0 0 类别 : 课件

关于解题的基本策略与方 法 一、 前 提 1. 准确把握知识 2. 深刻理解知识 3. 理顺知识脉络 二、 解题分析时应注意的几点 1.弄清问题的题设条件（显性） 2.挖掘问题的隐含条件（隐性） 3.需要解决的问题是什么 常见解法（或证明）的依据都有那些 4.寻求题设与结论间的相互转化关系 例 1 已知 中 , 若 则 为正三角形 . ABC , ,BC a CA b AB c  uuur r uuur r uuur r ,a b b c c a    r r r r r r ABC C A B ar brcr分析 :显性条件：（ 1）在三角形中 a b b c c a    r r r r r r（ 2） 隐性条件： , ,a b cr r r（ 1） 为非零向量且不 共线 0a b c  r r r r（ 2） cosa b a b  r r r r（ 3） 正三角形的主要特征 : 1. 各边相等 2. 各角相等 ( ) (1)a b c  r r r 2 22 2b c b c   r r r r 是正三角形 .ABC 分析 1: ,a b c r r r即证明 : 2 2 2a b c r r r需证明 : 即可 . 证明 1: 0a b c  r r r r由已知可知 (1), (2) ( ) ( ) 0c b c b    r r r r由 可得 : b cr r即 : a cr r同理 : BC CA AB 由边入手 ,即证明 C A B ar brc r b a c a  r r r rQ又 ( ) 0 (2)c b a   r r r 分析 2:由平面向量的几何形式入手 . 证明 2: ( ) 0c b a   r r r AB AC 2 0AD a  uuur r 0AD BC uuur uuur即 : AD BC  是正三角形 . ABC AB BC同理 : 2 ,c b AD r r uuur由平行四边形法则得 : b a c a  r r r rQ又 C A B ar brcr D 设点 D是 BC边 的中点 , 连结 AD, 需先证明这三个角的同名的三角函数值相等 . 分析 3: 证明 3: 由 cos( ) cosa b a b C a b C   r r r r r r cos( ) cosb c b c A b c A   r r r r r r cos( ) cosc a c a B c a B   r r r r r r A B C   由角入手 ,只要证明 即可 . C A B ar brcr a b b c c a    r r r r r r且 由正弦定理： sin sin sin a b c A B C  r r r cos cos cosA B C a b c r r r 得到： tan tan tanA B C 得到： A B C  角 , ,A B CQ ABC又 角 都是 的内角 . 是正三角形 .ABC b c c a  r r r rQ cos( ) cos( )b c A c a B    r r r r 证明 4: B C ABCA B又 角 是 的内角即 同理 : 是正三角形 ., ,A B C ABC 0A B Q sin cos sin cosB A A B sin cos cos sin 0A B A B   sin( ) 0A B  由正弦定理得 : 即 : 0 cos cosc b A a B r r rQ又 证明 5:由证明 4知 cos cosb A a Br r 2 2 2 2 2 2 2 2 b c a a c bb ab c a c        r r r r r r r r r r r r 又由余弦定理可得 : 整理得 : 同理可得 : 是正三角形 . a br r b c r r ABC 一种常见的错误证法 : 同理 : 是正三角形 . a b b c a c a c     r r r r r r r rQ a b a b c  r r r r r ABC 分析出错的原因 : 对于非零向量 ,由 不能推出 成立 . , ,a b cr r r a b b c  r r r r a cr r 联想 : 已知非零实数 ,若 则 (消去律 ) 成立 . , ,a b c ab bca c 由右图可说明 : 在 上的 投影相等 但 br,a cr rQ a b b c   r r r r ac  rr ( cos )a b a b  r r r r a r cr O brN 分析： 将集合中元素的表达式变形： 2 1{ | , },4 kM x x k Z   2{ | , }4 kN x x k Z   M N （ B) 1{ | , }2 4 kM x x k Z   例 2 设集合 , ,则 ( ) (A) ( B) (C) ( D) 1{ | , }4 2 kN x x k Z    M N M N M N I M N (2002年高考理（ 5） ） 岛 -------- 点 桥 --------线段 不考虑制约条件 ,从 6座桥中选 3座 有 种 .36 20C  由图可知 : 不满 足制约条件 ,故有 :20-4=16种方案 . , , ,ACD BCD ABC ABD    2 4 6C  要使四座岛中任意两岛都 有 一座桥相连 ,则需 座桥 . A B C D 分析 : 例 3 （如图） A， B， C， D为海上四个小岛 要建三座桥，将这四个岛连接起来，则不同 的建桥方案共有——种 . (2002年石家庄市高考模拟题 ) A B C D 例 4 设关于 的方程 在 内有实数解 ,求 实数 的取值范围 . x 22 1 0x x a   [ 1,1]x  a 由问题中所给出的题设和结论所直接 (显 性 )涉及到的知识点入手 ,去寻求解题的途径 . 分析 : 因本题的题设涉及一元二次方程根的问题 , 故解题的思路直接定位于由一元二次方程求根 公式入手 ,由 ,求出实数 的取值范围 .[ 1,1]x  a 基本解法 : a 解 : 设关于 的一元二次方程根分别为 , 由求根公式得 : , 依题意有 : 或 得 : 或 解得 : 或 ,故适合题意的 的 取值范围为 . x 1 2,x x 1 1 (1 9 8 )4x a   2 1 (1 9 8 )4x a   11 1x   21 1x   11 (1 9 8 ) 14 a     11 (1 9 8 ) 14 a     92 8a   90 8a  92, 8     谈几种通过换位思考的解法 1.方程与函数的换位思考 分析 1: 将方程 左端关 于 的二次式视为关于 的二次函数 ,则原方 程在 上有实数解的问题可转化为 关于 的二次函数的图象与 轴的交点的横 坐标位于区间 内的问题 . x x [ 1,1]x  xx [ 1,1] 22 1 0x x a    解法 1: 令 , 其对称轴方程为 : ,判别式 : 所以依题意有两种情况 : (1)方程在 内有两个实根 , 则有 解得 : 2( ) 2 1f x x x a    [ 1,1]x 1 4x  9 8a   [ 1,1]x  0 (1) 0 ( 1) 0 f f       9 8 0 0 2 0 a a a       90 ;8a  x y 1-1 O a (2)方程在 内有一个实根 , 则有 解得 : 综合 (1),(2)可得 :适合题意的 的 取值范围为 . [ 1,1]x  0 (1) 0 ( 1) 0 f f       9 8 0 0 2 0 a a a       92, 8     2 0;a   1-1 O x y 2.变量与参量的换位思考 解法 2: 令 ,设 当 时 : , 则有一次函数 , ; 2( ) 2 1f a a x x    22 1t x x   [ 1,1]x  9 ,28t      ( )f a a t  9 ,28t      分析 2:对于方程 若将 视为自变量 , 视为参量，又可得到关于 的一 次函数，通过换元法并结合一次函数图象 ,使问 题得解 . a 22 1 0x x a   x a 故问题转化为 : 求斜率为 1,纵截距为 的一次函数 当纵 截距 在 内变化 (斜率不变 )时图象与 轴交点的横坐标的 取值范围 , 由图象可得 : t ( )f a 9 ,28     a 92, 8a      O y ( ) 2f a a  9( ) 8f a a  t a 3.主元与副元的换位思考 解法 3 :将方程 变形为 : ; 当 时 ,原方程有解 ,且此时 : 故 的取值范围为 . 22 1 0x x a    2 92 1 2, 8x x         92, 8    a 22 1a x x   [ 1,1]x  分析 3 :我们来研究关于 的一元一 次方程 .将 视为一个整体 ,由 ,可得出 的取值范围 ,故 的取值范围可求 . [ 1,1]x  22 1a x x   a 22 1x x  a 22 1x x   4.函数与函数的换位思考 分析 4 :将原方程变形得 : , 由等号两端的两个式子构造两个函数 ,通过 观察这两个函数在同一坐标系下的图象是 否有公共点 ,以达到解题的目的 . 22 1x x a    解法 4 : 将方程 变形得 : 令 , , 故问题转化为 :二次函数 在 的图象与函数 的图 象有公共点时 ,求 的取值范围 ; 2( ) 2 1f x x x   ( )g x a 22 1x x a    22 1 0x x a    2( ) 2 1f x x x   ( )g x a[ 1,1]x  a [ 1,1]x  另外 ,设 , 或 , 或设 , 同理可解 . 2( ) 2f x x x  ( ) 1g x a  2( ) 2 1f x x  ( )g x x a  2( ) 2f x x ( ) 1g x x a   由右图可得 : .92, 8a      1-1 O x y 9( ) 8f x  ( ) 2f x  2( ) 2 1f x x x   三 . 基 本 功 1. 对知识点的快速准确反应 2. 通则通法的系统把握 3. 严格规范的数学语言 4. 快速准确的运算能力