解对数不等式教案 1
教学目标
1．熟练掌握解对数不等式的基本方法．
2．培养学生根据不等式的性质及对数函数的性质将对数不等式转
化成与之等价的不等式(组)的能力．
3．强化等价转化是解不等式的基本数学思想方法，提高学生分析
问题和解决问题的能力．
教学重点与难点
对数不等式的同解变形．
教学过程设计
(一)简单对数不等式的解法
师：请同学们观察例 1中不等式的特征是什么？
师：要想求得不等式的解集，同学们准备怎么做？
得到 x2－2x－2＜1．一元二次不等式我们是会解的．
师：刚才同学把对数不等式转化成了会解的不等式，这种把未知转
化成已知的
生：我联想到解对数方程的“同底法”．
师：解方程的理论依据是方程的同解原理不等式的转化是否也要考
虑同解的因素呢？
生：刚才的解法有漏洞．对数函数的定义域是 x∈(0，＋∞)．因此
应先考虑
x2－2x－2＞0再与 x2－2x－2＜1取交集，才能得到不等式的解集．
师：他说得很好！凡是研究函数问题，都要首先考虑函数的定义域．
由于一元一次方程和一元二次方程的解集都是有限集，通过检验就
可以判定是否有增根，而不等式的解集常常是无限集，不等价变形有可
能使解集扩大，然而又无法检验．因此，把对数不等式转化为代数不等
式的变换必须是等价变换．
在具体运算时，应严格按照步骤和格式书写．
板书如下：
解：原不等式
师：例 1提供了解对数不等式的基本方法．
师：请同学观察例 2中不等式的特征，提出解题意见．
生：不等式中的对数底数不同．可以用换底公式把不等式左侧化成
同底的对数．再按例 1的方法求解．
生：化为以 3为底的对数，这样 1可以化成 log33，在使用对数运算
法则时更加简便一些．
师：考虑的很好．这样原不等式可以化为 log3(x＋2)－log3(6－x＋
x2)＋log33＞0，下一步怎么办？
生乙：原不等式可以化为 log33(x＋2)＞log3(6－x＋x2)在后面的运算
中可以避免解分式不等式．
师：考虑的很周密．为了保证不等式解集的准确性，同学们在把对
数不等式转化成代数不等式的时候，一定要采取适当的方法使后面的运
算顺畅，解不等式的过程愈简捷，准确率就愈高．
解题过程如下：
解：原不等式可化为
log3(x＋2)＋log33＞log3(6－x＋x2)
所以原不等式的解集为(3，4)．
师：解对数不等式的关键步骤是考虑对数函数的定义域．
(二)运用数学思想方法解对数不等式
师：如果把例 1中的对数的底数换成 a(a＞0且 a≠1)请同学思考，
不等式该怎样求解？
生：根据对数函数的性质，分别对 a＞1或 0＜a＜1来进行讨论．
例 3 解不等式：loga(x2－4)＞loga(x＋2)(a＞0且 a≠1)．
解：当 a＞1时，
当 0＜a＜1时，
因此当 a＞1时，原不等式解集为(3，＋∞)；当 0＜a＜1时，原不
等式解集为(2，3)．
师：例 3中运用了分类讨论的数学思想方法．注意由于 a的取值范
围不同，所以最后的解集不能写成并集的形式．
师：要解例 4显然需先把不等式左侧化为同底的对数，请同学考虑
对哪个对数使用换底公式？
师：在解不等式时，换元法是很常用的数学方法．符合使运算简便
易行的原则．同学们不妨一试．
解法如下：
(三)本课小结
1．解对数不等式的关键是正确地进行等价转化．要熟练掌握解一
般对数不等式的基本方法．如：
2．等价转化的理论根据是对数的定义，以及对数函数的单调性．
3．要注意数学思想方法的运用，如：分类讨论、换元、化归转化等
等，提高解题速度和解题的准确率．
(四)补充作业：
1．解下列不等式：
(1) lg(x2－3x－4)≥lg(2x＋10)；
(2) log0.1(x2－2x－2)＞0；
(3) loga(x2－x)≥loga(x＋1)，(a为常数且 a＞1)；
2．*解关于 x的不等式：
* 可根据生实际情况，酌情处理．
作业的答案或提示
(1)原不等式
(2)原不等式
(3)当 a＞1时，原不等式
(4)原不等式
(6)原不等式
(7)当 a＞1时，原不等式
①
由 0＜a＜1知，原不等式
②
①
当 a＞1时，
当 0＜a＜1时，
因此当 a＞1时，解集为(4，＋∞)；当 0＜a＜1时，解集为
(2，4)．
课堂教学设计说明
1．因势利导，由“误”到悟
解对数不等式的关键是合理进行等价转化，但学生的思维不会一步
到位，需要有一个循序渐进的过程．因此，我在例 1的提问中，没有做
过多的启发，而是由学生自己发现错误，产生认知冲突，从而得到启悟，
正确地解决了问题．例 4的处理也是这样，学生出现的错误是很常见的，
由此引起学生的争论，教师及时地进行正确引导，使学生在辩悟中留下
深刻的印象．
2．层层深入，引发兴趣
数学的灵感来自于分析、思考的过程，掌握解对数不等式的基本方
法，对学生来说并不困难，因而在例题的配备上一定要有梯度，让学生
有步步登高的感觉，这样才能引导学生的学习兴趣，从而产生积极的思
维．在分析思考的过程中产生顿悟．
不同地区和学校的教师可根据学生的实际情况，调整例题，也可以
从补充作业中挑选题目，重新组合本课的例题和练习题．
3．渗透“思想”，提高能力
解对数不等式的过程，始终贯穿着等价转化及函数的思想，而分类
讨论和换元法的使用会使复杂问题简单化，在教学过程中，注意总结和
渗透数学思想方法的作用及使用规律，可以使学生的思维水平及运算能
力不断提高．
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