正弦函数、余弦函数的图象和性质(二)
一、素质教育目标
(一)知识教学点
正弦函数和余弦函数的性质：定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性．
(二)能力训练点
1．经过观察和推证揭示正弦函数和余弦函数的性质．
2．应用正弦函数和余弦函数的性质解决一些简单的问题．
(三)德育渗透点
在揭示正弦函数和余弦函数的性质的过程中，注意培养学生多观察、勤思考
善应用的品格．
二、教学重点、难点、疑点及解决办法
(一)教学重点：正弦函数y=sinx，x∈R的性质．
(二)教学难点：周期函数的概念．
(三)教学疑点：周期函数是否一定有最小正周期．
三、课时安排
本课题安排1课时．
四、教与学课程设计
(一)复习正弦函数、余弦函数的图象
师：上一节课我们研究了正弦函数、余弦函数的画法，现在请一位同学来讲
怎样画正弦函数和余弦函数的图象(师用幻灯打出正弦函数、余弦函数的图象)．
生：在直角坐标系的x轴上任取一点O1，以O1为圆心作单位圆，从这个圆
与x轴的交点A起把圆分成12等份，作出对应于角O1
分成12等份，把角x的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x轴上
相应的点x重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点，连线即得正弦函
数y=sinx，x∈[0，2π]的图象．余弦函数的图象，只要把余弦线“竖立”起
来，就同样可以得到余弦函数y=cosx，x∈[0，2π]的图象．然后向左、右平移
师：回答正确．今天，我们要研究正弦函数和余弦函数的性质．
(二)正弦函数和余弦函数的性质
师：我们观察正弦函数y=sinx和余弦函数y=cosx，它们的定义域是什么？
生：都是(-∞，+∞)．
师：值域是什么？
生：都是[-1，1]
师：最值是什么？当x为何值时，取得最佳？
函数y=cosx在 x=2kπ，k∈Z时取最大值y=1；在x=(2k+1)π，k∈Z时取
最小值y=-1．
师：观察正弦函数y=sinx和余弦函数y=cosx，发现它们的值按照一定的规
律不断重复出现．由诱导公式sin(x+2kπ)=sinx，cos(x+2kπ)=cosx(x∈R)，
也能知道它们的值按照一定的规律不断重复出现．这就是它们的一个重要性质．
一般地，对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数下，使得当x取定
义域内的每一个值时，f(x+Y)=f(x)都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函
数，不为零的常数T叫做这个函数的周期．例如，对于正弦函数y=sinx，x∈R
来说，2π，4π，…，-2π，-4π，…都是它的周期，一般地，2kπ(k∈Z，且
k≠0)都是它的周期．对于一个周期函数来说，如果在所有的周期中存在着一个
最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期．例如，2π是正弦函数
y=sinx，x∈R的所有周期中的最小正数，因而2π是这个函数的最小正周期．
正弦函数y=sinx，x∈R和余弦函数y=cosx，x∈R都是周期函数，
2kπ(k∈Z，且k≠0)都是它们的周期，最小正周期是2π．
今后读到三角函数的周期时，一般指的是三角函数的最小正周期．
师：现在我们来研究正弦函数和余弦函数的多奇性．什么叫做奇函数？什
么叫做偶函数？
生：如果对于函数定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)
就叫做奇函数．
如果对于函数定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫
做偶函数．
师：正弦函数和余弦函数是奇函数还是偶函数？为什么？
生：∵ sin(-x)=-sinx，∴ 正弦函数y=sinx，x∈R是奇函数．
∵ cos(-x)=cosx，∴ 余弦函数y=cosx，x∈R是偶函数．
师：回答正确．我们还要知道它们的图象的特征，正弦函数是奇函数，则
正弦曲线关于原点O对称；余弦函数是偶函数，则余弦曲线关于y轴对称．
减小到-1．
由正弦函数的周期性可知：
π](k∈Z)上，都从1减小到-1，是减函数．也就是说，正弦函数y=sinx
观察余弦曲线可得到什么结论？
生：由余弦曲线可以看出，函数y=cosx在每一个闭区间[(2k-1)π，2kπ]
(k∈Z)上都从-1增大到1，是增函数；在每一个闭区间[2kπ，(2k+1)π]
(k∈Z)上，都从1减小到-1，是减函数．也就是说，余弦函数y=cosx的单调区
间是[(2k-1)π，kπ]及[2kπ，(2k+1)π]，(k∈Z)．
师：完全正确．上面我们研究了正弦函数和余弦函数的五个性质：定义域，
值域，周期性，奇偶性、单调性．下面请同学们做几起练习．
(三)例题
例1 求使下列函数取得最大值的x的集合，并说出最大值是多少？
(1)y=2sinx，(2)y=cosx+2，(3)y=sin2x，(4)y=3cos2x．
函数y=2sinx的最大值为2．
(2)使 y=cosx+2取最大值的x的集合为{x|x=2kπ，k∈Z}，函数y=cosx+2
的最大值为 3．
(4)2x=2kπ，x=kπ．
∴ 使y=3cos2x取最大值的x的集合为{x|x=kπ，k∈Z}，函数y=3cos2x
的最大值为 3．
例2 求下列函数的周期：
解：(1)因为sinx的最小正周期是2π，所以当自变量 x(x∈R)增加到
x+2π且必须增加到x+2π时，函数sinx的值重复出现，函数 3sinx的值也重
复出现，因此 y=3sinx的周期是2π．
(2)把 2x看成是一个新的变量z，那么 z的最小正周期是2π，就是说，当
z增加即 z+2π且必须增加到 z+2π时，函数cosz的值重复出现，而
z+2π=2x+2π=2(x+π)，所以当x增加到x+π且必须增加到x+π时，函数值
重复出现，因此 y=cos2x的周期是π．
师：我们看到，例2中函数周期的变化仅与自变量 x的函数有关．一
根据这个结论，我们可以由正弦函数式或余弦函数式直接写出它的
例 3 判定下列函数是偶函数，还是奇函数，或者都不是．
(1)y=xsinx，(2)y=|sinx|，(3)y=cos2x+secx，(4)y=sinx+cosx，
解：(1)∵ f(-x)=-xsin(-x)=xsinx=f(x)，∴ y=xsinx为偶函数．
(2)∵ f(-x)=|sin(-x)|=|sinx|=f(x)，∴ y=|sinx|为偶函数．
(3)∵ f(-x)=cos2(-x)+sec(-x)=(cos2x+secx=f(x)，∴
y=cos2x=secx为偶函数．
(4)都不是．
(5)y=sin(π+x)=-sinx．∵ f(-x)=-sin(-x)=sinx=-
f(x)，∴y=sin(π+x)为奇函数．
例4 不通过求值，指出下列各式大于零，还是小于零．
(四)总结
本节课我们学习了正弦函数和余弦函数的性质：定义域、值域、周期性、奇偶
性、单调性，以及它们的简单应用．
五、作业
P．191中 3、4、5(1)、6、7．
六、板书设计
七、参考资料
《高级中学代数上册》(必修)
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