简单的线性规划教案
●教学目标
（一）教学知识点
二元一次不等式表示平面区域.
（二）能力训练要求
会用二元一次不等式表示平面区域.
（三）德育渗透目标
1.渗透数形结合思想.
2.培养学生应用意识.
●教学重点
二元一次不等式表示平面区域.
●教学难点
准确画出二元一次不等式（或不等式组）所表示的平面区域.
●教学方法
讨论法
结合前面所学的以二元一次方程的解为坐标的点的集合是一条直线，提出以二元一次
不等式的解为坐标的点的集合是什么图形呢？从而展开师生讨论，让学生加深对二元一次
不等式表示平面区域的理解.
●教具准备
投影片四张
第一张：记作§7.4.1 A
内容：课本P59图7—22
第二张：记作§7.4.1 B
内容：课本P60练习
1.(1)
(2)
(3)
(4)
第三张：记作§7.4.1 C
内容：课本P60
2.画出不等式组表示的平面区域.
(1)
2
42
y
yx
xy
第四张：记作§7.4.1 D
（2）
93
623
2
3
xy
yx
xy
x
●教学过程
Ⅰ.课题导入
通过前几节的学习，我们知道，在平面直角坐标系中，以二元一次方程 x+y-1=0的解
为坐标的点的集合{(x,y)｜x+y-1=0}是经过点（0，1）和（1，0）的一条直线l，那么，
以二元一次不等式（即含有两个未知数，且未知数最高次数都是 1的不等式）的解为坐标
的点的集合{（x,y)｜x-y-1＞0}是什么图形呢？
Ⅱ.讲授新课
［师］在平面直角坐标系中，所有的点被直线x+y-1=0分成三类：
（1）在直线x+y-1=0上；
（2）在直线x+y-1=0的左下方的平面区域内；
（3）在直线x+y-1=0的右上方的平面区域内.
即：对于任意一个点（x,y），把它的坐标代入 x+y-1，可得到一个实数，或等于 0，
或大于0，或小于0.
若 x+y-1=0，则点(x,y)在直线l上.
我们猜想：对直线l右上方的点(x,y)，x+y-1＞0成立；
对直线l左下方的点（x,y)，x+y-1＜0成立.
［师］我们的猜想是否正确呢？下面我们来讨论一下.
不妨，在直线x+y-1=0上任取一点P（x0,y0)，过点P作平行于x轴的直线y=y0,在此直
线上点P右侧的任意一点（x,y），都有
x＞x0，y=y0,
所以，x+y＞x0+y0
x+y-1＞x0+y0-1=0,
即 x+y-1＞0.
再过点 P 作平行于 y 轴的直线 x=x0，在此直线上点 P 上侧的任意一点（x,y)，都有
x=x0,y＞y0.
所以，x+y＞x0+y0
x+y-1＞x0+y0-1=0,
即 x+y-1＞0.
因为点 P（x0,y0)是直线 x+y-1=0上的任意点，所以对于直线 x+y-1=0右上方的任意点
(x,y)，x+y-1＞0都成立.
同理，对于直线x+y-1=0左下方的任意点（x,y），x+y-1＜0都成立.
如图所示：
所以，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式x+y-1＞0的解为坐标的点的集合
{（x,y)｜x+y-1＞0}
是在直线x+y-1=0右上方的平面区域.
如图所示：
那么，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式 x+y-1＜0 的解为坐标的点的集合
{(x,y)｜x+y-1＜0}是在直线x+y-1=0左下方的平面区域.
总之，二元一次不等式 Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线 Ax+By+C=0某一侧所
有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）.
由于对在直线 Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)，把它的坐标（x,y)代入 Ax+By+C，所
得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从 Ax0+By0+C的
正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作
为此特殊点）
［师］下面我们再来看两例子.
［例1］画出不等式2x+y-6＜0表示的平面区域.
解：先画直线2x+y-6=0（画成虚线）.
取原点（0，0），代入2x+y-6,
∵2×0+0-6=-6＜0,
∴原点在2x+y-6＜0表示的平面区域内，不等式2x+y-6＜0表示的区域如图：
［例2］画出不等式组
3
0
05
x
yx
yx
表示的平面区域.
分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个
不等式所表示的平面区域的公共部分.
解：不等式 x-y+5≥0 表示直线 x-y+5=0 上及右下方的点的集合，x+y≥0 表示直线
x+y=0上及右上方的点的集合，x≤3表示直线x=3上及左方的点的集合.
（打出投影片§7.4.1 A)
［师］结合投影片上的图进行讲解.
不等式组表示平面区域即为图示的三角形区域.
Ⅲ.课堂练习
［生］自练课本P60 1，2.
［师］（陆续打出投影片§7.4.1 B、C、D.)
结合学生所做进行讲评.
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，要掌握“二元一次不等式表示平面区域”.
注意：（1）Ax+By+C＞0表示直线Ax+By+C=0的某一侧的平面区域不包括边界的直线；
（2）Ax+By+C≥0所表示的平面区域包括边界直线Ax+By+C=0.
Ⅴ.课后作业
（一）课本P65习题7.4 1.
（二）1.预习内容：课本P60～P62.
2.预习提纲：
（1）何为线性规划问题？其相关概念是什么？
（2）线性规划有何意义？
●板书设计
课 题
［例1］
二元一次不等式 课时小结
表示平面区域 ［例 2］
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