万有引力定律在天文学上的应用
一、素质教育目标
（一）知识教学点
1．了解行星绕恒量的运动及卫星绕行星的运动的共同点：万有引力作为行星卫星圆周
运动的向心力．
2．利用万有引力等于向心力列方程求出中心天体的质量．
3．了解万有引力定律在天文学上的重要的应用．
（二）能力训练点
通过求解太阳、地球的质量，培养学生理论联系实际的运用能力．
（三）德育渗透点
通过介绍用万有引力定律发现未知天体的过程，使学生懂得理论来源于实践，反过来
又可以指导实践的辩证唯物主义观点．
（四）美育渗透点
天体物理中具有对称的几何图形，体现了极强的形式美．
二、学法引导
由教师讲授，师生讨论万有引力定律在天文学上具体应用．
三、重点·难点·疑点及解决办法
1．重点
对天体运动的向心力是由万有引力提供的理解
2．难点
如何根据已有条件求中心天体的质量
3．疑点
为什么行星运动的向心力等于恒星对它的万有引力？卫星绕行星运动的向心力等于行
星对它的万有引力？
4．解决办法
通过举例，理解万有引力是天体或卫星的向心力，并知道在具体问题中主要考虑哪些
物体间的万有引力．
四、课时安排
1课时
五、教具学具准备
太阳系的行星运动的挂图
六、师生互动活动设计
1．教师讲解万有引力定律在天文学上一些具体的应用．
2．学生阅读教材，讨论利用万有引力定律发现新星的过程．
七、教学步骤
（一）明确目标
（略）
（二）整体感知
本节教学是本章的重点教学章节，用万有引力定律计算中心天体的质量，发现未知天
体显示了该定律在天文研究上的重大意义．
计算中心天体质量 M，利用的就是绕其运动的行星（或卫星）作圆周运动的向心力等
于万有引力而求得．
rTmr
mMG 22 )2(
M＝ 2
224
GT
r
对于一个天体，M是一定的，由此我们可知，绕其做圆周运动的所有行星（或卫星）
有：
2
3
T
r ＝k
推导出了开普勒第三定律．
（三）重点、难点的学习与目标完成过程
1．天体质量的计算
应用万有引力定律计算天体质量的基本思路是：根据行星（或卫星）运动的情况，求
出行星（或卫星）的向心力，而由向心力等于万有引力定律列方程：
引F ＝ 向F
G 22 )2( Tmr
Mm ·r
由此解得：M＝ 2
324
GT
r
如果测出行星的公转周期 T以及它和太阳的距离 r，就可以算出太阳的质量（举地球绕
太阳的运动实例让学生计算）；如果知道月球或人造卫星绕地球运动的周期 T和距离 r，就
可以求出地球的质量．例如：已知月球到地球的球心距离为 r＝4× 810 m，月亮绕地球运行
的周期是 30天，由此可计算出地球的质量是 5.89× 2410 kg．
如果我们还知道中心天体的半径 R，则还可以求出中心天体的平均密度
ρ＝ 32
33
RGT
r
v
M
2．万有引力对研究天体运动的重要意义
利用万有引力定律，我们可以求出中心天体的质量，但如果我们知道了中心天体的质
量，也可以确定绕其运动的行星（或卫星）的运动情况，在太阳系中，行星绕太阳运动半
径 r为：r＝ 3
1
2
2
)4(
MGT
海王星、冥王星的发现就是利用了这一原理．科学家利用这一原理还发现了许多行星的
卫星．
（四）总结、扩展
本节我们学习了万有引力定律在天文学上的应用，计算天体的质量的方法是 引F ＝ 向F
求得的结果
M＝ 2
324
GT
r
另外，据天体质量的计算结果讨论
1．从理论上验证了开普勒经验公式： 2
3
T
r ＝k的正确性．
2．如果知道中心天体的质量M，也可以预测绕其运动的行星或卫星的运动情况．
八、布置作业
1． 110P （1）
2．某球形天体的半径为地球半径的m倍，密度为地球密度的 n倍，若在地球表面上重
力加速度为 g，则在该天体表面上引力加速度大小为多少？
九、板书设计
四、万有引力定律在天文学上的应用
1．天体质量的计算
rTmr
MmG 2
2
2
4
M＝ 2
324
GT
r
2．发现未知天体
r＝ 3
1
2
2
)4(
MGT
十、背景知识与课外阅读
估算题的类型及解法
1．利用模型的估算题
例试估算金原子 19779 Au的大小，并从 a粒子的散射实验中估算金核的大小，设 a粒子
的速度 av ＝1.60× 710 m／s，质子质量为 1.67× -2710 kg，基本电荷量为 1.60× -1610 C，静电
力恒量为 9× 910 N· 2m ／ 2C ，金的密度为 19.3× 310 kg／ 3m ，阿佛加德罗常数 AN 为 6.02×
2310 -1mol （计算结果取一位有效数字）．
解析 估算金原子大小应先建立如下物理模型：设想金原子是小球体，且紧密挨在一
起，由此可得解题思路．
（1）一摩尔金原子的体积为摩尔质量m与金的密度 ρ的比值，即 V＝
m
（2）一个金原子的体积为
0V ＝ AA N
m
N
V
（3）一个金原子的半径为
0R ＝ 33 0 4
m3
4
3
AN
V ≈1× 1010 m
估算金核的大小主要在于想像 a粒子与金核的“对心碰撞”物理模型：两者之间的库
仑斥力使正射而来的 a粒子在距金核 0r 外停止，这时 α粒子的动能完全转化为在核电场中
的电势能，然后返回散射．因此，为解题铺路搭桥，由
aa qr
Qkvm
0
2
2
1
得金核的最大半径为
0r ＝2kQqα／mav2α
式中Q为金核的电量，代入数据算得
0r ＝4.26× 1410 m
a粒子只能接近金核，不能接触金核，所以金核的半径应在 1410 m以下．可见，金核
的大小只相当于金核原子大小的万分之一．
2．取标准值计算的估算值
例 试估算地球大气层的总质量（取一位有效数字）．
解析本题如能抓住“大气压是由大气重量产生的”这一关键概念进行思考，就能为解
题拨开迷雾．同时领悟到题中隐含的两个已知条件：地球的半径 R与标准大气压 0P 这两个
常数．其思路如下：
（1）由压强 P＝ S
G ，得大气层的重量
G＝ 0P 地球S ＝ 0P ·4π 2R
（2）标准大气压约等于 10m高水柱的压强，即
0P ≈10m× 310 kg／ 3m ＝ 410 kg／ 2m
（3）大气层的总质量的千克数近似等于总重量的千克数G，故有
M≈ 410 kg／ 2m ×4π（6.4× 610 ） 22m ≈5× 1810 kg．
十一、随堂练习
1．两颗靠得很近的行星，必须各以一定的速率绕它们连线上某一点转动，才不至于由
于万有引力的作用而将它们吸引到一起．已知这两颗行星的质量分别为 1m 、 2m ，相距为
L，讨论这两颗行星运动的周期、运动半径有什么关系？求它们的转动周期．
2．下列情况中，哪些能求得地球的质量 （ ）
A．已知地球半径和地球表面处的重力加速度
B．已知贴近地面的卫星的周期和它的向心加速度
C．已知地球卫星的轨道半径和周期
D．已知地球卫星的质量和它的高度
3．有一质量分布均匀的球体，以角速度 绕自身的对称轴旋转，若维持球体表面的
物质不因为快速旋转而被甩出的力只有球体对它的万有引力，则该球体的密度 ρ至少为多
大？
4．用火箭把宇航员送到月球上，如果已知月球半径，他用一个弹簧秤和一已知质量的
砝码，能否测出月球的质量？如何测定？
答案：1．两颗行星靠得很近，它们绕连线上的某点作圆周运动，万有引力等于它们的
向心力，它们的运动周期相等，则它们的质量和半径的乘积相同，即 11rm ＝ 22rm 且 1r ＋ 2r
＝L
所以 T＝2π )( 21
3
mmG
L
2．ABC 3．ρ≥ G
4
3 2 4．能，略
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