§2.4 反函数
神马集团子弟学校 金小欣
1. 反函数概念：
①定义：
设 y= f (x) 的定义域为 A，值域为 C，根据这个函数中 y与 x
的关系，用含 y的代数式把 x表示出，得到 x= (y),如果
对于 y在 C中的任何一个值，通过 x= (y),x在 A中都有唯
一确定的值和它对应，那么 x= (y)就表示 y是自变量， x
是 y的函数。这样的函数 x= (y)（ y C∈ ）叫做函数 y = f
(x) (x A)∈ 的 反函数。记作： x= f － 1(y) (y C).∈ 在函数 x= f
－ 1(y) (y C)∈ 中 ,y是自变量， x是 y的函数，但习惯上 ,一般
用 x 表示自变量，用 y表示函数，为此，把 x= f － 1(y) 中的
x与 y对调，改写成 y=f –1(x) (x C∈ ）的形式。以后就采用这种
形式。由此，我们说 , y = f (x) (x A)∈ 的反函数是 y=f –1(x)
（ x C∈ ）
②对反函数概念的深刻理解：
由已知函数 y= f (x) (x A)∈ 反解出表达式 x= (y)
(y C),∈ 必须验证该表达式是函数关系式，才能说明它是已知函
数的反函数。
⑴如果 y= f (x) 有反函数 y = f –1(x),则 y = f –1(x)的反函数就是 y=
f (x)
即 y= f (x) 与 y = f –1(x)互为反函数。
⑵ y= f (x) 的定义域为 A，值域为 C，则其反函数 y = f –
1(x)的
定义域为 C，值域为 A.。也即：互为反函数的两个函数
的定
义域 和值域正好相反。⑶只有一一映射的函数才有反函数。因单调函数关系是一一
映射关系，所以，单调函数在单调区间内必有反函数。
2.反函数求法举例
例 1 求下列函数的反函数
① y = 3x － 1 (x R) ∈
② y = x 3+1 (x R) ∈
③
④ ( X R,∈ 且 X≠1)1
32
X
XY
)0(1 xxy
求简单函数的反函数的一般方法、步骤
：
① 由已知函数解析式 y = f (x) (x A)∈
求出 x = (y) (反解）
② 将 x 与 y 互换得 y = (x)
（互换）
③ 确定反函数定义域，
写出 y = f (x) 的反函数
(x C)∈
)(1 xfy
拓广延伸：
①由函数解析式本身所确定的自变量的取值范围叫做
函数的自然定义域。
②求一次分式函数（其定义域是自然定义域）的反函数，
在求出其反函数的解析式后，可由反函数（仍是一次分式
函数）的解析式直接写出反函数的定义域（令分母≠ 0即得）
)1(1
32
xx
xy
2
3
y
yx
如本例中求函数 的值域，由已知可得：
据此可知，所给函数的值域为
2yy
③利用反函数可求一次分式函数在自然定义域条件下的值域。
课堂练习： P68 1～ 4
课堂小结：
本节主要学习了反函数概念及
简单函数的反函数的求法。
作业： Ex 2.4 P68～ P69 1 , 4﹡
欢
迎
指
导
谢
谢
光
临
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