三垂线定理及其逆定理的应用教案
教学目的
(1)使学生初步掌握三垂线定理及其逆定理应用的规律．
(2)进一步培养学生逻辑思维能力和解决问题的能力．
教学过程
一、复习
师：三垂线定理及逆定理的内容是什么？怎样证明？
(在学生回答时，教师画出图1，并强调指出：a在α内的位置不一定过点O．)
生：(三垂线定理的证法，要求学生用双剪头的书写格式．)
师：对于三垂线定理要注意以下三点：
(1)三垂线定理包含三个垂直关系．PA⊥α，AO⊥a，PO⊥a，且
(2)三垂线定理及其逆定理是判定直线和直线垂直的重要命题．
(3)在论证直线和直线垂直的问题中，常常要考虑应用三垂线定理及其逆定理．
二、应用
(教师根据复习时的小结引出课题：三垂线定理及其逆定理的应用．)
1．第一类练习题
目的：进一步使学生加深对三垂线定理的理解．复习应用三垂线定理的基本规律．
从题目条件的变更中，增强学生对三垂线定理的认识以及应用能力．
教法：教师提出问题，利用投影机将图形映在屏幕上，全班学生思考，个别学生
回答．
题目：如图2，已知矩形ABCD中，2BC=AB，M是 DC的中点，PA⊥平面ABCD．求证
PM⊥MB．
学生回答后，教师作简要讲评．然后，对题目的已知条件进行变换，让学生回答．
(1)如果将题设中2BC=AB去掉，其他条件都不变，那么PM和 MB是否垂直？
(教师随即在屏幕上映出图3，让学生思考议论、回答．)
(2)如果题设中的M不是DC的中点，其他条件都不变，那么PM和 MB是否垂直？
(教师在屏幕上映出图4，让学生思考议论、回答．)
(3)如果将题设“PA⊥平面ABCD”改为“PA为平面ABCD的斜线”，其他条件不变，
那么PM和 MB的位置关系将会怎样？
①一定不垂直？
②不一定垂直？在什么情况下垂直？
(根据学生回答，分别在屏幕上映出图5、图6、图7．)
教师讲评后指出，从题目题设的变化中可以看出应用三垂线定理的要点是：平面
内的一条直线垂直于这个平面的斜线在平面内的射影(特别强调“垂直”、“射影”)．
小结：(师生共同完成．)
(1)欲证直线和直线垂直，要考虑应用三垂线定理．
(2)应用三垂线定理时，必须满足定理的条件．
2．第二类练习题
目的：通过图形位置的变化，使学生能够在不同情况下，正确地应用三垂线定理，
克服思维定势给证题带来的消极影响．
教法：教师先在黑板上写出第(1)题的题目，让学生思考，并画出图形，写出证法
要点，教师巡视，个别指导．然后，让一位学生板演，教师讲评．教师再在黑板上写
出第(2)题的题目，画出图形，让全班学生思考，回答．
(1)已知：在Rt△ABC中，∠A=Rt∠，PA⊥平面ABC，BD⊥PC，垂足为D．(图8)
求证：AD⊥PC．
(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求证B1D⊥平面A1BC1．(图9)
小结：(学生回答教师归纳．)应用三垂线定理及其逆定理证明直线和直线垂直时，
不能受图形形状的影响，要细心观察直线与平面的内在关系，只要符合定理的条件便
可得出垂直的结论．
3．第三类练习题
目的：通过三垂线定理证明直线和直线垂直，从而计算点到直线的距离，让学生
初步掌握立体几何计算题的解题思路．
教法：教师提出问题，画出图形，师生共同研讨．教师写出解题要点．
(1)已知：等腰三角形ABC中，∠A=120°，AB=AC，BC=6，PB⊥平面ABC，PB=3．
(图 10)
求点P到 AC的距离．
(注意引导学生确定点D的位置．)
②已知：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=a，BC=b，点P到平面ABC的距离为 h，且
PA=PB=PC．(图 11)
求点P到 Rt△ABC三边的距离．
(引导重点是：确定P在平面ABC内射影O的位置，直角三角形外心的性质．)
讲完以上两题后，教师引导学生看书，讲解课本的例题，不作板书．
(课本例题：道旁有一条河，彼岸有电塔 AB，高 15m，只有测角器和皮尺作测量工
具，能否求出电塔顶与道路的距离？)
4．例题
在教师引导下，启发学生积极思考，教师根据思路写出解题的全部过程，力求简
明扼要、规范，给学生作出示范，以培养学生解题能力和文字表述能力．
[例 1]已知：PA、PB、PC两两垂直．
求证：P在平面ABC内的射影O是△ABC的垂心．
(教师画出如图12或图13的图形，可任选其一．)
师：欲证O为△ABC的垂心，需知垂心定义．根据垂心定义，只需证出直线
AO、BO、CO分别垂直于BC、CA、AB．如何证出AO⊥BC？要考虑应用三垂线定理的逆定理．
PO、PA与平面ABC是什么关系？AO与 PA有什么关系？PA 与 BC有什么关系？
(教师边问、边根据学生回答写出证明过程．)
证明 因为P在平面ABC内的射影为O，所以PO⊥平面ABC，连结AO，延长 AO交 BC
于 D，则 AO是 PA在平面ABC内的射影．
∵AP⊥PB，AP⊥PC，
∴AP⊥BC．
根据三垂线定理的逆定理，得 AD⊥BC．所以，AD是△ABC中 BC边上的高．
连结CO延长交 AB于 E．
同理可证CE⊥AB，CE是△ABC中 AB边上的高，AD∩CE=0．
所以O为△ABC的垂心．
[例 2]线段 AB在平面α内，AB=a，C、D是在平面α同旁的两点，
AC=BD=b，AC⊥α，BD⊥AB且 BD和α成30°角．求CD．
教师引导学生画出图形，过点D作DE⊥α，E为垂足，连结AE、BE(图 14)．分析特
征指出：欲求CD，需求出梯形ACDE的腰 AE及底 DE，……
(师生共同解此题．)
解题后，教师作进一步的引伸：
如果点C、D在平面α两旁(图 15)，其他条件不变，那么如何求出CD？
(让学生课后思考．)
同时指出，此题如无 C、D在α同旁”的条件，解题时，就必须分两种情况求出
CD，缺一不可．
(小结、作业均略．)
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