函数的单调性教案
教学目标
1．教学内容：函数单调性的应用及函数单调区间的求法
2．教学目的要求
(1) 深化函数单调性的概念，掌握函数单调区间的求法．
(2) 会利用函数单调性解决比大小、求值域、求最值等问题，会判断复合函
数的单调性．
(3) 通过函数单调性有关知识的纵横延伸，培养学生思维的发散性．
设计思想
深化函数单调性的概念，加深对函数单调性重要性的认识，理解和掌握函
数单调性的各种应用，在理解概念的基础上，通过一些典型例题拓宽和加深对
有关知识的认识，引导学生多渠道、多角度去思考，在更深、更广的领域内挖掘
知识的内在联系，探求问题的纵横延伸，在实施转化的过程中培养学生思维品
质．
1．明确函数的单调区间的求法
2．介绍复合函数的意义，给出判断复合函数的单调性和求单调区间的方法
和步骤
3．说明函数单调性的各种应用
教学过程
一、课题引入
1．复习函数单调性的概念，并说明根据单调性定义证明和判断函数单调性
的步骤
2．求一些简单函数的单调区间
3．总结函数单调区间的求法
二、知识讲解
1．函数的单调区间的求法
(1) 图像法；(2)定义法；(3)利用已知函数的单调性．
2．复合函数的意义(严格定义请参看上节课“函数单调性(一)”的“引伸
和提高”部分)．另外可以给学生介绍下面的描述：
如果y是 u的函数，而u是x的函数，即y=f (u)，u=g (x)，那么 y关于x
的函数y=f [g (x)]叫做函数f和g的复合函数，u为中间变量．
3．复合函数单调性的规律：内外层函数同增同减则增，一增一减则减．
4．函数单调性的应用
(1) 利用函数的单调性比较大小．
(2) 确定函数的值域或求函数的最值．
(3) 利用函数的单调性解或证不等式．
(4) 利用函数的单调性解方程．
(5) 利用函数的单调性简化画函数图像的过程．
三、例题分析
例6．判断函数 4
2 2
xx
xy 在(1，+∞)上的单调性．
解： 42
414
414
44
222
2
xxxxx
xxy ．
当x>1时，u=(x+2)2－4是增函数．
则 41
4
2 x 在(1，+∞)是减函数．
∴ 原函数 4
2 2
xx
xy 在区间(1，+∞)上是减函数．
点评：将函数变形，转化成一些基本初等函数，利用基本函数的单调性讨
论较复杂函数的单调性．
例 7．已知二次函数 f (x)=x2+bx+c，对任意 x∈R，都有 f (1+x)=f (1－
x)，试比较
4
11f 与f (－a2+a－1) (a∈R)的大小．
解：由 f (1+x)=f (1－x)知函数 f (x)=x2+bx+c 的图像关于直线 x=1对称．
∴当x∈ 1， 时，f (x)是单调递减的．
又 14
3
4
3
2
11
2
2
aaa
∴ f (－a2+a－1)≥
4
3f
而
4
11
4
714
714
3 ffff
∴ f (－a2+a－1)≥
4
11f
点评：利用函数的单调性比较两个函数值的大小，要注意自变量取值要在
同一个单调区间内．本题就是利用二次函数图像的对称性把 4
11转换到 4
3 ，这
样 4
3 与－a2+a－1就在
f (x)的同一单调区间内．
例8．若x，y∈R，且满足 3x2+2y2=6x，求x、y取何值时，x2+y2取得最大值
并求出这个最大值．
解：由已知得 032
3 22 xxy ，解得，0≤x≤2．
2
932
132
132
3 222222 xxxxxxyx 其中 x∈[0，2]．
此函数图像的对称轴方程为x=3．当x∈[0，2]时，函数是递增的．
∴ 当x=2时，x2+y2取得最大值，最大值为4．
点评：利用函数的单调性求最值，注意x的取值范围即定义域和增减区间．
例 9．求函数 xxy 21 的值域．
解：令 xt 21 ，t≥0
则 2
1 2tx
∴ 2
1
2
1 2 tty
112
1 2 t (t≥0)
∴ 当 t=1时．ymax=1，当 t→∞时，y→－∞
∴ 1，y
四、习 题
1．函数y=f (x)是定义域R 上的减函数，则函数f (|x+2|)的单调减区间是 (
)
(A) R (B) (－∞，－2)
(C) (－2，+∞) (D) (－∞，2)
2．函数 22 xy 的值域是_________________________
3．函数y=2x2+8x－1，x∈[－3，1]，则其最小值为_________，最大值为_____
_____．
答 案
1．C
2． 20，
3．－9，9．
五、小结或总结
复合函数 单调性的判断
单调区间的求法
比较大小
函数单调性的应用 求函数的最值
求函数的值域
其它(待学)
六、思 考 题
1．已知函数 f (x)是定义在(0，+∞)上增函数，f (x)>0，f (2)=1．求函
数 xfxfxF
1 (x>0)的单调区间．
2．已知函数 f (x)=x2－2x+2，x∈[t，t+1] (t∈R)，f (x)的最小值是 t
的函数，记作 g (t)，求g (t)的解析式．
3．求函数 4
5
2
2
x
xy 的最小值．
答 案
1．单减区间 20， ，单增区间 ，2 ．
2．
122
101
01
2
2
ttt
t
tt
tg
3． 2
5 ．
/1
