 2.函数可微的条件 : 定理 : 函数 y=f(x)在 x点可微的充分必要条 件是 y=f(x)在 x点处可导 . 即：函数可微 存在 ,则函数可导且 ,反之 ,函数可导 ,既 存 在 ,则 从而函数可微 . xxfdy  )( 0 xxxf  )( 0 dy dy xxfdy  )( dyxxf  )()(xf  导数与微分 dxxf dxx xxxdxdyxy xxfdyxfy )(dy )(, )(),(     写成：数的微分的一般公式可 变量的微分，从而函即自变量的增量等于自 对于函数 导数与微分 dxxxdy xxxxxy x ln 1 ln 1)(lnln 1)ln(ln lnlny(1) 9    求下列函数的微分例 导数与微分 dxaady aa aa tvaa tvay ttvvuay ay x x x x xx xx xxx x u x u x u 12 2 12 2 12 2 2 12 cos21 cos21 cos111 1 12 12 cos sinln sinln cossin2ln )()sin(2ln )()(cos)()( ,cos,,: 2)        令 （ 导数与微分 dxxctgyx ytgxydyxctgyx ytgxyy ytgxyxctgyxy yyy xyxx yxy yxxy yx xy        cosln sinln cosln sinln sinln)cos(ln cossinsinln)sin(coscosln sinlncosln )(sin)(cos3)（ 导数与微分 • 3.微分公式 xdxcsedctgxxdxdtgx xdxxdxdxxd dxxdax dxxd dxedeadxada dxnxdxdxxdxdc xa xxxx nn 22 1 11 )11(sec)10( sincos)9(cossin)8( ln)7(lnlog)6( )5(ln)4( )3()2(01       ）（ 导数与微分 导公式对应的记忆）。注：微分公式可以与求 dxxxddxxxd dxxdarcctgxdxxdarctgx dxxxddxxxd csexctgxdxdcsexxtgxdxxd 2 22 22 11)19(2 1)18( 1 1)17(1 1)16( 1 1arccos)15(1 1arcsin)14( )13(secsec)12(        导数与微分 • 4.微分法则 0)( )( )( )( 2      vv udvvdud ccducud udvvduuvd dvduvud v u 为常数 导数与微分 例 10 求下列函数的微分： dxx xxxdxx xxdxnx xxdxxdxxddy xxy dxxxexdxedxex xdexdexdedy xey xxx xxx x )sincos(lnsincos lnsinsinlnlnsin lnsin)2( )sin(cossincos coscoscos cos)1(       导数与微分 dxx tgxxx x dxtgxxdxx x xtgxdxdtgx x tgxddy x tgxy x x 2 12 2 12 2 ln secln ln secln ln lnln ln ln3)    （ 导数与微分 5.一阶微分形式不变性： 若 u为自变量 ,y＝ f(u),则 , 若 u为中间变量 , 从而不论 u是自变量还是中间变量其微分的形式不变 ,皆 为 dy=f’(x)du. 我们将微分的这一性质称为一阶微分形式不变性 利用一阶微分形式不变性可以方便的求出复合函 数和隐函数的微分和导数。 duufdy )( duufdydxxdu dxxufdyxuufy )()( )()(),()(     又 则， 导数与微分 的微商。即函数的导数等于函数 对于函数 )(,)(),( xfdx dydxxfdyxfy  x x x x x x x x e ey dxe eedeeddy ey    1 1)1(1 1)1ln( )1ln()1( 11 数求下列函数的微分和导例 导数与微分 )sincos( )sincos( cos cos)(sin sinsinsin sin)2( bxabxbey dxbxabxbe bxdxbdxasimbx bxdbxeaxdebx bxdedebxbxdedy bxey ax ax axax axax axaxax ax ee             导数与微分 2 222 2 2 12 2 2 2 12 1 2 2 2 2 2 2 1 1 11)1( )1( 1 1 )1( 1 1 )1(1 1)1ln( )1ln()3( 2 2 xy x dx xxx dxxx xx dx xx xddx xx xddx xxdxxxxddy xxy x xdx x                     导数与微分 • 例 12 求下列隐函数的微分和导数 yxy yxy dxyxy yxdy dxyxdyyxy ydyxdyydxxdxdyy dydxydxyxyxddy yxyxy 23 2 23 2 )2()23( 223 )( 1) 2 2 2 2 22223 223        （ 导数与微分 yx yx yx yx yxyx yx yx yx ex yey dxex yedy dxyedyex yxdexdyydx deyd ey                 )()( )( x x2)（ 导数与微分 )1( )1( )1( )1( )()( 0 0 0lnx 0lnx3) 11 2           xyx yxyy dxxyx yxydy dxydyx dxdyydx dxdyydx dyd y xy y xdyydx x y y x x y y x y x（ 导数与微分 • 6.微分在近似计算中的应用 近似计算公式  xxfxfxxf xxfxfxxfy )()()( )()()( 000 000 导数与微分 7954.001.04 14.302.02 1 4 02.0|1 11 )1()1()02.01(02.1 02.0,1,)( 02.11) :13 12 0       xxarctg xfffarctg xxarctgxxf arctg 取设 （ 求下列函数的近似值例 导数与微分 应取弧度值。与注：在三角函数中 设 （ xx xtg xffftg xxtgxxf tg x       0 3 2 0 6623.1)180 14.3(43 )180 14.3(sec3 )3()3()1803(59 1801,3,)( 592) |      