平移教案
●教学目标
(一)知识目标
平移概念，平移公式.
(二)能力目标
1.理解向量平移的几何意义；
2.掌握平移公式，并能熟练运用平移公式简化函数解析式.
●教学重点
平移公式.
●教学难点
向量平移几何意义的理解.
●教学方法
启发引导式
启发学生根据函数图象的平移来理解图形的平移，引导学生弄清图形在平移前后新旧
坐标间的关系，深刻理解一个平移就是一个向量，从而掌握向量平移在简化函数解析式的
应用.
●教具准备
投影仪、幻灯片
第一张：例1(记作§5.8.1 A)
[例 1］(1)将函数y＝３x ２的图象F按向量a＝（－１，３）平移得到图形F′，
求F′的解析式.
(2)将一抛物线 F按照向量 a＝（－１，３）平移后，得到抛物线 F′的函数解析
式为y＝３（x＋１）２＋３，求F的函数解析式.
第二张：例2(记作§5.8.1 B)
［例2］把函数y＝x ２＋６x＋１１的图象经过怎样的平移，可得到y＝x ２的图象?
●教学过程
Ⅰ.课题导入
师：在有关二次函数的图象平移和三角函数的图象平移中，我们已知接触了图象的平
移其平移的方式与我们这一节所学的平移有着实质的相同性 下面我们进行研究 .
Ⅱ.讲授新课
1.平移的概念
设F为平面内一个图形，将F上所有的点按照同一方向，移动同样的长度，得到 F′，
这个过程叫做图形的平移.
师：在图形平移过程中，自一点都是按照同一方向移动同样的长度，所以我们有两点
思考：
其一，平移所遵循的“长度”和“方向”正是向量的两个本质特征，因此，从向量的
角度看，一个平移就是一个向量.
其二，由于图形可以看成点的集合，故认识图形的平移，就其本质来讲，就是要分析
图形上点的平移.
2.平移公式
设点P(x,y)按照给定的向量a＝（ｈ，ｋ）平移后得到新点P′（x′，y′），则
kyy
hxx
师：容易看到，公式中是用旧点的坐标和平移向量的坐标来表示新点坐标的，从向量
的角度可以理解为向量坐标等于终点(新点)坐标减去起点(旧点)坐标，故公式也可变形为
yyk
xxh
3．图形的平移公式
给定向量 a＝（ｈ，ｋ），由旧解析式求新解析式时，把公式
kyy
hxx
，代入旧解
析式中整理可得；若由新解析式求旧解析式，则把公式
kyy
hxx
代入到新解析式中整理
可得.
应当注意，上述点或图形平移，坐标轴并没有移动，平移前后均在同一坐标系上.
师：下面我们进行例题分析
(给出投影片§5.8.1 A)
［例1］分析：此题求解关键在于找出F与F′上对应点的坐标关系.
解：（1）设P(x,y)是图形F上任意一点，它在 F′上的对应点为Ｐ′（x′，y′），
则由平移公式得：
3
1
yy
xx
，可得
3
1
yy
xx
代入y＝３x ２得y′－３＝３（x′＋１）２，即y′＝３（x′＋１）２＋３,
所以图形F′的解析式为y＝３（x＋１）２＋３.
（2）设P（x，y）是图形F上任意一点，它在F′上的对应点为P′（x′，y′），则
由平移公式得
3
1
yy
xx
代入y＝３（x＋１）２＋３中得y＋３＝３［（x－１）＋１］２＋３
整理得y＝３x ２.
评述：这是一类给定平移向量，根据图形平移前(后)的解析式，求平移后(前)的解析
式，解这类问题，应当充分注意点和图形的对应，千万不能代错了解析式.
［例 2］分析：应仔细研究平移前后的函数解析式或图象，建立关于平移向量的坐标
的方程，从而求得平移向量.
解法一：∵y＝x ２＋６x＋１１＝（x＋３）２＋２
又抛物线顶点 O′坐标为(－３，２)
又抛物线y＝x ２的顶点为 O(0，0)
∴将抛物线y＝x ２＋６x＋１１平移，使顶点 O′与 O重合
设 OO ＝（ｈ，ｋ），则
220
3)3(0
k
h
因此，把函数y＝x ２＋６x＋１１的图象沿 x轴向右平移3个单位，再沿 y轴向下平移
2个单位，即按照向量 OO ＝（３，－２）平移后可得到y＝x ２的图象.
解法二：∵y＝x ２＋６x＋１１＝（x＋３）２＋２
即y－２＝（x＋３）２①
设函数图象按向量a＝（ｈ，ｋ）平移后可以得到函数y′＝x′２②
比较①②得平移公式
2
3
yy
xx
，
∴ｈ＝３，ｋ＝－２
故所求平移向量为a＝（３，－２）
Ⅲ.课堂练习
课本Ｐ 123练习 1，2，3.
Ⅳ.课时小结
师：通过本节学习，要求大家理解平移的意义，深刻认识一个平移就是一个向量，掌
握平移公式，并能熟练运用平移公式简化函数解析式.
Ⅴ.课后作业
(一)课本Ｐ 124习题5.8 3，4，5，6
(二)1.预习课本Ｐ 127～Ｐ 129
2.预习提纲：
(1)正弦定理的内容是什么?有几种表述形式?
(2)正弦定理如何证明?
(3)正弦定理能解决哪些三角形问题?
●板书设计
§5.8.1 平 移
1.平移概念： 3.图形平移可以转换为点 4.学生练习
一个平移即一个向量 的平移
2.点的平移公式
kyy
hxx
●备课资料
1.平移规律探究：
由平移公式
kyy
hxx
可得
yyk
xxh
，设平移前后图形为F、F′
(1)当ｈ＝０，ｋ＞0时，x′＝x，y′＞y，Ｆ′可看作将 F沿 y轴向上平移 k个单位
得到；
(2)当ｈ＝０，ｋ＜０时，x′＝x，y′＜y，Ｆ′可看作将 F沿 y轴向下平移｜k｜个
单位得到；
(3)当ｈ＞０，ｋ＝０时，x′＞x，y′＝y，Ｆ′可看作将F沿 x轴向右平移 h个单位
得到；
(4)当ｈ＜０，ｋ＝０时，x′＜x，y′＝y，Ｆ′可看作将 F沿 x轴向左平移｜h｜个
单位得到；
(5)当ｈ＞０，ｋ＞０时，x′＞x，y′＞y，Ｆ′可看作将F沿 x轴向右平移 h个单位,
再沿 y轴向上平移ｋ个单位得到；
(6)当ｈ＞０，ｋ＜０时，x′＞x，y′＜y，Ｆ′可看作将F沿 x轴向右平移 h个单位，
再沿 y轴向下平移｜k｜个单位得到；
(7)当ｈ＜０，ｋ＞０时，x′＜x，y′＞y，Ｆ′可看作将F沿 x轴向左平移｜ｈ｜个
单位，再沿 y轴向上平移 k个单位得到；
(8)当 h＜０，ｋ＜０时，x′＜x，y′＜y，Ｆ′可看作将F沿 x轴向左平移｜h｜个单
位，再沿 y轴向下平移｜ｋ｜个单位得到.
2.平移方式应用举例：
［例题］把函数 y＝log ２（x－２）＋３的图象经过怎样的平移，可以得到 y＝log2x
的图象?
解：设 P(x,y)是 y＝log2（x－2）＋3的图象上任意一点，平移后的对应点为 P′（x
′，y′）
则
kyy
hxx
代入y＝log2（x－２）＋３得
y′＝log2（x′－h－２）＋３＋ｋ
即y＝log2（x－h－２）＋３＋ｋ与y＝log2x的图象重合
∴
03
02
k
h
解得
3
2
k
h
因此，函数 y＝log2x的图象可以看作将函数 y＝log2（x－２）＋３的图象沿 x轴向左
平移2个单位，再沿 y轴向下平移3个单位得到，即按 PP ＝（－２，-３）平移后得到.
●教学后记
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