两条直线的夹角教案 1
教学目标 (1)帮助学生准确地理解直线l1到l2的角．及两条直线
的夹角的定义，在应用中知道它们的联系和区别．
(2)理解两条直线的夹角公式，在理解的基础上牢记直线l1到l2的
角及两条直线夹角的计算公式．
(3)会根据直线方程去求直线l1到l2的角或两条直线的夹角，并能
和其它知识融汇贯通．
教学重点和难点
重 点 直线l1到l2的角和直线l1和直线l2的夹角的确切理解，在
应用中的区分和联系，两条直线夹角公式的记忆和应用．
难 点 直线l1到l2的角和直线l1和直线l2的夹角的区分和联系，
公式的准确记忆和灵活应用．
教学过程设计
(一)学生阅读课文．(P58夹角到P59例6前)
阅读思考题：
(1)怎样理解“直线l1到直线l2的角”与“直线l1和直线l2的夹
角”这两个定义，它们之间有什么区别和联系．
(2)两条直线夹角公式是怎样推导出来的，怎样能帮助我们牢固记
住这些公式．
(二)导入新课，教师在学生阅读教材的基础上讲述．
我们现在来研究两条直线所成的角．
平面内两条直线l1和l2相交构成四个角．它们是两对对顶角．
为区别这些角，我们把直线l1按逆时针方向旋转到与l2重合时所转
的角，叫做直线 l1到 l2的角．
如图中，直线l1到直线l2的角是θ1，l2到l1的角是θ2．
(θ1＞0，θ2＞0，且θ1＋θ2=π)．
当直线l1与l2相交但不垂直时，我们把两条直线l1和l2相交构成
的两对相等角中的锐角叫做直线 l1和直线 l2的夹角．
因之大家在判断两条直线所成的角时，一定要严格区分这两个定义．
一个“到”字，一个“夹”字含义不同，当直线l1到直线l2的角为锐角
时，l1到l2的角与l1和l2的夹角表示同一个角．
当直线l1到直线l2的角为钝角时，l1到l2的角与l1和l2的夹角，
表示不同的角，后者是前者的补角．
现在我们来求斜率为K1，K2的两条直线l1到l2的角θ，设已知直
线的方程分别是
l1：y=K1x＋b．l2：y=K2x＋b．
现在研究1＋K1K2≠0，即两直线不垂直时的情况．
设直线l1，l2的倾斜角分别是α1和α2．
tanα1=K1 tanα2=K2．
由图(1)：α2=α1＋θ，θ=α2－α1．tanθ=tan(α2－α1)
由图(2)：θ=α2＋(π－α1)=π＋(α2－α1)．
于是 tanθ=tan[π＋(α2－α1)]=tan(α2－α1)．
两种情况，结果一致．
∴直线l1到直线l2的角θ的正切函数值．
tanθ＞0，l1到l2的角为锐角，tanθ＜0，l1到l2的角为钝角．
直线l1和直线l2的夹角α的正切函数值．
为帮助同学们牢固记忆公式，大家应剖析一下公式的特征．
(1)l1到l2的角的公式中，分母为1＋K1K2，而分子为K2－K1这一顺
序是严格的，即是角的终边的斜率减去角的始边的斜率．
为记忆好公式，同学们应记住公式是
从正切的两角差的公式推出的．分子为
K2－K1．这点可以这样来理解．当两直线平行时，
θ=0，tanθ=0，因之K2－K1=0．而不是K1＋K2=0．公式中分母为1＋
K1K2，而不是1－K1K2．这点可这样来理解．当两
例 2 已知直线l1：A1x＋B1y＋C110，和l2：A2x＋B2y＋C2=0
(B1≠0，B2≠0，A1A2＋B1B2≠0)，l1到l2的角是θ，
例 3 等腰三角形一腰所在直线l1的方程是x－2y－2=0，底边所在
直线l2的方程是x＋y－1=0，点(－2，0)在另一腰上，求这条腰所在直
线l3的方程．
分析 等腰三角形一腰所在直线l1的方程已知，底边所在直线l2
的方程已知，我们就可求出等腰三角形的底角．由等腰三角形的性质，
两底角相等，底边与另一腰所在直线l3的夹角为已知，这样就可得到直
线l3的斜率，又l3过(－2，0)点，由点斜式可确定l3的直线方程．
因这里的夹角是等腰三角形的底角，为准确确定角的始边和终边，
最好是作出图形来确定位置．
解：作出单图，等腰三角形的底角为l2为始边，l1为终边的角，即
l2到l1的角θ1．
现在来确定另一个底角θ2，依图，θ2是l3到l2的角．设另一腰l3
的斜率K3
由点斜式，l3的方程为y=2(x＋2)．即2x－y＋4=0．
注意：这里作图确定直线的位置很重要，如本题中，等腰三角形中，
那条直线是等腰三角形的腰，那条直线是等腰三角形的底，要严格把握．
否则将导致错误．
(三)课堂练习
1．课本练习 1．
(1)l1到l2的角为 45°，l2到l1的角为135°．
(2)l1到l2的角为π－arctan3，
l2到l1的角为arctan3．
2．课本练习 2．
(1)90°．
(2)45°．
(3)90°．
(四)小结：
(1)两直线所成角的公式比较难记，大家要根据其推导过程联系两
角差的正切公式，做好记忆．特别要注意如果是求l1到l2的角，公式分
子中的被减数是角的终边的斜率，减数是始边的斜率．如果是求l1与l2
的夹角，则是指锐角．
(2)两直线所成角的公式要求两直线的斜率都存在，K1·K2≠－1
时，用公式计算，K1·K2=－1时，两直线成90°角．如直线斜率不存在，
则应根据直线的倾斜角直接去求．
作业，习题 7.3 8，9，10．
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