两条直线的位置关系教案
●教学目标
(一)教学知识点
1.直线l1到l2的角.
2.直线l1与l2的夹角.
3.夹角公式.
(二)能力训练要求
1.明确理解直线l1到l2的角及两直线夹角的定义.
2.掌握直线l1到l2的角及两直线夹角的计算公式.
3.能根据直线方程求直线l1到l2的角及两直线夹角.
(三)德育渗透目标
1.用联系的观点看问题
2.认识事物在一定条件下能够相互转化.
●教学重点
两条直线的夹角.
●教学难点
夹角概念的理解.
●教学方法
学导式
首先使学生认识到平行和垂直是两直线位置关系的特殊情形，而相交是两直线位置关
系的一般情形.而能够反映相交直线相对位置的就是角，由此引出直线 l1到l2的角，直线
l1与l2的夹角，并且在有关公式的推导过程中，引导学生灵活应用有关三角函数的知识.然
后通过一定的训练使学生加深对公式的理解与熟悉程度.
●教具准备
投影片两张
第一张：l1到l2的角的公式的推导过程(记作§7.3.2 A）
第二张：本节例题(记作§7.3.2 B)
●教学过程
Ⅰ.课题导入
［师］上一节课，我们一起研究了两条直线的平行与垂直问题，得出了两直线平行与
垂直的充要条件，现在，我们作一下简单回顾.
［师］两直线平行的充要条件是什么?
［生］两直线平行的充要条件是两直线的斜率相等，在y轴上的截距不等.
［师］两直线垂直的充要条件是什么?
［生］两直线垂直的充要条件是两直线的斜率之积为－1.
［师］上述两位同学的回答基本正确，但是都忽略了对于条件的说明.两
直线平行或垂直条件都是对于两直线斜率存在时而言，若两直线中有一条或两条斜率
不存在，则它们的位置关系较易判断.需要注意的是，若对于含有字母的直线方程讨论位置
关系，不应漏斜率为0或斜率不存在等特殊情形.
［师］这一节课，我们将一起研究两直线相交而形成角的问题.
Ⅱ.讲授新课
1.直线l1到l2的角
两条直线l1和l2相交构成四个角，它们是两对对顶角，我们把直线 l1按逆时针方向旋
转到与l2重合时所转的角，叫做l1到l2的角.
［师］这一概念的定义，是为了区分两相交直线所形成的角，也是进一步研究的需要，
应注意在这一概念中l1、l2是有顺序的.
如图，直线l1到l2的角是θ1，l2到l1的角是θ2.
并且，有了对这一概念的认识，也就容易理解两直线的夹角的
概念.
2.直线l1与l2的夹角
如上图所示，l1到l2的角是θ1，l2到l1的角是θ2＝π－θ1，当直线l1与l2相交但不
垂直时，θ1和π－θ1，仅有一个角是锐角，我们就把其中的锐角叫做两条直线的夹角.
当直线l1⊥l2时，直线l1和l2的夹角是 2
.
说明：θ1＞0，θ2＞0，且θ1＋θ2＝π.
［师］请大家根据直线 l1到l2的角与l1与l2夹角的定义过程中，寻求一下两种角的取
值范围有何不同?
［生］l1到l2的角的取值范围是(0°，1８ 0°)，l1与l2的夹角的取值范围是(0°，
2
］.
［师］下面我们一起推导直线l1到l2的角的公式.
3.直线l1到l2的角的公式
tanθ＝
21
12
1 kk
kk
(给出投影片§7.3.2 A)
推导：设直线l1到l2的角为θ，l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2.
如果 1＋k1k2＝0，即k1k2＝－1，则θ＝ 2
；如果 1＋k1k2≠0
设 l1、l2的倾斜角分别是α1和α2，则 k1＝tanα1，k2＝tanα2
由上图(1)(2)分别可知：
θ＝α2－α1或θ＝π－（α1－α2）＝π＋（α2－α1）
∴tanθ＝tan（α2－α1）或 tanθ＝tan［π＋（α2－α1）］＝tan（α2－α1）于是
tanθ＝
12
12
12
12
1tantan1
tantan
kk
kk
［师］根据两直线的夹角定义可知，夹角在(0°，90°］范围内变化，所以夹角正切
值大于或等于0.故可以由l1到l2的角取绝对值而得到l1与l2的夹角公式.
4.直线l1和l2的夹角公式
tanα＝
12
12
1 kk
kk
［师］下面，我们通过例题讲解进一步熟悉两个公式的应用.
5.例题讲解
［例 4］求直线l1：y＝－2x＋3，l2：y＝x－ 2
3 的夹角(用角度制表示).
解：由两条直线的斜率 k1＝－2，k2＝1得
tanα＝ 3)2(1
)2(1
1 12
12
kk
kk
∴α＝arctan3＝71°3４′
评述：此题是直接应用两直线的夹角公式，要求学生熟练掌握.
［例 5］等腰三角形一腰所在直线 l1的方程是 x－2y－2＝0，底边所在直线 l2的方程
是 x＋y－1＝0，点(－2，0)在另一腰上，求这条腰所在直线 l3的方
程.
分析：已经已知 l3上一点，故求出 l3的斜率 k3即可，如图，根
据等腰三角形的性质，可得到 π－θ1＝π－θ2，即θ1－θ2，而
θ1、θ2分别为直线l1到l2与l2到l3的角，而根据公式这两角都可用
斜率表示，由此可建立关于 k3的方程.
解：设 l1、l2、l3的斜率分别为 k1，k2，k3，l1到l2的角是θ1，l2
到l3的角是θ2，则 k1＝ 2
1 ，k2＝－1.
∴tanθ1＝
2
1)1(1
2
1)1(
1 12
12
kk
kk ＝－3.
因为l1、l2、l3所围成的三角形是等腰三角形，所以θ1＝θ2，ｔaｎθ2＝tanθ1＝－
3.
即
23
23
1 kk
kk
＝－3，将 k 2 ＝－1代入得
3
3
1
1
k
k
＝－3
解得 k3＝2.
因为l3经过点(－2，0），斜率为2，写出其点斜式方程为y＝2（x－（－2）)
即：2x－y＋４＝0
这就是直线l3的方程.
评述：此题应用了l1到l2的角的公式及等腰三角形有关知识，并结合了直线方程的点
斜式，要求学生注意解答的层次.
Ⅲ.课堂练习
课本 P50练习
1.求下列直线l1到l2的角与l2到l1的角：
（1）l1：y＝ 2
1 x＋2；l2：y＝3x+7；
(2)l1：x－y＝5；l2：x＋2y－3＝0
解：（1）∵k1＝ 2
1 ，k2＝3
∴设 l1到l2的角为θ1，则
tanθ1＝
2
31
2
13
1 21
12
kk
kk ＝1
∴θ1＝４5°即 l1到l2的角为 45°.
∴l2到l1的角为135°.
(2)解：∵k1＝1，k2＝－ 2
1
∴设 l1到l2的角为θ1，则l2到l1的角为θ2＝π－θ1
∴tanθ1＝ 3
2
11
12
1
1 21
12
kk
kk
∴θ1＝π－arctan3.θ2＝arctan3
即 l1到l2的角为π－arctan3，l2到l1的角为 arctan3.
2.求下列两条直线的夹角：
（1）y＝3x－1，y＝－ 3
1 x＋４；
（2）x－y＝5；y＝４.
(3)5x－3y＝9，6x＋10y＋7＝0.
解：(1)k1＝3，k2＝－ 3
1 .
tanα＝ 0
3
7
3
131
33
1
1 21
12
kk
kk
分母为0，正切值不存在.
此时，两直线夹角为 90°.
(也可根据 k1·k2＝-1得出的结论)
(2)k1＝1，k2＝0
tanα＝
21
12
1 kk
kk
＝1
∴α＝４5°
即两直线夹角为４5°.
(3)k1＝ 3
5 ，k2＝－ 3
5
∴k1·k2＝－1
∴两直线夹角为 90°.
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，要求大家掌握两直线的夹角公式，并区分与l1到l2的角的联系与区别
能够利用它解决一定的平面几何问题.
Ⅴ.课后作业
（一）课本 P53习题7.3
8.三角形的三个顶点是 A(6，3)，B(9，3)，C(3，6)，求它的三
个内角的度数.
解：由斜率公式：kAB＝ 69
33
＝0
kBC＝ 2
1
93
36
kAC＝ 63
36
＝－1
tanCAB＝
ABAC
ABAC
kk
kk
1 ＝－1
∴∠CAB＝135°
tanABC＝
01
2
1
1
BCAB
BCAB
kk
kk 2
1
∴∠CBA＝arctan 2
1 ＝26°3４′
∴∠C＝1８ 0°－135°－26°3４′＝1８°26′
9.已知直线 l经过点 P（2，1），且和直线 5x＋2y＋3＝0的夹角等于 45°，求直线l
的方程.
解：设直线l的斜率为 k1，直线 5x＋2y＋3＝0的斜率为 k2.
则 k2＝－ 2
5 .
tan４ 5°＝
21
12
1 kk
kk
＝1
即
1
1
2
51
2
5
k
k
＝1
解得 k1＝- 7
3 或 k1＝ 3
7 .
所以直线l的方程为：
y－1＝－ 7
3 （x－2）或y－1＝ 3
7 （x－2）
即：3x＋7y－13＝0或 7x－3y－11＝0.
（二）
1.预习内容：P50～51
2.预习提纲：
（1）如何通过直线方程判断两直线相交?
（2）如何求解两直线的交点?
●板书设计
§7.3.2 两直线位置关系
1.l1到l2的角θ：0°＜θ＜1８ 0°
2.l1与l2夹角α：0°＜α≤90°
3.l1 到 l2 的 角 的 公 式 ： tanθ ＝
12
12
1 kk
kk
４.夹角公式：tanα＝
12
12
1 kk
kk
5.［例 4］
［例 5］
6.学生练习
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