不等式的证明教案
●教学目标
(一)教学知识点
分析法证明不等式.
(二)能力训练要求
1.理解分析法证明不等式的原理和思路.
2.理解分析法的实质——执果索因,熟练掌握分析法证明不等式.
(三)德育渗透目标
分析法证明不等式意在提高学生的数学素质,培养学生的创新意识,加强学生分析问题
和解决问题的逻辑思维及推理能力,进一步使学生认识到事物间是有联系的辩证唯物主义观
念.
●教学重点
分析法证明不等式,就是“执果索因”,从所证的不等式出发,不断用充分条件代替前面
的不等式,直至使不等式成立的条件已具备,就断定原不等式成立.当证题不知从何入手时,
有时可以运用分析法而获得解决,特别对于条件简单而结论复杂的题目往往是行之有效的方
法.
用分析法论证“若 A则 B”这个命题的模式是:欲证命题B为真,只需证明命题 B1为真,
从而又只需证明命题 B2为真,从而又……只需证明命题 A为真,今已知 A真,故 B必真.简写
为:B B1 B2… Bn A.
●教学难点
1.理解分析法的本质是从结论分析出使结论成立的“充分”条件.
2.正确使用连接有关(分析推理)步骤的关键词.如“为了证明”“只需证明”“即”以
及“假定……成立”等.
●教学方法
指导自学法.即通过教师必要的引导,学生自己动手、动脑获取知识,并指导学生总结、归
纳分析法，证明不等式的方法思路,使学生在转化“矛盾”中,增强化归、转化意识,树立化
归、转化思想,提高化归、转化能力.“执果索因”,去探索证明不等式的途径.
●教具准备
投影片一张
记作§6.3.4 A
用分析法证明不等式:
(1)设 x,y∈R,且 x2-2xy+2y2=2,求证:|x+y|≤ 10 .
(2) 设 a,b,x,y∈R, 且 a2+b2=1,x2+y2=1, 试 证 :|ax+by|
≤1.
(3)a,b∈R+,且 a+b=1,求证: 22
1
2
1 ba .
●教学过程
Ⅰ.课题导入
［师］随着我们对不等式证明学习的逐步深入,我们还会遇到这样的问题:面对一个不
等式的证明而一筹莫展,无计可施,由题设不易“切入”展开推理.在此情况下,我们可以尝
试从目标不等式“倒推”分析,往往在“倒推”的过程中,逐渐发现解题思路,从而达到证明
不等式的目的.
今天,我们根据这种基本思路,继续探讨学习证明不等式的又一种重要方法——分析法.
Ⅱ.讲授新课
(简述:“分析法”证明不等式的基本思想)
［师］证明不等式时,有时可以从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的充分条
件,把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题.如果能够肯定这些充分条件都
已具备,那么就可以断定原不等式成立.这种证明方法通常叫做分析法.
(关于“分析法”证明不等式,其基本模式在后面“备课资料”中有较详细说明)
下面,我们探索分析用“分析法”证明不等式.
［例 1］求证: 5273 .
［师］显然,目标不等式中含有根式,我…们尝试先平方、合并,后对其进行化简,逐步寻
求不等式成立的充分条件,以达证题目的.
(在教师指导下,请同学们书写证明过程)
［生］∵ 5273 和 均为正数
∴为了证明 5273 ,
只需证明 22 )52()73( ,
展开得:10+2 21 <20
即2 21 <10
∴ 21 <5,
∴21<25.
∵21<25成立.
∴ 22 )52()73( 成立.
即[ 5273 .
［师生共析］证明某些含有根式的不等式时,用综合法比较困难.例如,在本例中,我们
很难想到从“21<25”入手.因此,在不等式的证明中,分析法占有重要的位置.我们常用分析
法探索证明的途径,然后用综合法的形式写出证明过程,这是解决数学问题的一种重要思想
方法.
［例 2］证明:通过水管放水,当流速相同时,如果水管截面(指横截面,下同)的周长相
等,那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大.
［师］当水的流速相同时,水管的流量取决于水管截面面积的大小.设截面的周长为 L,
则周长为 L的圆的半径为 2
L ,截面积为π( 2
L )2;周长为 L的正方形边长为 4
L ,截面积
为( 4
L )2.所以本题只需证明π( 2
L )2>( 4
L )2.
(教师指导学生,正确写出证明过程)
［生］设截面的周长为 L,依题意,截面是圆的水管的截面积为π( 2
L )2,截面是正方
形的水管截面面积为( 4
L )2.
本题只需证明
π( 2
L )2>( 4
L )2,
为了证明上式成立,只需证明
164
2
2
2 LL
两边同乘以正数 2
4
L ,得
4
11
因此,只需证明
4>π
显然,上式“4>π”是成立的.
故π ( 2
L )2>( 4
L )2.
这就证明了,通过水管放水,当流速相同时,如果水管截面的周长相等,那么截面是圆的
水管比截面是正方形的水管流量大.
［师生共析］我们想一想,本题是否可以用比较法证明呢?(教师引导下,让学生尝试写
出证明过程).
［生］设截面的周长为 L,依题意,截面是圆的水管的截面面积为π( 2
L )2,截面是正
方形的水管的截面面积为( 4
L )2,则:
π( 2
L )2-( 4
L )2
16
)4(
16
4
164
2222
2
2 LLLLL
∵L>0,4>π
∴L2>0,4-π>0
∴
16
)4(2 L >0
即π( 2
L )2>()2.
故证明了,通过水管放水,当流速相同时,如果水管截面的周长相等,那么截面是圆的水
管比截面是正方形的水管流量大.
本题中比较π( 2
L )2与( 4
L )2的大小,也可用作商法.
即:∵π( 2
L )2>0,( 4
L )2>0
∴ 2
2
2
2
16
4)4(
)2(
L
L
L
L
4 >1
故π( 2
L )2>( 4
L )2.
(打出投影片§6.3.4 A,让学生分三组,在教师指导下进行练习,目的在于激活学生思维,
提高学生分析问题,解决问题,灵活应变的能力)
［师］请甲组同学做(1)题,乙组同学做(2)题,丙组同学做(3)题.(学生板书证明过程).
(1)设 x,y∈R,且 x2-2xy+2y2=2,求证:
|x+y|≤ 10 .
［生甲］证明:|x+y|≤ 10
(x+y)2≤10
(x+y)2-5(x2-2xy+2y2)≤0
-(2x-3y)2≤0这显然成立.
故|x+y|≤ 10 .
(2)设 a,b,x,y∈R,且 a2+b2=1,x2+y2=1,试证:|ax+by|≤1.
［生乙］证明:|ax+by|≤1
(ax+by)2≤1
a2x2+2abxy+b2y2≤1
a2x2+2abxy+b2y2≤(a2+b2)(x2+y2)
(bx-ay)2≥0这显然成立.
故|ax+by|≤1.
［生丙］证明:(ax+by)2
=a2x2+2abxy+b2y2
≤a2x2+a2y2+b2x2+b2y2
=(x2+y2)(a2+b2)=1
∴|ax+by|≤1
(上述证明过程利用了重要不等式:a2+b2≥2ab)
(3)a,b∈R +,且 a+b=1,求证: 2
1
2
1 ba ≥2.
［生丁］证明: 2
1
2
1 ba ≤2
(a+ 2
1 )+(b+ 2
1 )+2· 2
1
2
1 ba ≤2
2
1
2
1 ba ≤1
ab+ 4
1
2
ba ≤1
ab+ 4
3 ≤1
ab≤ 4
1
∴ab≤( 2
ba )2= 4
1 成立
故 2
1
2
1 ba ≤2.
［师生共析］用分析法证明不等式的关键是,寻求不等式成立的充分条件.因此,经常要
对原不等式进行化简,常用的方法有:平方、合并、有理化、去分母等,但要注意所做这些变形
是否可以逆推,若不能逆推,则不可使用.
Ⅲ.课堂练习
1.求证: 52276 .
分析:仿照例 1,尝试分析法证明不等式.
证明:要证 52276 .
只需证 22 )522()76( ,
即 13+2 42 >13+2 40
亦即 42 > 40 ,也就是42>40.
由于42>40成立,
故 52276 成立.
2.求证:(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)
分析:本题运用分析法,在证明过程中,每一步的“只需证”,应该是上一步“欲证”的
充分条件,只有这样,才能保证整个证明过程正确.
证明:要证(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2),
只需证a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2,
即证2abcd≤a2d2+b2c2,
也就是证(ad-bc)2≥0.
由于(ad-bc)2≥0成立,
故(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)成立.
3.求证:-1≤ 1
1
2
2
a
a <1.
分析:不等式的运算结构复杂,由题设不易“切入”展开推理,尝试运用分析法.
证法一:要证-1≤ 1
1
2
2
a
a <1,
只需证-a2-1≤a2-1<a2+1
也就是证2a2≥0且-1<1.
由于2a2≥0,且-1<1成立,
故-1≤ 1
1
2
2
a
a <1成立.
证法二:要证-1≤ 1
1
2
2
a
a <1,
只需证 1
11
2
22
a
aa ≥0,
即 1
2
2
2
a
a ≥0.
上式显然成立,所以 1
1
2
2
a
a ≥-1.
类似地,可以证明
1
1
2
2
a
a <1
故-1≤ 1
1
2
2
a
a <1成立.
Ⅳ.课时小结
这节课,我们学习了“分析法”证明不等式.用“分析法”证明不等式时,其叙述方式很
重要,必须突出分析法的语言“特色”,如:“欲证……成立,只需证……”或采用符号“
”或 “ ”.还要注意,用“分析法”证明不等式的一大优点是,当我们面对一个不等
式的证明而一筹莫展,无法下手时,它给我们提供了一个方法,即从目标不等式“倒推”分析,
而往往在“倒推”的过程中,会逐渐发现解题思路.因此,分析法从本质上说,只是对问题作
尝试与探索的过程(即执果索因).
在运用“分析法”时,典型的错误是把所证不等式当作已知条件,如证明命题“若 A则
B”,错误地写成:“因为B成立,则……”.希望同学们很好掌握.
Ⅴ.课后作业
(一)课本 P17习题6.3 4、5、9
(二)通读课本 P12～17,巩固理解证明不等式的最基本方法(比较法、综合法、分析法)的基
本原理和证题思路.
●板书设计
§6.3.4 不等式的证明(四)
分析法证明不等式
1.基本原理 课堂练习 课时小结
2.应用
例题 课后作业
/5
