曲线和方程教案
●教学目标
（一）教学知识点
根据所给条件，求较复杂的曲线方程.
（二）能力训练要求
会根据已知条件，求一些较复杂的曲线方程.
（三）德育渗透目标
1.提高学生分析问题、解决问题的能力.
2.渗透数形结合思想.
●教学重点
求曲线的方程实质上就是找出所求曲线上任意一点 M（x,y)的横坐标x与纵坐标y之间
的关系式F(x,y)=0.
●教学难点
点随点动型的轨迹方程的求法.
●教学方法
讲练相结合
●教学过程
Ⅰ.课题导入
通过上节课学习，大家已基本掌握求简单的曲线方程的一般步骤，请大家回顾一下.
［师］（提问）：谁来给大家叙述一下？
［生］（1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M的坐标；
（2）写出适合条件P的点M的集合；
（3）用坐标表示条件P（M），列出方程f(x,y)=0;
（4）化方程f(x,y)=0为最简形式；
（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
Ⅱ.讲授新课
［师］下面结合一些典型的例题进一步巩固一下根据条件求曲线的方程.
［例1］已知一条曲线在x轴的上方，它上面的每一个点到 A（0，2）的距离减去它到
x轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程.
分析：这条曲线是到 A点的距离与其到x轴的距离的差是 2的点的集合或轨迹的一部
分.
解：设点M（x,y)是曲线上任意一点，MB⊥x轴，垂足是B，那么点M属于集合
P={M｜｜MA｜-｜MB｜=2}.
即： 22 )2( yx -y=2
整理得：x2+(y-2)2=(y+2)2,
y= 8
1 x2.
因为曲线在x轴的上方，所以y＞0，虽然原点O的坐标（0，0）是这个方程的解，但
不属于已知曲线，所以曲线的方程应是：y= 8
1 x2(x≠0),
它的图形是关于y轴对称的抛物线，但不包括抛物线的顶点.
［例2］已知A（-a,0）,B(a,0)(a∈R＋），若动点M与两定点A、B构成直角三角形，
求直角顶点M的轨迹方程.
分析：先依题意画出草图，帮助分析，然后按求曲线方程的步骤求解.
解：设点M的坐标为M(x,y)
由题意AM⊥BM,
∴kAM·kBM=-1
即 ax
y
ax
y
=-1
化简得x2+y2=a2，
∵M、A、B三点构成三角形，
∴M、A、B三点不共线，点M的纵坐标y≠0，从而得x≠±a
∴所求轨迹的方程为x2+y2=a2(x≠±a)
［师］求曲线方程时，一定要注意检验方程的纯粹性和完备性.
Ⅲ.课堂练习
下面，请同学们打开课本P72，练习3.
在△ABC中，B、C的坐标分别是（0，0）和（4，0），AB边上中线的长为3，求顶点A
的轨迹方程.
分析：依题意画出草图，然后设 A点坐标为(x,y)，从而可用 x,y表示出 AB的中点 D
的坐标，然后按照求曲线方程的步骤进行求解.
解：设A点的坐标为（x,y)，则 AB的中点 D的坐标为（ 2,2
yx ).
由题意可得｜CD｜=3
即 3)2()42(
22 yx
整理得(x-8)2+y2=36
∵A、B、C三点要构成三角形，
∴A、B、C三点不共线，即点A不能落在x轴上，∴点A的纵坐标y≠0.
∴所求顶点A的轨迹方程为：
（x-8)2+y2=36(y≠0)
［师］结合学生所做讲评，并强调要注意检验方程的解与曲线上点的坐标的对应关系，
要结合实际意义.
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，要对求曲线方程的基本思路和基本步骤更加清晰和熟练，而且要注意
所求曲线方程的纯粹性和完备性.
Ⅴ.课后作业
（一）课本P72习题 7.6 6,7.
（二）1.预习内容：课本P72～73.
2.预习提纲：
（1）如何利用曲线方程讨论曲线的一些性质？
（2）如何通过曲线方程求得两曲线的交点？
●板书设计
课 题
一、求曲线方程 二、例题讲解 复习回顾
的基本思路 课时小结
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