曲线和方程教案
●教学目标
（一）教学知识点
1.曲线的交点；
2.曲线方程的公共实数解.
（二）能力训练要求
1.会通过解曲线方程组求得两曲线的交点.
2.通过曲线方程讨论曲线的性质.
（三）德育渗透目标
1.渗透数形结合思想；
2.提高学生的思维能力.
●教学重点
两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解，求曲线的交点问
题转化为求方程组的解的问题.
●教学难点
已知曲线的某一段与直线的交点问题的解法及有关弦长问题回避求曲线交点而巧用韦
达定理求解.
●教学方法
启发诱导式教学法
启发诱导学生联想新旧知识点的联系，从而发现解决新问题的捷径.
●教学过程
Ⅰ.课题导入
［师］通过前两节的学习，咱们已很熟练根据条件求曲线方程的基本步骤，即我们可
求出曲线方程，那么根据曲线方程可讨论曲线的交点问题吗？进而求和余弦长又该如何通
过曲线方程求得？
下面，请同学们思考如下问题：
Ⅱ.讲授新课
［例 1］若直线 l:ax-y+b=0 经过直线 l1:2x-2y-3=0 与直线 l2:3x-5y+1=0 的交点，求
a、b的关系式.
分析：先求出 l1与l2的交点 P的坐标，然后将 P点的坐标代入直线 l的方程，即可求
得a的值.至于 l1与l2的交点即直线l1与l2的公共点，所以就应该是l1与l2所对应方程的
公共解，即由l1与l2所对应的方程所组成的方程组的解.
解：由方程组
0153
0322
yx
yx
解得
4
11
4
17
y
x
即两直线l1与l2的交点坐标为P( 4
11,4
17 ),将其代入直线l:ax-y+b=0,
整理得17a+4b=11.
∴所求a、b的关系式为：17a+4b=11.
［例2］求直线y=x+3被抛物线y=2x2截得的线段之长.
分析一：将直线方程与抛物线方程联立，求得直线与抛物线的交点坐标，再利用两点
间的距离公式求出弦长.
解法一：由
22
3
xy
xy
解得
236
233
236
233
y
x
y
x 或
即直线与抛物线的交点为A（3+3 2 ，6+3 2 ）、B（3-3 2 ，6-3 2 ），
∴｜AB｜= 22 )236()236()233()233( =12.
∴所截线段之长为12.
［师］请同学们体会刚才的解题过程，看是否还可通过其他途径求出截线段之长.
分析二：设直线与抛物线的交点为 A（x1、y1）、B（x2,y2）则由｜AB｜ =
2
12
2
12 )()( yyxx 及y1=x1+3,y2=x2+3得 y2-y1=x2-x1,
从而｜AB｜= 212 )(2 xx
21221 4)(2 xxxx
故可回避求直线与抛物线的交点坐标，直接由韦达定理整体求值，一般地，直线被二
次曲线所截得的弦长问题都可用这种“设而不求”的技巧求解.
解法二：设直线y=x+3与抛物线y=2x2的交点坐标为A（x1,y1）、B(x2,y2)，则由方程组
22
3
xy
xy
得x2-6x-9=0
∴
9
6
1
21
xx
xx
又∵A(x1,y1)、B(x2,y2)都在直线y=x+3上，
∴y1=x1+3,y2=x2+3,
∴y2-y1=x2-x1
∴｜AB｜= 212212 )()( yyxx
12
)9(462
4)(2
)(2
2
21
2
21
2
12
xxxx
xx
∴所截线段之长为12.
评述：这样既简化了运算，又提高了准确率，请同学们予以掌握.
Ⅲ.课堂练习
请同学们结合练习慢慢体会.
［生］（板演练习）：课本P72练习 4.
求直线2x-5y+5=0与曲线y=- x
10 的交点.
解：解方程组
xy
yx
10
0552
将②代入①得 2x2+5x+50=0.
∵Δ=25-4×2×50=-375＜0,
∴方程组无解.
即直线和曲线无交点.
［师］要充分应用一元二次方程的判别式和韦达定理，以讨论直线和二次曲线的交点
的问题.
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，同学们需要掌握方程组的解与曲线交点的关系.
首先，要知道与曲线对应的方程联立成的方程组的解便是这些曲线的交点的坐标.也就
是说，若要求一些曲线的交点，只要将其对应的曲线方程联立起来组成方程组，通过解方
程组便可求得交点的坐标.
其次，若遇求直线与二次曲线的相交弦问题时，则可用“设而不求”的技巧来解.
设直线y=kx+b(k≠0)与 y=ax2(a≠0)相交于点A（x1,y1）、B(x2,y2)
则｜AB｜= 221221 )()( yyxx
2
21
2
2
21
2
21
))(1(
)()(
xxk
xxkxx
Ⅴ.课后作业
（一）课本P72习题7.6 8,9.
（二）1.预习内容：课本P75～76.
2.预习提纲：
（1）怎样根据已知条件写出圆的标准方程？
①
②
（2）怎样根据圆的标准方程，写出经过圆上一点的切线方程？
●板书设计
课 题
一、求曲线的交点 ［例 1］
联立方程组求交点 课时小结
坐标 ［例 2］
/4
