0 0 类别 : 教案

三角函数·三角函数线及其应用·教案 教学目标 1．使学生理解并掌握三角函数线的作法，能利用三角函数线解决一些简单 问题． 2．培养学生分析、探索、归纳和类比的能力，以及形象思维能力． 3．强化数形结合思想，发展学生思维的灵活性． 教学重点与难点 三角函数线的作法与应用． 教学过程设计 一、复习 师：我们学过任意角的三角函数，角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余 割是如何定义的？ 生：在α的终边上任取一点P（x，y），P和原点O的距离是r（r＞0）， 那么角α的六个三角函数分别是 （教师板书） 师：如果α是象限角，能不能根据定义说出α的各个三角函数的符号规 律？ 生：由定义可知，sinα和cscα的符号由y决定，所以当α是第一、二象 限角时，sinα＞0，cscα＞0；当α是第三、四象限角时，sinα＜0，cscα＜ 0．cosα和secα的符号由x决定，所以当α是第一、四象限角时，cosα＞ 0，secα＞0；当α是第二、三象限角时，cosα＜0，secα＜0．而 tanα，cotα的符号由x，y共同决定，当x，y同号时，tanα，cotα为正； 当x，y异号时，tanα，cotα为负．也就是说当α是第一、三象限角时， tanα＞0，cotα＞0；当α是第二、四象限角时，tanα＜0，cotα＜0． 师：可以看到，正弦值的正负取决于P点纵坐标y，余弦值的正负取决于P 点的横坐标x，而正切值的正负取决于x和y是否同号，那么正弦、余弦、正切的 值的大小与P点的位置是否有关？ 生：三角函数值的大小与P的位置无关，只与角α的终边的位置有关． 师：既然三角函数值与P点在角α的终边上的位置无关，我们就设法让P 点点位于一个特殊位置，使得三角函数值的表示变为简单． 二、新课 师：P点位于什么位置，角α的正弦值表示最简单？ 生：如果r=1，sinα的值就等于y了． 师：那么对于余弦又该怎么处理呢？ 生：还是取r=1． 师：如果r=1，那么P点在什么位置？ 生：P点在以原点为圆心，半径为1的圆上． 师：这个圆我们会经常用到，给它起个名字，叫单位圆，单位圆是以原点 为圆心，以单位长度为半径的圆． （板书） 1．单位圆 师：设角α的终边与单位圆的交点是P（x，y），那么有 sinα=y，cosα=x． 师：我们前面说的都是三角函数的代数定义，能不能将正弦值、余弦值等量 几何化，也就是用图形来表示呢？因为数形结合会给我们的研究带来极大的方 便，请同学们想想，哪些图形与这些数值有关呢？ （同学可能答不上来，教师给出更明确的提示．） 师：sinα=y，cosα=x，而x，y是点P的坐标，根据坐标的意义再想一想． 师：对点来说，是它的位置代表了数，点本身并不代表数．能不能找到一 个图形，自身的度量就代表数？ 生：可以用面积，比如一个正数可以对应着一个多边形的面积，每一个多 边形的面积对应着唯一一个正数． 师：很好．但这是一个二维的图形，而且多边形的边数也不确定，我们还 应遵循求简的原则．有没有简单的图形呢？ 生：是不是能用线段的长度来表示？ 师：说说你的理由． 生：线段的长度与正数是一一对应的，所以每一个正数可以用一条线段来 作几何形式． 师：正数可以这样去做，零怎么办呢？能用线段来表示吗？ 生：（非常活跃）当然行了，让线段两个端点重合，线段长就是零了． 师：可以画这样一个示意图，线段一个端点是 A，另一个端点是 B，当 A，B 重合时，我们说 AB是0；当 A，B不重合时，我们说 AB是一个正实数．那么负 数怎么办呢？能不能想办法也用线段 AB表示？ 生：线段的长度没有负数． 生：我能不能这样看，A点在直线 l上，B点在 l上运动，如果 B在 A的右 侧，我就说线段 AB代表正数；如果 B和 A重合，就说线段 AB代表0；如果 B在 A的左侧，就说线段 AB代表负数． （教师不必理会学生用词及表述的漏洞．主要是把学生的注意力吸引到对 知识、概念的发现上来．） 师：正数与正数不都相等，负数和负数也不都相等，你只是规定了正负还 不够吧？！ 生：可以再加上线段 AB的长度．这样所有的实数都能对应一条线段 AB，以 A为分界点，正数对应的点 B在 A的右侧，而且加上长度，B点就唯一了． 师：他的意见是对线段也给了方向．与直线规定方向是类似的．那么如何 建立有向线段与数的对应关系？ （板书） 2．有向线段 师：顾名思义，有方向的线段（即规定了起点与终点的线段）叫做有向线 段，那么如何建立有向线段与数的对应关系呢？这需要借助坐标轴．平行于坐 标轴的线段可以规定两种方向．如图2，线段 AB可以规定从点 A（起点）到点 B（终点）的方向，或从点 B（起点）到点 A（终点）的方向，当线段的方向与 坐标轴的正方向一致时，就规定这条线段是正的；当线段的方向与坐标轴的正 方向相反时，就规定这条线段是负的．如图中AB=3（长度单位）（A为起点，B 为终点），BA=-3（长度单位）（B为起点，A为终点），类似地有 CD=-4（长度 单位），DC=4（长度单位）． 师：现在我们回到刚才的问题，角α与单位圆的交点P（x，y）的纵坐标 恰是α的正弦值，但sinα是可正、可负、可为零的实数，能不能找一条有向线 段表示sinα？ 生：找一条有向线段跟 y一致就行了，y是正的，线段方向向上，y是负的， 线段方向向下，然后让线段的长度为｜y｜． 师：理论上很对，到底选择哪条线段呢？我们不妨分象限来看看． 生：如果α是第一象限的角，过P点向 x轴引垂线，垂足叫 M（无论学生 用什么字母，教师都要将其改为 M），有向线段 MP为正，y也是正的，而且 MP 的长度等于y，所以用有向线段 MP表示sinα=y． （图中的线段随教学过程逐渐添加．） 生：如果α是第二象限角，sinα=y是正数，也得找一条正的线段．因为 α的终边在x轴上方，与第一象限一样，作PM垂直 x轴于 M，MP=sinα． 师：第一、二象限角的正弦值几何表示都是 MP，那么第三、四象限呢？注意 此时sinα是负值． 生：这时角α的终边在x轴下方，P到x轴的距离是｜y｜=-y．所以还是 作PM垂直 x轴于 M，MP方向向下，长度等于-y，所以sinα=y． 师：归纳起来，无论α是第几象限角，过α的终边与单位圆的交点P作x 轴的垂线，交x轴于 M，有向线段 MP的符号与点P的纵坐标y的符号一致，长 度等于｜y｜．所以有 MP=y=sinα．我们把有向线段 MP叫做角α的正弦线，正 弦线是角α的正弦值的几何形式． （板书） 3．三角函数线 （1）正弦线——MP 师：刚才讨论的是四个象限的象限角的正弦线，轴上角有正弦线吗？ 生：当角α的终边在x轴上时，P与 M重合，正弦线退缩成一点，该角正 弦值为0；当角α终边与y轴正半轴重合时，M点坐标为 （0，0），P（0，1），MP=1，角α的正弦值为1；当α终边与y轴负半轴重 合时，MP=-1，sinα=-1，与象限角情况完全一致． 师：现在来找余弦线． 生：因为cosα=x（x是点P的横坐标），所以把 x表现出来就行了．过P 点向 y轴引垂线，垂足为 N，那么有向线段 NP=cosα，NP是余弦线． 师：具体地分析一下，为什么 NP=cosα？ 生：当α是第一、四象限角时，cosα＞0，NP的方向与x轴正方向一致， 也是正的，长度为x，有cosα=NP；当α是第二、三象限角时，cosα＜0，NP 也是负的，也有cosα=NP． 师：这位同学用的是类比的思想，由正弦线的作法类比得出了余弦线的作 法，其他同学有没有别的想法？ 生：其实有向线段OM和他作的有向线段 NP方向一样，而且长度也一样， 也可以当作余弦线． 师：从作法的简洁及图形的简洁这个角度看，大家愿意选哪条有向线段作 为余弦线？ 生：OM． （板书） （2）余弦线——OM 师：对轴上角这个结论还成立吗？ （学生经过思考，答案肯定．） 师：我们已经得到了角α的正弦线、余弦线，它们都是与单位圆的弦有关 的线段，能不能找到单位圆中的线段表示角α的正切呢？ 生：肯定和圆的切线有关系（这里有极大的猜的成分，但也应鼓励学 生．） 坐标等于1的点，这点的纵坐标就是α的正切值． 师：那么横坐标得1的点在什么位置呢？ 生：在过点（1，0），且与x轴垂直的直线上． 生：这条直线正好是圆的切线．（在图3-（1）中作出这条切线，令点 （1，0）为 A．） 师：那么哪条有向线段叫正切线呢？不妨先找某一个象限角的正切线． 生：设α是第一象限角，α的终边与过 A的圆的切线交于点 T，T的横坐 标是1，纵坐标设为y′，有向线段 AT=y′，AT可以叫做正切线． 师：大家看可以这样做吧？！但第二象限角的终边与这条切线没有交点， 也就是α的终边上没有横坐标为1的点． 生：可以令 x=-1，也就是可以过（-1，0）再找一条切线，在这条切线上 找一条有向线段表示tanα． 师：我相信这条线段肯定可以找到，那么其他两个象限呢？ 生：第三象限角的正切线在过（-1，0）的切线上找，第四象限角的正切线 在过（1，0）的切线上找． 师：这样做完全可以，大家可以课下去试，但我们还是要求简单，最好只 要一条切线，我们当然喜欢过 A点的切线（因为这条直线上每个点的横坐标都 是1），第一、四象限角与这条直线能相交，AT是正切值的反映，关键是第二、 三象限的角． （如果学生答不出来，由教师讲授即可．） 师（或生）：象限角α的终边如果和过 A点的切线不相交，那么它的反向 延长线一定能和这条切线相交．因为△OMP∽△OAT，OM与 MP同号时，OA与 AT 也同号；OM与 MP异号时，OA与 AT也异号， （板书） （3）正切线——AT 师：的确像刚才同学们说的，正切线确实是单位圆的切线的一部分，那么 轴上角的正切线又如何呢？注意正切值不是每个角都有． 生：当角α终边在x轴上时，T和 A重合，正切线退缩成了一个点，正切 值为0；当角α终边在y轴上时，α的终边与其反向延长线和过 A的切线平行， 没有交点，正切线不存在，这与y轴上角的正切值不存在是一致的． 师：可以看到正切线的一个应用——帮助我们记忆正切函数的定义域．现 在我们归纳一下任意角α的正弦线、余弦线、正切线的作法． 设α的终边与单位圆的交点为P，过P点作x轴的垂线，垂足为 M，过 A（1，0）点作单位圆的切线（x轴的垂线），设α的终边或其反向延长线与这 条切线交于 T点，那么有向线段 MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线、 正切线． 利用三角函数线，我们可以解决一些简单的有关三角函数的问题． （板书） 4．三角函数线的应用 例 1 比较下列各组数的大小： 分析：三角函数线是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线的方向看 出三角函数值的正负，其长度是三角函数值的绝对值．比较两个三角函数值的 大小，可以借助三角函数线． （由学生自己画图，从图中的三角函数线加以判断．） （画出同一个角的两种三角函数线）． 师：例 1要求我们根据角作出角的三角函数线，反过来我们要根据三角函 数值去找角的终边，从而找到角的取值范围． （板书） 例 2 根据下列三角函数值，求作角α的终边，然后求角的取值集合． 分析： P1，P2两点，则OP1，OP2是角α的终边，因而角α的取值集合为 （3）在单位圆过点 A（1，0）的切线上取 AT=-1，连续 OT， （4）这是一个三角不等式，所求的不是一个确定的角，而是适合 三、小结及作业 单位圆和三角函数线是研究三角函数的几何工具，它是数形结合思想在三 角函数中的体现．我们应掌握三角函数线的作法，并能运用它们解决一些有关 三角函数的问题，注意在用字母表示有向线段时，要分清起点和终点，书写顺 序要正确． 作业 （1）复习课本“用单位圆中的线段表示三角函数”一节． （2）课本习题P178练习第 7题；P192练习十四第 9题；P194练习十四第 22题；P201总复习参考题二第20题． 课堂教学设计说明 关于三角函数线的教学，曾有过两个设想：一是三种函数线在同一节课交 待，第二节课再讲应用；另一个设想是，第一节课只出正弦线、余弦线及它们的 应用，第二节课引入正切线，及三线综合运用，如比较函数值的大小、给值求角 解简单的三角不等式，证明一些三角关系式．本教案选择了前者，原因是利于 学生类比思维．在实际教学中，由于教师水平不同，学生的水平也不相同，教 案中的例题可能讲不完，或根本不讲，但是宁可不讲例题，也要让学生去猜、去 找三角函数的几何形式，我希望把三角函数线的发现过程展现给学生，教师不 能包办代替． 数形结合思想是中学数学中的重要数学思想，在教学中应不失时机地加以 渗透．通过三角函数线的学习，使学生了解数形结合的“形”不单有函数图象， 还有其他的表现形式．至于在解决有关三角函数的问题时用函数图象还是用三 角函数线，则要具体情况具体分析，如证明等式 sin2α+cos2α=1，研究同一个 角的正余弦值的大小关系，都以三角函数线为好． 教案中的三角函数线应用不够全面，应在第二节课加以补充使其完整．