函数的极限教案 2
教学目的
借助函数的图象，使同学理解函数的左极限、右极限的概念和函数在与 x0处极限存
在的充要条件．
教学重点和难点
函数的左、右极限的概念和函数在点 x0处有极限的充要条件，即左极限、右极限、极
限三者的关系．
教学过程
一、复习提问
当 x无限趋近于 x0时，函数 f(x)的极限的定义是如何叙述的？如何表示？
二，新课
1．新课引入
写出下列各函数的定义域，并作出它们的图象：
(6)f6(x)＝[x]．
解：(1)x∈R；(2)x∈R且 x≠0；
(3)x∈R且 x≠0；(4)x∈R；(5)x∈R且 x≠0；
(6)x∈R．
它们的图象分别为图 1－10—图 1－15．
2．新课：
若具体分析当 x→0时，f3(x)，f4(x)，f5(x)，f6(x)的情况又各有不同．当 x从左边无
限趋近于零时，则有 f3(x)→－1，f6(x)→－1，而 f4(x)，f5(x)不趋近于任何常数；当 x从
右边无限趋近于零时，则有 f3(x)→1，f4(x)→0，f6(x)→0，f5(x)不趋近于任何常数．为
了区别它们，而且也为了更准确理解上节课的内容，可称前者有左极限或无左极限，
后者有右极限或无右极限．若 x从左或右边趋近于零分别写成 x→0-或 x→0+，那么可
用如下符号表示左、右极限的概念，即
一般说来，可把左、右极限概念定义为：
如果当 x从点 x＝x0的左侧(即 x＜x0)无限趋近于 x0时，函数 f(x)无限趋近于常数
A，就说A是函数 f(x)在点 x0处的左极限．记作：
如果当 x从点 x＝x0的右侧(即 x＞x0)无限趋近于 x0时，函数 f(x)无限趋近于常数
A，就说A是函数 f(x)在点 x0处的右极限．记作：
函数的左极限和右极限，统称为函数的单侧极限，而函数的极限可称为双侧极限．
函数的单侧极限仅与 x0点的邻域有关，而与点 x0是否属函数的定义域无关．例如
函数 f3(x)在 x＝0处无意义，但是该函数在 x＝0处有左极限是－1，有右极限为 1；又
如函数 f4(x)在点 x＝0处有意义，但是该函数的左极限不存在(x→0-)．
当点 x＝x0函数有意义时，函数的单侧极限与 f(x0)无关．例如函数 f6(x)在 x＝0处
的左极限为－1，而 f6(0)＝0．
函数在 x＝x0处的极限与该函数在 x＝x0处的单侧极限有着极为密切关系．根据它
们的定义和如上例题可得定理：
(证明以略)
三、小结与巩固练习
(1)我们应该很好地掌握函数在点 x0处的左极限、右极限的概念和函数在点 x0处有
极限的充要条件，即左极限、右极限、极限三者的关系．
(2)一个函数 f(x)在点 x0处的单侧极限、双侧极限都与函数 f(x)在点 x0处是否有意义
无关；与函数 f(x)在点 x0处的函数值无关．
(3)如果把函数 f(x)在点 x0处的单侧极限、双侧极限与 f(x0)的关系联系起来看，这将
引出新的概念——连续与间断的概念．
练习：说出下列各函数在点 x＝a处的左极限、右极限和极限(如果存在的话)．
四、布置作业
1．说出下列各图 1－16(1)－(4)中表示的函数在点 x＝a的左极限、右极限和极限(如
果存在的话)．
2．举出满足下列条件的一个具体的函数例子．
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