0 0 类别 : 教案

排列教案 【教材】10.2排列 【目的】1.巩固复习本节知识. 2.进一步掌握带有限制条件的排列应用题的解法. 3.能综合应用排列数公式及分类计数原理和分步计数原理解排列应用题,提高学生 解较复杂一些的排列应用题的能力. 【过程】： 一、复习引入 1.排列数公式 )1()2)(1(  mnnnnAmn  或 )!( ! mn nAmn  ,公式的前者 主要用于排列数的计算,而后者主要用于排列数等式的求解和证明. 2.利用排列数公式与两个基本原理解排列应用题,是本节的重点和难点,解题的基 本原则是:(1)选原理——分类计数原理与分步计数原理;(2)选思路——直接法 或间接法;(3)画框图——帮助理解,提高解题的直观性. 二、新课 例1 (1)解方程 198 43  nn AA ( 6n ) (2)解不等式 333 xAxA  (  *,4 Nxxx  (3)求证 nmnmnm AnAA 11   例2 若 m∈{2,5,8,9},n∈{1,3,4,7},则方程 1 22  n y m x 可表示多少个焦点在x 轴上的相异椭圆? 分析:分为四类① m=2时,n=1;②m=5时,n=1、3、4;③m=8时,n=1、3、4、7;④m=9 时,n=1、3、4、7.故可表示不同椭圆的个数为:1+3+4+4=12个. 例 3 7人排成一排,根据下列条件,分别求各有多少种不同的排法. (1)甲只能排在中间或两头的位置; (2)甲、乙两人必须排在两头; (3)甲不排在两头. 分析:考虑特殊元素和特殊位置 (1) 甲 甲 甲 21606613 AA 种 (2) 甲、乙的排法有 22A ,故共有 2405522 AA 种 (3)甲有 15A 种排法,故共有 36006615 AA 种 (或 3600661277  AAA 种) 例4 从 1到 9这 9个数字中任选5个,可以组成多少个符合下列条件的五位数. (1)奇数;(2)能被25整除;(3)50000到 90000之间的偶数. 分析:(1)个位数为奇数 84004815 AA 个 (2)末两位必须是25的倍数,即25或 75,有 12A 种,故共有 4203712 AA 种. (3)既要考虑个位,又要考虑最高位. 当万位是 5或 7时,如上图,有 12A 种排法,个位有 14A 种排法,中间三位有 3 7A 种排法,此时共有 12A 14A 37A 个; 当万位是6或8时,如上图,这时共有 12A 13A 37A 个 故共有 12A 14A 37A + 12A 13A 37A =2940个. 例 5 4名男生,3名女生排成一排,按下列要求,求各有多少种不同的排法. (1)男、女生都排在一起; (2)女生不全排在一起; (3)男、女生必须相间. 分析(1)思路:分别将男、女生看成一个整体. 将 4名男生,3名女生分别看成一个整体(两个元素),有 22A 种排法;男、女 甲 乙 甲乙 57 2468 248 6 2468 生各自在整体内分别有 44A 和 33A 种排法,故不同排法共有 22A 44A 33A =2 88种. (2)思路:“全排”和“不全排”是互斥的,用间接法. 女生全排在一起的情况,把3名女生看成一个整体A,则 4名男生和A共有 55A 种排法.在A内又有 33A 种排法,因而女生在一起有 55A 33A 种排法,因此女生 不全在一起的排法有 77A - 55A 33A =4200种排法. (3)如图,只有这样,才能使男女生相间,因此符合条件的不同排法共有 44A 33A =1 44种. 指出:(3)为相间的排列问题,一般用“插空法”. 如果将它改为“任何两个女生不相邻”,则和“男女生相间”是有区别的. “任何两个女生不相邻”只要求她们之间排有男生,至于排几个男生则无关 紧要.如下图,先排无附带条件的男生(圆圈),4名男生之间及两头有5个空档 (图中△),3名女生只要排在空档位置,都符合任何两个女生不相邻,共有 44A 3 5A =1440种. 例 6 7人排成一排,按下列要求,求各有多少种不同的排法. (1)若 C、D、E三人两两不相邻; (2)若 A、B两人连排在一起,C、D、E三人两两不相邻; (3)若 A、B两人不相邻,C、D、E三人也两两不相邻. 分析(1)C、D、E三人两两不相邻,即三人间隔排,可采用“插空法”.先排余下4人, 再在留下的5个空档中插入C、D、E,共有 44A 35A =1440种. (2)A、B连排可采用“捆绑法”,把A、B两个元素看作一个集团元素.先排这个 集团元素和 C、D、E外两人,有 33A 种排法,再在留下的 4个空档中插入 男 男 男 男女女 女 女 女 女 女 女 女 女 女 女 男 男 男 男A C、D、E,有 34A 种排法,但应注意 A、B两人可交换位置,有 22A 种排法,故共有 的排法总数为 33A 34A 22A =288种. (3)因为同时解决两个不相邻问题比较困难,可通过“补集法”转化为用(2)解 决. 设全集I=｛C、D、E三人两两不相邻的排法｝, 集合A=｛C、D、E三人两两不相邻,且 A、B连排在一起的排法｝, 则 A =｛C、D、E三人两两不相邻,且 A、B不相邻的排法｝ 故 n( A )=n(I)-n(A)= 44A 35A - 23A 22A 34A =1440-288=1152种. 指出:(1)连排问题采用“捆绑法”,间排问题采用“插空法”. (2)用“补集法”解题时,必须先确定全集,以化难为易,化繁为简为宗旨. 例 7 7人排成一排,按下列要求,求各有多少种不同的排法. (1)甲不能排在首位,乙不能排在末位; (2)甲、乙两人间恰好间隔两人; (3)甲、乙、丙三人顺序一定. 分析(1)直接法——元素分析法 甲不能排在首位,只能排在后面六个位置,注意到乙不能排在末位,所以甲 的排法分为两类: 甲在末位,有 66A 种排法 甲排在中间 5个位置,有 15A 种,乙排除末位的其余 5个位置,有 15A 种,其 余的元素还有 55A 种,故共有 15A 15A 55A 种排法. 因此共有 66A + 15A 15A 55A =3720种排法. (2)把甲、乙两人连同中间2人看作一个集团元素,它的位置有 14A 种,甲、乙外 的五人作全排,有 55A 种排法,甲、乙可交换位置有 22A 种,由分步计数原理 共有 14A 55A 22A =960种. 甲 甲 甲 甲 甲 甲 另解:先从甲、乙外 5人中选2人填在甲、乙之间的两个空档内,有 25A 种,再 把它们看作一个元素,与余下 3人作全排,有 44A 种,甲、乙可交换位置有 2 2A 种,由分步计数原理共有 25A 44A 22A =960种. (3)当甲、乙、丙顺序选定 7个位置中的某 3个时,其他人位置不动,这时甲、乙、 丙 3 人在这 3个位置上的排法只有一种是符合题中顺序要求的,因此共有 3 7A / 33A =840种.(“等几率问题”) 另解:当甲、乙、丙外的4人在7个位置上作选排列,留下的3个位置给甲、乙、 丙排列,符合条件的排法只有1种,故共有 47A =840种. 指出:题(2)中,设立“集团元素”体现了整体思想,尤其是法一采用先整体后局部, 先特殊后一般的解题程序,思路清晰,形象直观,避免出现重复或遗漏的错误. 题(3)中,法一体现了“动中求静”的思维方式,一旦甲、乙、丙外的4人位置固 定,甲、乙、丙 3人都有 33A 种排法,但只有一种符合条件;法二中运用逆向思维 方式,把对甲、乙、丙 3人的顺序要求转化为余下4人在7个位置上的选排问题. 例8 用 1,3,6,7,8,9组成无重复数字的四位数,由小到大排列: (1)第 114个数是多少?(2)3796是第几个数? 分析(1)∵千位数是“1”的四位数有 35A =60 个,∴第 114 个数的千位数字应是 “3”.又千位数字为3,十位数字是“1”即“31”开头的四位数又 24A =12 个.同理,“36”,“37”,“38”,“39”开头的四位数也分别又12个,∴第 114 个数的前两位必为“39”,而在“39”开头的四位数中,3968 排在第 6 个位置,∴第 114个数应该是3968. (2)由(1)可知“37”开头的数的前面有60+12+12=84个,而 3796在“37”开头 的四位数中排在第 11个(倒数第 2个),故 3796是第 95个数. 指出:正确认识排列的“序”及多位正整数的有序排列规律是解决此类问题的关键. 三、小结: 对于带有限制条件的排列应用题,其解题的基本思路是:先找出受限制的元素(或位 置),按照特殊优先的方法分步解决;而在解决问题的过程中有两种思路——正向思 考与逆向思考.利用正向思考时,既可以从特殊元素出发也可从特殊位置出发. 四、作业:教材第 95页 习题第 8、9、10题.