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专题七 数学探究和数学建模 第一讲 张思明（北京大学附属中学 特级教师 张思明）： 各位老师大家好，欢迎各位老师继续参 加高中数学新课程国家级远程培训。我们这一讲的主题是高中数学新课程的“数学建模和数 学探究”。也许大家听到这个词有一点儿陌生，当然也有很多老师已经开展过这些活动了， 我们先来介绍一些在北京常年开展这项活动的一些学校的代表，也是我们请来的两位主讲 的嘉宾。（北京第 15 中学 特级教师 隋丽丽） 我身边的这位是北京第 15 中学的特级教师 — —隋丽丽老师，我身边这位是北京首都师范大学附属中学的李大永（首都师范大学附属中 学 高级教师 李大永） ，他是高级教师，也是北京市的青年骨干教师。这边这位大家很熟悉 是我们首都师范大学的博士生导师、教授—— 王尚志老师（首都师范大学 教授 博士生导师 高中数学课程标准研制组负责人 王尚志） 。我们一起讨论这个话题，为了使大家对这个背 景了解的更清楚，我们先请隋丽丽老师向大家介绍一下，中学所提到的中学数学建模是什 么概念。 中学数学建模的概念 隋丽丽（北京第 15 中学 特级教师 隋丽丽）： 首先我们用一个非常简单的描述方式，先说 说什么叫数学建模。简单的说，数学建模就是把一个具体的实际问题转化成一个数学问题， 然后我们用数学方法解决它，之后我们再把它放回到实际生活当中去，用我们的模型解释 现实生活当中的种种现象和规律。 这次我们数学建模首次进入了高中的课程，我们再看看课程标准的要求。主要有这样的几点 要求，一个是问题一定来源于学生的日常生活和现实生活当中，了解和经历解决实际问题 的过程，并且根据学生已有的经验发现要提出的问题。同时，希望同学们在这一过程中感受 数学的实用价值和获得良好的情感体验。当然也希望同学们在这样的过程当中，学会通过查 询资料等手段来获取信息，之后采取各种合作的方式解决问题，养成与人交流的能力。实际 上数学建模的过程不仅仅限于课外，它和课内也是有结合的结合点，一会儿我们会去讨论 这些。 案例介绍 下面我们来看一个具体的数学建模例子 比如说我们同学们都经历过烧开水的过程，如果它没有经历过至少也接触到了家里烧开水。 下面我们用具体的实际问题来看怎么建立数学模型，了解这一实际问题。 首先我们这里有家庭中用的煤气炉，如果不是在城市里面，在农村我们也有燃气灶或者其 他的炉灶。这里面就有一个生活当中的现实问题，如何用比较节省的燃料烧开一壶水。在烧 开水的问题提出以后，我们可以希望同学们努力在交流的过程当中转化成一个数学问题。要 转化成数学问题，首先这个问题必须明确，这么多实际问题中的变量，如何转化成具体的 实际问题呢？必须分清的主要变量和次要变量，去掉次要变量。因为变量生活当中的问题， 变量是非常多的。这样一来，定位在节约用气的情景下烧开一壶水，这时候就需要在这个模 型的转化过程中，需要采集一些数据。采集数据的问题主要是希望能够通过我们具体的数据 建立适当的数学模型，因此我们看到在采集数据当中涉及一些实验，选到极限情况的位置 ——两端的位置。极端的位置就可以较好的节省这样的难题吗？我们会知道现实生活当中， 也许会出现，即使到极限状态水也烧不开的情况。 这时候我们看到在学生经历采集数据以及做实验的过程当中，仍然对它有一个方法的选择 策略的选择，这里就要搀杂着老师适度的指导，而不是去替代。 当我们选定了实验的方式以后，我们可以根据自己不同的家庭燃气灶的情况，来做一些数 据的采集工作。 因为煤气灶的旋钮不可能对火势做很精密的控制，因此就要适当的点播同学，并不是采集 数据的点越多越好，应该依据自己的炉灶选取一些适当的点，来采集一些数据。 之后我们可以在直角坐标系当中把我们的数据用散点图做出来，让学生利用已有的数学知 识和他自己熟悉的函数，估计大致的散点走向，用他学过的初等函数做一个数据拟合。 拟合以后，我们就可以得到所谓的数学模型，这个模型是否能够解释刚才所说的问题，就 需要进行检验。 而这个检验就可以代入一些当时采用的极端点的数值，如果出现问题，我们当然就会回到 具体的原始数据采集的过程当中，看看是不是数据的采集出现了误差，然后进行调整，修 正模型。一旦我们把模型提炼出来，我们就可以用我们这样的模型回答刚才同学们提出这样 的问题，就是当旋钮在大概什么位置的时候，可以使得燃气的用量的较为节省，直至烧开 一壶水。 在检验的过程当中，学生们还要学会再回到实践问题去分析。我们在分析之后，对它可以进 行适度的调整，实际上这就是一个完整的数学建模的过程。 张思明：对于这个过程，请 王老师帮助我们提炼一下，大概有什么应该做的？ 数学建模的过程 王尚志：（首都师范大学 教授 博士生导师 高中数学课程标准研制组负责人 王尚志） 主要 就是我们要在实际中发现一些问题，这是我觉得第一个需要关注的问题——就是我们培养 学生的问题意识。第二个就是我们能把这个问题说清楚。通常我们要提出问题，发现问题要 能够先用自然语言表述清楚，然后再从数学方面来说。我们更关注这类问题，就是可以用数 学方法来解决的问题。也许是需要有一组这样的模型，然后我们要根据数学模型来求数学的 解，得到一个数学的解答。这个数学的解答应该说只对数学模型负责任，我们对这个方程负 责任，我们要讨论我们所得到的数学结果和我们提出来的实际问题是不是相符合，如果相 符合这就是我们实际的答案。如果不相符合或者差距比较大，我们就要做一些分析，要修改 我们的模型。这样一个过程，通常我们管它叫做数学建模。 张思明： 王老师对数学建模做了一个具体的解释，老师们也关心数学建模比较新，你们也 提到了数学探究。我们中学里面，特别是高中新教材里面的探究，是有什么意义。 数学探究的概念 李大永：（首都师范大学附属中学 高级教师 李大永） 实际上数学探究本身应该说在平时 教学当中，老师有些在课堂上也是这样教学的，他更重要的意义就是引导老师增加一种教 学方式，首先就是这个问题就是有点儿全新性，解决的方案不是很明了，这样的话学生要 有一个尝试，一个探索的过程。比如说我们立体几何当中，比如制作这个立体几何模型，这 里面学生就有由他所观察到的，比如一个锥体一些线、面的结构，它们之间的关系，然后用 一张纸如何作出一个（几何模型）。 张思明：探究 ( 几何体 ) 展开后是一个什么样子的。 李大永：或者说我们可以像三角函数那部分，借助计算机发现函数的图象变化，表达适当 的 A ， Ω，φ 这几个参数的变化是如何影响图象的，这样发现它们内在的规律，这就是一 个探究的过程。总之探索问题是以问题作为一个引导，引导学生的思维不断的深入，它是以 问题的不断发现和解决为过程，这样的一种数学活动。 张思明：它（数学探究活动）的关健词就是探究，探究是一个活动或者是一个过程，也是 一种学习方式，我们比较强调是用这样的方式影响学生，让他主动的参与，在这个活动当 中得到更多的知识。探究的结果我们认为不一定是最重要的，当然我们希望探究出来一个结 果，通过这种活动影响学生，改变他的学习方式，增加他的学习兴趣和能力。我们也关心， 大家也可以看到在标准里面，有非常突出的数学建模的这些内容，但是它的要求、定位和为 什么把这些领域加到我的标准当中，你应该怎么看待这部分内容，我们想请 王老师作为课 程标准研制的负责人之一谈谈您的看法。 数学建模的发展过程 王尚志：我想简单的想把数学建模这样的历史做一个简单的回顾。可能最早提出数学建模把 它进入课程的是英国的专家和学者。有一个英国的专家，他在开设这些课程中，同时他承接 了一个国家课题。后来他就想，我为什么不把这样的课题的研究和我的教学有机的结合起来。 于是他就把这个课题，让解决的问题原原本本告诉他的学生，就是说我要解决这些问题。我 们围绕这些问题开展教学，你们来成为我解决问题的助手。于是他就把解决问题的整个过程 变成一个教学的方式，我们首先要把这个问题说清楚，然后我还会碰到什么问题再说清楚 我怎么样选择数学模型。结果他没有想到学生对这门课非常的感兴趣，并且为解决这个问题 提供了实质性的帮助。结束了这个课题以后，这位老师就想，为什么不能把它变成一种课程。 于是在博士生课程里面就提出了数学建模的课程就把他解决整个问题的过程变成一种教学 来讲，受到了学生的欢迎。有人说在硕士层面形成这样的课程，把我们数学解决很多问题的 办法和解决问题实例的分析变成一个课程。很大层面借鉴了一些商业，经济的案例分析的教 学模式。于是，在博士、硕士，进而在本科生层面开展了所谓数学建模的这样一门课程。大体 上就几种不同的分类方式，一种就是按数学方法和他要解决的问题设计数学建模的过程。另 一类是所要解决的问题，以及解决问题的过程作为数学建模过程的展开模式。 到了 20 世纪末和 21 世纪初，人们又提出问题，既然这样的一个东西对于学习数学非常有 好处，也帮助我们的学生更好的理解数学的价值，是不是在中学可以做一些实验，中国也 有一些专家，比如说像 叶其孝教授，北京师范大学的 刘来福教授和首都师范大学的 杨守 廉教授，还有复旦大学的一些教授，他们就在考虑是不是能把大学这样的教学模式能够迁 移到中学去。由 刘来福教授、 叶其孝教授， 杨守廉教授等发起，就在中学开设讨论班讨论 这些问题，然后又把它怎么转换成为中学的活动，推出了一个数学建模的活动或者数学应 用知识竞赛的活动。在这个基础上，又把它转换成为一种教学方式，隋老师、 李老师等参与 了这样的过程，开设了一些讲座，进而变成了一些活动，在中学效果还是不错的。大概这样 的一个过程从 1992 年开始实验，一直到 1997 年。 到了课程标准研制再一次提出这个问题，思明也参加了这个问题的论证，最后获得了标准 研制组的一致赞同，同意数学建模和数学探究作为一个课程内容放到高中的课程里面，并 提出了相应的要求。隋老师刚才介绍了数学课程标准对数学建模和数学探究的具体要求，就 是希望每一个高中学生能在三年时间里面经历一次比较完整的数学建模和数学探究活动。刚 才他们也介绍了这种活动的形态应该是一个什么样子，这样就在中学安家落户了。 开展中学数学建模的意义 为什么要把这样的一件事情放在中学呢？ 结合到我们数学，我个人觉得有这么几件事情是为什么我们要把数学建模和数学探究活动 放在中学的一个基点。第一个就是我们现在新课程强调，要培养学生学习数学的兴趣，我们 有什么办法来培养学生学习数学的兴趣？这是一个挑战性很强的。在传统中，我们有一个办 法，就是让学生做一些有挑战性的数学习题，我觉得这是吸引学生，特别是好学生对数学 感兴趣的一个非常好的载体。我们一定不能否认这样一种载体的作用。但是这样一种载体可 能不能吸引更多的学生，比如说学习有一定困难的学生，可能你用做难题的办法不一定能 够起作用，我觉得数学建模问题和数学探究问题，因为它强调的是问题，强调的是过程， 强调的是不同人都可以用不同的方式上手。因此我觉得它有可能成为吸引学生对学习数学有 兴趣的一个重要载体。我们的实验过程当中，也的确看到了这样的一个效果。所以我觉得这 是一个很重要的方面。就是他有了兴趣，有了自信他就可以调整自己的学习数学的心态，投 入到数学学习当中去，我觉得这是一个。 第二个 ，我们这轮课程改革中，一个很重要的，关乎到我们国家发展的事情，就是培养学 生的创新意识，我觉得在中小学阶段，创新意识最重要的体现是培养学生的问题意识。我们 总要有问题，我们要有解决问题的欲望，所以我想数学建模和数学探究活动本身都是以问 题为导向的，以过程为目标的一个学习过程。因此，我觉得有可能会对培养学生的创新意识 起一个非常好的作用。另外也会提供给我们一部分同学一个创新的空间。因为现在无论是在 北京还是在上海，还有一些其他地方，都提出了这样的一个问题，要为一些学习好的学生 提供一个更宽广的发展空间。比如现在北京成立了少年科学院，现在一些最优秀的大学，像 北大、清华、复旦、交大这些学校都在调整招收学生的一个评价标准。我觉得数学建模和数学 探究可能会为我们这些学生提供一个非常好的发展空间。我们也像清华在数学建模实验过程 当中，确实发现了一些很有潜质的学生，我们也向清华、北大、复旦、交大提供了一些这样好 的学生，也做了推荐，也受到了这些学校的接收和欢迎。所以我想培养创新的意识，培养创 新的能力是我们高中课程责无旁贷的。 第三个方面 就是我们在高中的教学中，希望我们的学生能对数学有一个比较全面的认识。 我记得在第一次数学建模颁奖大会上，丁石孙先生原北大的校长，在这个大会上对我们这 一项活动谈到了这样一个看法，他就认为你们这项活动有可能帮助学生对数学有一个比较 完整的看法。因为我们数学一个非常重要的（作用），是数学与其他学科的结合，数学要来 解决科学技术、人文社会科学中所需要解决的一些问题，也就是说我们通常所说的数学的应 用意识。这是我们形成对数学一个完整看法的重要组成部分。我觉得这个数学建模和数学探 究也会通过我们这样的活动告诉我们的学生，数学需要关注的一些方方面面，是数学真正 的价值所在。 我觉得第四个方面，对于教师的专业成长也会起一个非常重要的作用。我们要让学生做得老 师首先要做，更何况我们老师在教学的过程当中，难道不是扼要经历这样的过程吗？我们 要发现问题，我们要寻求解决问题的设计和办法，我们要得到一些结果，我们这些结果也 要受到实践的检验。这样的一种研究能力，也是我们教师专业成长的一个重要的载体。所以 我想从这些方面来说，把数学建模和数学探究放在中学，放在高中的数学课程当中，是有 着非常重要的积极意义。 张思明： 王老师对数学建模的功能定位做了一个分析。为了使老师对这个数学建模怎么开 展，有一个更具体的印象，我们给大家准备了两个短片。第一个短片我们让老师了解一下 “结合课堂教学数学建模的设计”，我们找的线索是针对三角函数的应用。测量这个课题大 家都非常的熟悉，我们先看第一短片，这是我带北大附中高一年级做的测量课的实例，我 们一起来看。 刚才我们看到这个片子当然是一节课的片断，如果老师们对这个课感兴趣，可以在我们阅 读资料里面找到这个课的教学设计。这是一个结合课堂内容，还有一些就是真正的课堂内容 本身，我们希望老师来揭示这个内容的应用背景，像这样的问题我们也请大家看一个案例。 这是由人大附中 仇金家老师介绍的周期现象，我们一起看这个课例。 这个课例也是一个片断，我们看到了老师在课堂上组织大家学习周期函数的时候，介绍了 好多的背景，其中包括潮汐，超过游乐场的大轮，这种观光的轮。我们看到老师提出的现象 重点引起学生们的重视，我想这两个例子都说明了在课堂里面挖掘数学内容的应用背景是 大有可为的，不知道两位老师还能给我们提供一点什么背景资料，或者你们做过类似的工 作吗？ 怎样辅导学生进行数学建模 隋丽丽：其实比如说像刚才 邱老师做的那个有关周期现象的课内挖掘建模的课，这里面主 要描述了孩子们生活特别熟悉的摩天轮的旋转过程当中怎么提炼数学问题。其实我们孩子们 也都接触过，比如像升旗，它也是一个周期现象。你不管是农村学校还是城市的学校，它都 会举行这样的升旗仪式。我们可以通过这样的升旗仪式来引导孩子做一个课外的建模活动。 这时候他就牵扯到几个环节，首先就是你的数据是怎么来的，然后这个数据做了以后，我 应该怎么去处理它等等。当然这个过程我们希望老师要有一个设定的目标，自己要有一个明 确的指导方案，然后带领学生制定一些执行的计划。有一些任务上的建议，但是一定不要替 代，这个是最糟糕的。包括数据的来源，一定给他做一个引领上的介绍就足够了，你没有必 要把数据拿到跟前再做，这就失去了我们建模的意义。我们希望同学们能够真正的经历数据 采集，数据处理，从处理数据的过程当中怎么利用他所学的数学知识做出这个模型，做模 型的过程当中就是用数学去解决问题，确实体验数学在生活当中是怎么用的。我们从这样的 实际问题引发孩子们的兴趣，让他们知道数学在实际生活当中的价值体现。 接下来可以带领他们再去具体的处理这些东西，最后有一个交流是最好的。因为每个孩子都 有不同的数据采集方式，有不同对这个问题的理解，有不同数学处理的手段，有不同的信 息技术的支持和整合。我们最后最好能够给孩子提供一个平台，让他们做交流，让孩子之间 有一个分享，大家得到好的结果和收获的共同分享。 李大永：其实也可以找一些社会的热点问题，比如咱们这几年的（生物入侵），其实学生 也是很感兴趣的，比如水壶，那个滇池把几千公顷，一千多公顷的水面全部（被水藻）封 满，其实这个学生很感兴趣，可以提供学生一个网址，让他收集相关的信息。比如滇池的水 温，水壶它的生长的特点，这时候可以做一个估计，实际上大学里面生物模型有一个单一 种群函数模型，就是指数函数。从这个当中做一个估算，比如就是有一亩的水面，按照它的 发展变化它的生长速度是什么样的，这样一算是很可怕的，了解到指数函数的特性，它的 增长速度是非常非常快的。还有像咱们近几年说的城市人里面的买房问题，到底是等额本息 还款还是等额本金还款，到底哪个更加有利于自己，怎么作出一个更加客观的分析，这个 也是提供给他这样一个资料。如果有时间可以课堂上做一个引导，然后更多的其实可以放在 课下让学生完成，有的学生对这个很感兴趣。这种问题是在背景上吸引他注意，而不是一个 像刚才 王老师说的吸引学生兴趣，有些是数学的挑战性，其实有的时候是一种有趣性。这 个就是有趣性或者跟他现实的一种更加接近，还有孩子说他父母就在买房，在家里面讨论 怎么买房合算，他就给做一个设计。其实他就是用数学这种感觉，他跟老师说：“我父母说 你能做什么。”但是他做出来以后一分析父母觉得挺惊讶，念书没白念，确实学到一些东西 他也觉得很自豪。 张思明：我们也看看，当然我们时间短，做了一个简单的分析。如果大家关注我们的教材， 挖掘教材的应用背景，让学生体会到教材内容和生活实际的联系，我们就知道数学有用， 能用，然后我们引导学生让他可用、想用、会用，最后能够用他们自己了解的数学知识解决 更多的问题。 我们这一讲先到这里，下一节课我们一起讨论在课内外结合和课外怎么样开展数学建模和 探究的活动。谢谢大家的参与，我们期待下一课和大家再见。