一类数列通项公式的求法教案
教学目的
(1)使学生掌握由递推关系式表示的数列通项公式的求法；
(2)通过探求由递推关系式表示的数列通项公式的过程，培养学生
观察、分析、提出问题和解决问题的能力．
教学过程
一、引入新课
师：通过前几节课的学习，我们看到表示数列的方法是多种多样的．
例如，用通项公式an=f(n)表示；用数列的前n项之和Sn与通项an的关
系式表示；用初始项和递推关系式表示．
今天，我们来研究用初始项和递推关系式表示的数列的通项公式的
求法．先看一个简单的例子．
[例 1] 已知某数列{an}的首项a1=1，且an=2an-1＋1(n≥2)，求此
数列的通项公式．
题中an=2an-1＋1(n≥2)不是此数列的通项公式，它仅揭示了数列中
相邻两项之间的关系，我们称它为数列项的递推关系式．我们已经学过
两种重要数列：等差数列和等比数列．它们的通项公式以及有关性质是
我们所熟悉的．因此，我们可否设法通过变形转化为等差数列或等比数
列，而使问题得到解决呢？
(学生相互讨论，教师巡视，启发学生．当学生发现解法后，请一
学生回答．)
生：在递推公式两边同时加上1，得
an＋1=2an-1＋2=2(an-1＋1)，
即
这说明数列{an＋1}是一个以a1＋1=2为首项，公比为2的等比数列．
于是，由等比数列的通项公式，得an＋1=2·2n-1=2n．
∴an＝2n－1．
师：回顾一下这个例题的解题过程：
(1)该数列的通项公式是通过变形将其化为等比数列后求得的；
(2)调整递推关系，引入一个新的辅助数列{an＋1}．而这个辅助数
列是我们所熟悉的等比数列．
[引导学生自己归纳出解法特点，养成学生解题后思考的良好习
惯．]
师：如果我们将例1中递推关系的系数稍加变化，你们能求出它
的通项公式吗？
有的同时加上30；也有的同时加上50，……学生的亲自实践均未
成功．在大部分学生试验都失败的情况下教师加以启发．)
师：你们在递推关系两边同时加上－75再试一试．
(指定一位学生板演，此时学生感到意外的是不理解为什么要在两
边加－75．)
生：老师，为什么加上－75呢？如果递推关系中的系数再变化，
又该加什么呢？
师：此题怎么想到了要加上－75呢？如果递推关系式中的系数再
变化又该怎么解？
这就需要我们来寻求解这类问题的一般规律．上面问题的一般形式
可以用例3来描述．
[例 3] 已知数列{an}的项满足
其中c≠1．证明这个数列的通项公式是
师：由例1、例2的启发，在递推关系式两边加上一个适当的常数
y，使得数列{an＋y}构成一个等比数列，然后通过等比数列{an＋y}的通
项公式来求得数列{an}的通项公式．问题的关键是怎样确定常数y．下
面我们用待定系数法来求出y的值．
设在递推关系式
an+1＝can＋d
①
的两边同时加上常数y，使得
an+1＋y＝c(an＋y)，
②
这时数列{an＋y}便是一个以a1＋y为首项，c为公比的等比数列．
思考：当c=1或 d=0时，如何写出它们的通项公式．(学生回答：
略)
师：前面我们掌握了以递推关系式“an=can-1＋d”表示的数列的
通项公式的求法，下面几个不是这类题型的题目，你们能否将它们转化
为“an=can-1＋d”型后再求出它们的通项公式？
二、课堂练习
[解：由递推关系式的特点，可用倒数代换：
令bn=log2an，则上式转化为“an+1=can＋d”型．]
从而
故
三、小 结
通过这节课，我们看到由递推关系式给出的数列通项公式的求法大
致有两种：
(1)对于“an+1=can＋d”型．我们总可以通过等比数列{an＋y}来求
出它的通项公式，
其中
(2)有些题可利用代换将其化为“an+1=can＋d”的形式来解决．
四、布置作业
1．已知数列{an}满足a1=1，a2=5，且an+1=3an－2an-1，求数列{an}的
通项公式．
2．已知数列{an}满足a1=a2=1，且an+1=an＋an-1，求数列{an}的通项
公式．
3．设数列{an}的 a1、a2为已知，且an+1=pan＋qan-1(p、q为常数)，求
数列{an}的通项公式．
自我评述
(1)递推数列在现行中学教材中，所占篇幅极小(只通过三个习题反
映这一内容)．但其重要性却不容忽视．首先它是给出数列的一种重要
方法；其次，递推数列的题目综合了函数、恒等变形、方程、不等式、极限
等中学数学中的基础知识，涉及到数学中的换元法，待定系数法，数学
归纳法等重要方法，对培养学生的逻辑思维和推理论证等能力具有重要
意义、此外，许多与自然数有关的题目常常可归纳为求某数列的通项公
式的问题，而要求得该数列的通项公式往往又是很困难的，这时若能根
据题设构造出递推关系，先把这个数列确定下来，然后再求出该递推数
列的通项公式，即可使问题得到解决．
(2)教材上的题：
已知数列{an}的项满足
其中c≠1．证明这个数列的通项公式是
这是以证明题的形式出现的，处理这类题目，不能仅仅满足于证出
结果．特别是某些在数学思想方法上有代表性的题目，要挖掘解题的思
考过程以及规律被揭示的过程．
(3)上好一节课，我们追求的是总体最佳效果．本节课安排了三个
例题、三个课堂练习题以及三个课外作业题．
一节课的素材虽然准备得很充分，但若搭配布局安排不当，就可能
降低学生对所教内容的理解水平，不能充分发挥教材在培养学生思维品
质方面的作用．因此，在设计教案时应该重视一节课各部分、各环节间
相互联系的功能所形成的最佳结构，以发挥整个教学系统由于配合协调
而产生的联合效应与整体功能．
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