等差、等比数列综合问题教案 2
教学目标
1．熟练运用等差、等比数列的概念、通项公式、前 n项和公式以及
有关性质，分析和解决等差、等比数列的综合问题．
2．突出方程思想的应用，引导学生选择简捷合理的运算途径，提
高运算速度和运算能力．
教学重点与难点
1．用方程的观点认识等差、等比数列的基础知识、从本质上掌握公
式．
2．解决应用问题时，分清是等差数列问题，还是等比数列问题；
分清 an和 Sn，数清项数 n．
教学过程设计
(一)复习
师：这节课我们要运用等差、等比数列的概念、性质及有关公式，解
决一些等
差、等比数列的综合问题．
(请学生叙述公式的内容并写在黑板上)
生甲：等差、等比数列的通项公式分别是 an=a1＋(n－1)d，an=a1qn-
1．
生丙：等比数列的前 n项和公式要分成 q=1和 q≠1两种情况来表
示，即
生丁：如果m，n，p，q都是自然数，当 m＋n=p＋q时，那么在
等差数列中有：
am＋an=ap＋aq，在等比数列中有：am·an=ap·aq．
师：在上述公式中，涉及到 a1，n，d(q)，an，Sn五个量，运用方程
思想，已知其中三个量，就可以求另外两个量．
(二)等差、等比数列中方程思想的应用
例 1 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，
并且第一个数与第四个数的和是 16，第二个数与第三个数的和是 12，
求这四个数．
师：这是一道等差、等比数列的综合问题，同学们应认真审题，然
后做出分析．
生甲：题目中给出了四个条件，可设这四个数分别为
x，y，m，n，然后列出四个方程．
解此四元二次方程组即可求得四个数．
生乙：设四个未知数太麻烦，可以由前三个数成等差数列，设前三
个数分别为 a－d，a，a＋d，第四个数为 16－(a－d)，列出两个方程：
解此方程组即可求出四个数．
师：看来解决这个问题的最好方法就是列方程组了，要使列出的方
程组简单易
解，关键在于如何设未知数．
列出的方程组为
师：方程组②和③都是二元二次方程组，运算量差不多，设未知数
的思路也是异曲同工的，都是直接应用已知条件．如果大家换个角度想
问题，设未知数还会有什么方法？
教师可将学生说的方法列在黑板上，以便学生进行比较．
生：如果设这四个数为 x，y，12－y，16－x，那么列出的方程组为
学生的积极性已经调动了起来，大家纷纷表示第四种设、列方法是
最理想的．
解法如下：
解：设四个数分别为 x，y，12－y，16－x，则
由(1)得：x=3y－12(3)代入(2)得：y2－13y＋36=0．解得 y=4或
y=9，分别代入(3)
得：x=0或 x=15．
所以所求四个数分别为：0，4，8，16或 15，9，3，1．
师：运用方程思想解决等差、等比数列问题，可以分成三个步骤：
①设未知数；②列方程；③解方程．
此题通过已知条件和未知数 x，y之间的关系，间接设第三个数为
12－y，第四个数为 16－x，由于未知数设的巧妙，从而减少了运算量．
(三)抓住基本量，是解决等差数列和等比数列综合问题的关
键
例 2 已知公差不为零的等差数列｛an｝和等比数列｛bn｝中，
a1=b1=1，a2=b2，a8=b3，试问：是否存在常数 a，b，使得对于一切自然
数 n，都有 an=logabn＋b成立．若存在，求出 a，b的值，若不存在，请
说明理由．
师：这道题涉及到两个数列｛an｝和｛bn｝之间的关系，而已知中
的三个等式架起了两个数列间的桥梁，要想研究 an，bn的性质，应该先
抓住数列中的什么量？
生：由于｛an｝是等差数列，{bn}是等比数列，所以应该先抓住基
本量 a1，d，
解出 d，q，则 an，bn就确定了．
师：如果 an和 bn确定了，那么 an=logabn＋b就可以转化成含有
a，b，n的方程，如何判断 a，b是否存在呢？
生：如果通过含有 n，a，b的方程解出 a和 b，那么就可以说明
a，b存在；如果解不出 a和 b，那么解不来的原因也就是 a和 b不存在
的理由．
师：分析得很好．让我们一起来实施刚才分析的思路，看看结论到
底是什么？
解：设等差数列｛an｝的公差为 d(d≠0)，等比数列｛bn｝的公比为
q，则
解得：d=5，q=6．所以 an=5n－4．
而 bn=6n-1，若存在常数 a，b，使得对一切自然数 n，都有 an=logabn
＋b成立，即
5n－4=loga6n-1＋b，
即 5n－4=(n－1)loga6＋b，
即(loga6－5)n＋(b－loga6＋4)=0．对任意 n∈N＋都成立．
师：本题的关键是抓住基本量：首项 a1和公差 d，公比 q，因为这
样就可以求出 an和 bn的表达式．an和 bn确定了，其它的问题就可以迎刃
而解．
(四)运用等差数列和等比数列的相关知识解决应用问题
例 3 某工厂三年的生产计划规定：从第二年起，每一年比上一年增
长的产值相
同，三年的总产值为 300万元，如果第一年，第二年，第三年分别
比原计划产值多 10万元，10万元，11万元，那么每一年比上一年的产
值增长的百分率相同，求原计划中每一年的产值．
师：对应用问题，同学们要认真分析，把实际问题转化成数学问题，
用学过的数学知识求解．
请学生读题，并逐句分析已知条件．
生甲：由每一年比上一年增长的产值相同可以看出，原计划三年的
产值成等差数列，由三年的总产值为 300万元，可知此等差数列中
S3=300，即如果设原计划三年的产值分别为：x－d，x，x＋d．则 x－d
＋x＋x＋d=300．
生乙：由产值增长的百分率相同，可以知道，实际三年的产值成等
比数列，可以设为 x－d＋10，x＋10，x＋d＋11．则(x＋10)2=(x－d＋
10)(x＋d＋11)．
师：甲、乙两位同学所列方程联立起来，即可解出 x，d．
(板书如下)
解：设原计划三年的产值为 x－d，x，x＋d，则实际三年产值为 x
－d＋10,x＋10，x＋d＋11．
由①得，x=100．代入②得 d=10．x－d=90，x＋d=110．
答：原计划三年的产值分别为 90万元，100万元，110万元．
师：等差数列和等比数列的知识，在实际生产和生活中有着广泛的
应用，在解决这类应用问题时，关键是把实际问题转化成数列问题，分
清是等差数列问题，还是等
比数列问题，分清 an和 Sn，抓住基本量 a1，d(q)，再调用有关的概
念和公式求解．
(五)准确辨别数学符号，提高分析问题和解决问题的能力
列，且 k1=1，k2=5，k3=17，求 k1＋k2＋k3＋…＋kn的值．
师：由已知条件 k1=1，k2=5，k3=17可以知道等差数列｛an｝中的哪
些项成等比数列？
生：a1，a5，a17成等比数列．
师：要求的 k1＋k2＋k3＋…＋kn的值，实质上求的是什么？
生：实质上就是求数列{kn}的前 n项和．
师：要求｛kn｝的前 n项和，就要确定数列{kn}的通项公式．应该
从哪儿入手？
师：a5，a1要由等差数列｛an｝的通项公式来确定，问题就转化成
求等差数列中的公差 d和 a1了．
生：如果设等差数列{an}的公差为 d，那么 a5=a1＋4d，a17=a1＋
16d，由于 a1，a5，a17成等比数列，则有(a1＋4d)2=a1(a1＋16d)，从而 an
应该可以求出了．
师：请同学们把刚才的分析整理出来．
(教师板书如下)
解：设数列｛an｝的公差为 d，d≠0，则 a5=a1＋4d，a17=a1＋16d．
因 a1，a5，a17成等比数列，则(a1＋4d)2=a1(a1＋16d)，即 2d2=a1d．
又 d≠0，则 a1=2d．所以
an=a1＋(n－1)d=2d＋(n－1)d=(n＋1)d．
k1＋k2＋k3＋…＋kn
=2·30－1＋2·31－1＋2·32－1＋…＋2·3n-1－1．
=2(30＋31＋32＋…＋3n-1)－n
=3n－n－1．
师：此题的已知条件中，抽象符号比较多，但是，只要仔细审题，
弄清楚符号的含意，看透题目的本质，抓住基本量，不管多复杂的问题，
都是能够解决的．
(六)小结
等差数列和等比数列的综合问题，涉及的知识面很宽，题目的变化
也很多，但是万变不离其宗，只要抓住基本量 a1，d(q)，充分运用方程、
函数、转化等数学思想方法，合理调用相关知识，这样，任何问题都不
能把我们难倒．
(七)补充作业
1．公差不为零的等差数列的第 2，第 3，第 6项依次成等比数列，
则公比是
[ ]
A．1 B．2`
C．3 D．4
2．若等差数列{an}的首项为 a1=1，等比数列{bn}，把这两个数列
对应项相加所得的新数列{an＋bn}的前三项为 3，12，23，则{an}的公差
与{bn}的公比之和为
[ ]
A．－5 B．7
C．9 D．14
4．在等差数列｛an｝中，a1，a4，a25依次成等比数列，且 a1＋a4＋
a25=114，求成等比数列的这三个数．
5．设数列{an}是首项为 1的等差数列，数列{bn}是首项为 1的等
比数列，又 cn=an
6．某工厂四年来的产量，第一年到第三年每年增长的数量相同，
这三年总产量为 1500吨，第二年到第四年每年增长的百分数相同，这
三年总产量为 1820吨，求这四年每年的产量各是多少吨？
作业答案或提示
1．C．
2．C．
所以三个数为 38，38，38，或 2，14，96．
5．设等差数列{an}的公差为 d，等比数列{bn}的公比为 q．则
6．设前三年产量依次为 a－d，a，a＋d，则 a－d＋a＋a＋
d=1500，解得 a＝
解得 d=100．所以四年产量依次为 400，500，600，720吨．
课堂教学设计说明
数学教学不仅要使学生获得数学知识，更重要的是通过知识的获得
过程来发展学生的思维能力．
这节课是与前面所学知识密切联系的，侧重于等差、等比数列有关
知识的综合运用，这就要求教师准确把握各个知识点，因为知识点是获
取知识的量的基本保证，在此基础上帮助学生建立良好的知识结构．这
是学生进行创造性思维的源泉，只有系统的掌握知识，才能培养学生提
高理解和运用知识解决问题的能力．
数学思想是数学的灵魂，是知识转化为能力的桥梁，数学思想蕴含
在数学概念，数学规律和数学方法之中．因此，本课从方程思想的运用
入手，意在充分调动学生的学习积极性、使学生学会观察、分析、比较、联
想等思维方法，加深对等差、等比数列有关知识的领会，掌握解决问题
的基本方法．在此基础上进行新探索，使学生的思维向深层次发展．学
会把应用问题抽象成数学问题；把复杂问题转化成简单问题，充分体会
到数学思想方法在解决问题中的威力．
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