利用导数判断函数的单调性教案 1
教学目的
使学生理解利用导数判断函数的单调性的原理，掌握利用导数判断函数单调性的
方法．
教学重点
本节课的重点是让学生掌握利用导数判断函数单调性的方法，在解题过程中对于
容易忽略的关于函数的定义域，应予以强调，引起学生重视．
教学过程
一、复习提问
1．叙述导数的定义．
2．叙述拉格朗日中值定理．
二、新课
1．新课引入．
如果函数 f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，那么在(a，b)内至少
有一点ξ，使得
f(b)－f(a)=f'(ξ)(b－a)．
本节课我们利用这个定理讨论怎样利用导数判断函数的单调性．
我们首先复习一下函数单调性的定义：
如果对于任意 x1，x3∈(a，b)，当 x1＜x3时，都有 f(x1)＜f(x3)，那么说 f(x)在区间
(a，b)内是增函数；
如果对于任意 x1，x3∈(a，b) 当 x1＜x3时，都有 f(x1)＞f(x3)，那么说 f(x)在区间
(a，b)内是减函数．
过去我们曾经根据定义判断过函数的单调性．
例如确定函数 y=x2－2x＋4的单调区间．
解：对于任意 x1，x3∈(－∞，＋∞)，x1＜x3．
=(x1＋x3)(x1－x3)－2(x1－x3)
=(x1－x3)(x1＋x3－2)，
∵ x1－x3＜0，当 x1＜x3＜1时，
x1＋x3－2＜0，f(x1)－f(x3)＞0，f(x1)＞f(x3)
∴ y在(－∞，1)内是减函数；
当 1＜x1＜x3时，x1＋x3－2＞0，f(x1)－f(x3)＜0，f(x1)＜f(x3)
∴ y在(1，＋∞)内是增函数．
我们以前也曾经利用函数图象说明函数的增减性，图象上升则递增，图象下降则
递减．
用定义(不等式)或图象这些初等方法讨论函数的单调性，一般比较繁杂，比较复杂
的函数的单调性，用初等方法解决有时比较困难．而函数 f(x)的导数 f'(x)正是反映了函
数的变化率，即反映函数的增加或减小，变化的快慢．因此我们可以利用导数判断函
数的单调性．为此先证如下定理．
2．新课．
定理 设函数 f(x)在区间(a，b)内可导．如果在(a，b)内 f'(x)＞0，那么 f(x)在(a，b)
内是增函数；如果在(a，b)内 f'(x)＜0，那么 f(x)在(a，b)内是减函数．如果在(a，b)内
恒有 f'(x)=0，那么 f(x)在(a，b)内是常数．
证明：在区间(a，b)内任取两点 x1，x3，使 x1＜x3，在[x1，x3]上满足拉格朗日中
值定理条件，可得
f(x3)－f(x1)=f'(ξ)(x3－x1)，x1＜ξ＜x3．(1)
如果在区间(a，b)内 f'(x)＞0，则(1)式中 f'(ξ)＞0，
而 x3－x1＞0，则 f(x3)－f(x1)＞0，f(x3)＞f(x1)．
这就是说，f(x)在(a，b)内是增函数．
如果在区间(a，b)内 f'(x)＜0，则(1)式中 f'(ξ)＜0，
而 x3－x1＞0，则 f(x3)－f1(x)＜0，f(x3)＜f(x1)．
这就是说，f(x)在(a，b)内是减函数．
如果在区间(a，b)内恒有 f'(x)=0，则(1)式中 f'(ξ)=0，那么对任意 x1，x3∈(a，b)恒
有 f(x3)＝f(x1)，因此 f(x)在(a，b)内是常数函数．
例 1 确定函数 y=x2－2x＋4的单调区间．
解：y'=2x－2，
解不等式 y'=2x－2＞0，得 x＞1，因此 y在(1，＋∞)内是增函数；
解不等式 y'=2x－2＜0，得 x＜1，因此 y在(－∞，1)内是减函数．
∴ y在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是减函数．
解：f'(x)=x3－x2－6x=x(x－3)(x＋2)．
由图 3－9可知：
当 x＜－2或 0＜x＜3时，f'(x)＜0．
当 －2＜x＜0或 x＞3时，f'(x)＞0，
y在(－∞，－2)，(0，3)内是减函数，
y在(－2，0)，(3，＋∞)内是增函数．
例 4 确定函数 y=ln(2－3x)的单调区间．
例 5 讨论 y=x3的增减性．
解：y'=3x2 当 x≠0时 y'＞0．当 x=0时 y'=0，y在(－∞＋∞)内是增函数．如图 3
－10．
由例 5不难看出 f'(x)＞0是 f(x)递增的充分条件，但不是必要条件，出现个别点
f'(x)=0不影响它在某个区间的单调性．还要注意只在个别点 x处
f'(x)=0，(如 x=0处 f'(x)=0)不能认为 f(x)是常数函数．只有在某个区间(a，b)内恒有
f'(x)=0，f(x)在该区间内是常数函数．
三、小结
本节课要求同学们理解利用导数判断函数单调性的原理，掌握判断方法和步骤．
(1)确定函数 f(x)的定义域；
(2)求导数 f'(x)；
(3)在 f(x)的定义域内解不等式 f'(x)＞0和 f'(x)＜0；
(4)写出 f(x)的单调区间．
四、布置作业
1．复习本节课的内容，掌握定理的证明和利用导数判断函数单调性的方法和步骤．
2．书面作业．
(1)确定下列函数的增减范围：
(2)已知函数 y=ax2(a≠0)当 x＞0时是减函数，利用求导数的方法确定 a的范围．
(3)① 求 p为何值时，函数 f(x)=cosx－px＋q在(－∞，＋∞)内是减函数？
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