圆锥曲线与直线相切的条件教案
教学目的
(1)掌握圆锥曲线与直线相切的条件及圆锥曲线切线的定义；
(2)使学生会用初等数学方法求圆锥曲线的切线；
(3)应用相切的公式解题，从而培养学生综合应用能力．
教学过程
一、问题提出
1．有心的二次曲线包括哪些？无心的二次曲线包括哪些？
(答：有心的二次曲线是圆、椭圆及双曲线；无心的二次曲线是抛
物线．)
(由教师启发下，让学生共同讨论．)
(1)当α＞0，β＞0且α＝β时，方程表示为圆；
(2)当α＞0，β＞0且α≠β时，方程表示为椭圆；
(3)当α、β为异号时，方程表示为双曲线．
因此，这个方程可以统一表示有心的二次曲线．
3．圆锥曲线与直线的相切的条件是什么？
设直线l′与圆锥曲线相交于P、Q两点(图1)，将直线l′绕点P
旋转，使点Q逐渐靠近点P，当l′转到直线l的位置时，点Q与点P重
合，这时，直线l叫做圆锥曲线在点P的切线．也就是圆锥曲线与直线
l相切．根据这个定义，于是圆锥曲线方程
f(x，y)＝0
与直线方程
y＝kx＋m
组成的方程组应有两个相同的实数解．实系数一元二次方程有两
个相同的实数解的充要条件是判别式Δ＝0，根据条件转化为求Δ＝
0．
(启发学生回答，由教师归纳，然后板书课题．)
今天我们要研究“圆锥曲线与直线相切的条件”．
二、讲述新课
根据上面分析，得
由②代入①，化简、整理得
(αk2＋β)x2＋2αkmβ＋α(m2－β)＝0．③
当αk2＋β≠0时(二次项系数)，
Δ＝4α2k2m2－4α(αk2＋β)(m2－β)
＝4α2k2m2－4α2k2m2＋4α2k2β－4αβm2＋4αβ2
＝4αβ(αk2＋β－m2)．
(启发学生讨论．)
由于α、β均不为零，因此当Δ＝0时可知有心二次曲线与直线y
＝kx＋m相切的充要条件为
m2＝αk2＋β，(αk2＋β≠0) ④
这里αk2＋β恰是方程③的二次项系数．
(引导学生对结论④，在圆、椭圆、双曲线各种情况下变化规律进行
讨论，教师边归纳，边板书．)
(1)对于圆x2＋y2＝γ2，可写成
即有α＝β＝γ2，于是相切条件为m2＝γ2(k2＋1)．
(2)对于椭圆(焦点在x轴上)
即有α＝a2，β＝b2，于是相切条件为m2＝a2k2＋b2．
(3)对于椭圆(焦点在y轴上)
即有α＝b2，β＝a2，于是相切条件为m2＝b2k2＋a2．
(4)对于双曲线(焦点在x轴上)
即有α＝a2，β＝－b2，于是相切条件为m2＝a2k2－b2．
(5)对于双曲线(焦点在y轴上)
即有α＝－b2，β＝a2，于是相切条件为m2＝a2－b2k2．
[应用有心曲线统一公式，这样就不必从圆、椭圆、双曲线一个一个
地去求，可避免一个一个冗长复杂的计算，使问题的解决变得简捷．]
2．无心的二次曲线 y2＝2px 与直线 y＝kx＋m 相切的条件
根据上面的分析，得
由②代入①，化简整理，得
(kx＋m)2＝2px，
k2x2＋(2mk－2p)x＋m2＝0．
当二次项系数k2≠0时，
Δ＝(2mk－2p)2－4k2m2＝4p2－8mkp
＝4p(p－2mk)＝0．
无心的二次曲线x2＝2py与直线y＝kx＋m相切的条件，应为
(让学生独立完成．)
三、巩固新课
(让学生直接对照上述结论，设所求公切线的斜率为k，截距为
m，再根据椭
解 设所求的公切线斜率为k，截距为m，根据相切条件有
由②代入①，化简整理，得
81k4＋36k2－5＝0，
(9k2－1)(9k2＋5)＝0，
∵9k2＋5≠0，∴9k2－1＝0，
代入②，得m＝±5．
因此，所求的公切线方程为
即
x＋3y＋15=0或 x－3y＋15=0．
求双曲
线的两条互
相垂直的切
线交点的轨
迹方程．
(帮助学生分析解题的几个要点，然
后由学生上黑板解，教师巡视指点．)
y=kx＋m，
则由相切条件，可知m2=a2k2－b2．
(2)设两切线交点为P(x0，y0)，则切线方程为
y－y0=k(x－x0)，
即
y=kx＋(y0－kx0)．
(3)y=kx＋m，y=kx＋(y0－kx0)表示同一直线，就有
m=(y0－kx0)，
∴(y0－kx0)2=a2k2－b2．
整理得
(4)k1k2=－1，用韦达定理从方程①求得k1k2，
即
因此，点P的轨迹方程为
x2＋y2=a2－b2．
这里a＞b，点P的轨迹是一个实圆；
a=b，点P的轨迹是一个点圆；
a＜b，点P无轨迹(虚圆)．
解略．
法，不难得出轨迹方程为圆方程
x2＋y2=a2＋b2；
这题若改为求抛物线y2=2px的两条互相垂直的切线的交点的轨迹
方程，方法也类似，不难得出轨迹方程为
即点P一定在准线上．
[这样改变一下题目，可让学生开拓思路，举一反三．]
四、练习
1．已知l为椭圆x2＋4y2=4的切线并与坐标轴交于 A、B两点，求|
AB|的最小值及取得最小值时切线l的方程．
解 如图2，设切线方程为
y=kx＋m，
根据相切条件有m2=4k2＋1，即①
|OA|2=4k2＋1．
在y=kx＋m中，令 y=0，得
即
于是得
代入m2=4k2＋1，求得
因此，所求的切线共有四条(图3)，它们的方程为
求四边形ABCD的最大面积．
则由相切条件，知
m2=a2k2＋b2，
故两切线方程为
即
两切线间的距离
∴四边形ABCD的最大面积为
五、补充作业
轨迹方程．
2．求出斜率为k的圆锥曲线的切线方程．
教案说明
这一节课的指导思想是：根据现代教育理论，强调在教学的过程中
培养能力，特别是思维能力．数学思维结构与科学结构十分相似，学习
数学的过程，就是从一种思维结构过渡到另一种思维结构的过程，数学
知识只是进行思维结构训练的材料．二次曲线与直线相切的条件若从上
述结构进行训练，就是使学生形成完整的思维结构，使对数学的认识有
新的突破．这一点已成为我在课堂教学中进行探索和研讨的课题．
这节课的整个教学过程中，着重于讲解——启导——探究，培养学
生的分析能力．讲解时，突出重点：“相切条件”，并以此为中心，达
到举一反三、触类旁通．其中也穿插了自学讨论，而不是教师满堂灌．
在练习中，注意到了再现性练习、巩固性练习，同时也留有发现性
练习，使学生以新带旧，巩固新知，发展智力，反过来从思维结构上形
成完整体系，以认识数学本身．
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