函数的周期性教案 1
教学目标
1．使学生理解函数周期性的概念，并运用它来判断一些简单、常见
的三角函数的周期性．
2．使学生掌握简单三角函数的周期的求法．
3．培养学生根据定义进行推理的逻辑思维能力，提高学生的判断
能力和论证能力．
教学重点与难点
函数周期性的概念．
教学过程设计
师：上节课我们学习了利用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象．
今天我们将利用正弦函数图象，研究三角函数的一个重要性质．请同学
们观察y=sinx，x∈R的图象：
(老师把图画在黑板左上方．)
师：通过观察，同学们有什么发现？
生：正弦函数的定义域是全体实数，值域是[－1，1]．图象有规律
地不断重复出现．
师：规律是什么？
生：当自变量每隔2π时，函数值都相等．
师：正弦函数的这种性质叫周期性．我们将会发现，不但正弦函数
具有这种性质，其它的三角函数和不少的函数也都具有这样的性质，因
此我们就把它作为今天研究的课题：函数的周期性．(老师在黑板左上
方写出课题)
师：我们先看函数周期性的定义．(老师板书)
定义 对于函数 y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x
取定义域内的每一个值时，f(x＋T)=f(x)都成立，那么就把函数y=f(x)
叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期．
师：请同学们逐字逐句的阅读定义，找出定义中的要点．
生：首先T是非零常数，第二是自变量x取定义域内的每一个值
时都有f(x＋T)=f(x)．
师：找得准！那么为什么要这样规定呢？
师：如果T=0，那么f(x＋T)=f(x)恒成立，函数值当然不变，没有
研究价值；如果T为变数，就失去了“周期”的意义了．“每一个值”
的含义是无一例外．
师：除这两条外，定义中还有一个隐含的条件是什么？
生：如果x属于y=f(x)的定义域，则T＋x也应属于此定义域．
师；对．否则f(x＋T)就没有意义．
师：函数周期性的定义有什么用途？
生：它为我们提供判定函数是否具有周期性的理论依据．
师：下面我们看例题．
(老师板书)
例 1 证明 y=sinx是周期函数．
生：因为由诱导公式有sin(x＋2π)=sinx，所以2π是y=sinx是
一个周期．故它就是周期函数．
师：要想判断T是不是函数y=f(x)的周期有什么方法？我们现有的
理论依据只有定义，如何使用定义？
y=sinx的周期．
义域内的每一个x，都有f(x＋T)=f(x)，而不是有(存在着)某一个
x，使f(x＋T)f=(x)
乙是正确的．
师：分析得好！同学对概念的学习应该做到真正能弄清每句话的含
义，而不能只停留在字面的意思读懂了．这样才可能透彻地理解概念，
为进一步的学习打下牢固的基础．
例 3 已知 f(x＋T)=f(x)(T≠0)，求证f(x＋2T)=f(x)．
师：此题用文字如何叙述？谁能给予证明？
生：若不等于零的常数T是f(x)的一个周期，证明2T仍是f(x)的
周期．
因为T是f(x)的周期，所以f(x＋T)=f(x)，f[(x＋T)＋T]=f(x＋
T)，即 f(x＋2T)=f(x)．
因此2T是 f(x)的周期．
师：这个命题推广可得到什么结论？
生：如果T是f(x)的周期，那么2T，3T，…，nT(n∈Z)也都是
f(x)的周期．
师：这说明如果一个函数是周期函数，所有的周期就构成一个无穷
集合．这无数个周期中我们有必要研究在它们中间是否存在着最小正周
期．这是为什么？
生甲：如果发现一个函数存在最小正周期，就可以确定这个函数的
所有周期．
生乙：更具有实用性．如果找到最小正周期，就可以在其定义域的
一个长度为最小正周期的范围内对函数进行研究．
师：这位同学思考问题有一定的深刻性．他不但弄清最小正周期的
实质，还进一步想到我们研究函数周期性的目的，那就是要研究一个周
期函数在整个定义域上的性质，只要研究它在一个周期内的性质，然后
经过周期延拓即可．如果能够确定最小正周期，可使研究的范围缩小在
最小正周期的范围内．这无疑给我们研究周期函数的性质带来方便．
(老师在函数的周期性定义下板书)
如果在所有的周期中存在着一个最小正周期，就把它叫做最小正周
期．
例 4 证明f(x)=sinx(x∈R)的最小正周期是2π．
师：例1证明了y=sinx是周期函数，并且找到了一个周期T=2π．
例2我们证明
命题，只要证明什么？
生：只要证明任何比 2π小的正数都不是它的周期．
师：如何证？能否逐一证明比 2π小的正数都不行呢？当然不行．
因为比 2π小的正数是无限的．那这样的命题应如何证？
生：反证法．假设存在 T∈(0，2π)使得 y=sinx对于任意的x∈R
都成立．推出矛盾即可．
师：你能具体的给予证明吗？
生：假设T是y=sinx，x∈R的最小正周期，且 0＜T＜2π，那么根
据周期函数的定义，当x为任意值时都有
sin(x＋T)=sinx．
即
cosT=1．
这与 T∈(0，2π)时，cosT＜1矛盾．这个矛盾证明了
y=sinx，x∈R的最小正周期是2π．
师：请同学们在课堂练习本上证明y=cosx的最小正周期是2π．
师：通过上面的例题和练习我们得出这样的结论，正弦函数
y=sinx(x∈R)和余弦函数y=cosx(x∈R)都是周期函数，2πk(k∈Z且
k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π．
例 5 求 y=3cosx的周期．
师：以后求周期如果没有特殊要求，都求的是最小正周期
生：因为y=cosx的周期是2π，所以 y=3cosx的周期也是2π．
师：好．好在他能利用我们总结出的结论，也就是新知识归结到旧
知识上去．你能再具体的证明吗？
生：可以从数和形两个角度来证明．
解(一) 因为对一切 x∈R，3cos(x＋2π)=3cosx，所以 y=3cosx的
周期是2π．
解(二) 因为y=3cosx图象是把y=cosx图象上的每点的横坐标不变，
纵坐标扩大 3倍得到的，当自变量x(x∈R)增加到x＋2π且必须增加到
x＋2π时，函数 cosx的值才重复出现，因而函数3cosx的值也才重复
出现，因此y=3cosx的周期是2π．
师：数和形是我们研究数学问题的两个方面，他都想到了，并且能
完整的叙述清楚，若把此题推广，能得到什么结论？
生：y=Asinx，x=Acosx(A≠0，是常数)的周期都是2π，也就是说
函数周期的变化与系数 A无关．
例 6 求 y=sin2x的周期．
(请不同解法的三位同学在黑板上板演)
生甲：
解 因为y=sin(2x＋2π)=sin2x，对于任意x∈R都成立．所以
y=sin2x的周期是2π．
生乙：
解 因为 y=sin(2x＋2π)=sin2(x＋π)=sin2x，所以 y=sin2x的
周期是π．
生丁：
解 设2x=u，因为y=sinu的周期是2π，所以
y=sin(u＋2π)=sinu，
即
sin(2x＋2π)=sin2(x＋π)=sin2x，
所以 y=sin2x的周期是π．
师：我们一起来分析三个同学的解法．解法一是错误的，错误在对
于周期函数定义中任意x都有f(x＋T)=f(x)的本质没弄清楚，要证明
y=sin2x是周期函数，应证明对于任意x∈R，都有y=sin2x=sin2(x＋
T)，而不是y=sin2x=sin(2x＋T)．解法(二)，(三)是正确的．区别在于
解法(三)经过换元，把要研究的新问题y=sin2x的周期转化为已有的旧
知识 y=sinu的周期．这种转换的意识、换元的思想是很重要的．
师：其实这个问题也可以从图象的变换来考虑．我们先看如何由
y=sinx的图象得到y=sin2x的图象．使y=sinx的图象上的每点的纵坐
标不变，横坐标是该点横坐标的
重复出现，所以 y=sin2x的周期是π．
师：通过这个例题我们看到，谁对函数的周期有影响？是x的系数．
有怎样的影响？带着这个问题同学们做下面的题目．
y=2sin(u＋2π)=2sinu，
又因为
所以
师：通过这个例题，进一步验证了我们的猜想，函数的周期的变化
仅与自变量x的系数有关．我们把例 7写成一般式．
＞0，x∈R)
sin(u＋2π)=sinu，
即
即
师：这样就证明了我们的猜想，不但函数的周期仅与自变量的系数
有关系，而且
(老师板书)
师：以后再求正弦函数或余弦函数的周期，可由上面的结论直接写
出它的周期．
师：(总结)通过今天的课，同学们应明确以下几个问题．
(一)研究函数周期的意义是什么？
周期函数是反映现实世界中具有周期现象的数学模型．如果能找到
函数的最小正周期T，那么只要在以T为长度的区间内，就可以研究函
数的图象与性质，然后推断出函数在整个定义域的图象和性质．这给我
们研究函数带来了方便．
(二)对于函数周期的定义应注意：
1．f(x＋T)=f(x)是反映周期函数本质属性的条件．对于任意常数
T(T≠0)，如果在函数定义域中至少能找到一个x，使f(x＋T)=f(x)不
成立，我们就断言 y=f(x)不是周期函数．对于某个确定的常数T≠0，
如果在函数定义域中至少能找到一个x，使f(x＋T)=f(x)不成立．我们
能断言 T不是函数y=f(x)的周期，但不能说明x=f(x)不是周期函数．
2．定义中的“每一个值”是关键词．
此函数对于任意确定的常数T≠0，尽管 f(x＋T)=f(x)对函数定义
域(－∞，＋∞)中几乎所有x都成立．但仅仅由于x的个别值x=0，x=
－T时，等式不成立．因此函数f(x)不是周期函数．
(三)周期函数的周期与最小正周期的区别与联系．
1．周期函数的周期一定存在，但最小正周期不一定存在，最小正
周期如果存在必定唯一．周期函数的周期有无数个．
如：f(x)=c(常数)，任意非零实数都是它的周期，但由于不存在不
等于零的最小正实数，所以f(x)=c没有最小正周期．这个例子也同时
说明不是只有三角函数才具有周期性．
2．周期函数的最小正周期一定是这个函数的周期，反之不然．
例如，2π是 y=sinx的最小正周期，也是函数的周期；4π是函数
的周期，但不是最小正周期．
作业：课本P178第 6题，P132第 4题．
课堂教学设计说明
此教学方案是按照“教师为主导，学生为主体，课本为主线．”的
原则而设计的．教师的主导作用在于激发学生的求知欲，为学生创设探
索的情境，指引探索的途径，引导学生不断地提出新问题，解决新问题．
函数周期性概念的教学是本节课的重点．概念教学是中学数学教学
的一项重要内容，不能因其易而轻视，也不能因其难而回避．概念教学
应面向全体学生，但由于函数的周期的概念比较抽象，所以学生对它的
认识不可能一下子就十分深刻．因此，进行概念教学时，除了逐字逐句
分析，还要通过不同的例题，让学生暴露出问题，通过老师的引导，使
学生对概念的理解逐步深入．
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