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专题二 学习语文必须在读书上下功夫 第二讲 张 （张思明 北大附中数学特级教师）：各位老师大家好，欢迎各位老师继续参加高中数学 新课程国家级远程培训，在上节课里，我们对高中数学课程的主线之一 --函数进行了一个 比较细致的分析，在这讲里，我们将继续对其他的几条主线进行分析，那好我们首先先请 王老师，对于运算这条主线进行一下分析。 王老师 （王尚志 首都 师范大学博士生导师、教授）：上一讲 张老师对于函数在高中数学课 程中的位置进行了分析，那么我先对于运算在高中数学课程中的位置做一个简单的分析， 提供给各位老师做一个参考。 大家知道运算始终是数学课程最基本的内容，也是最基本的能力，我们在小学阶段学习了 数的运算，初中阶段，我们完整的理解了有理数的运算和实数的运算，或者初步的理解了 实数的运算，我们又引入了代数式的运算，并且利用这种运算去研究方程、函数、不等式等 等，那么我们可以看出运算的作用，我想在小学初中运算的这些作用，没有结束，在高中 课程的学习过程中，仍然在发挥作用，因此我想提醒老师注意的第一个问题是，无论学生 在初中和小学阶段运算学到什么程度，我们高中的老师都有责任帮助他们继续提升和培养 他们的运算能力，因此在高中阶段我们应该有意识的帮助学生培养他们的运算能力，提升 他们的运算能力。 下面我来分析一下高中运算的主要内容，在高中阶段，除了会不断的使用多项式运算和数 的运算之外，我们又引入了一些新的运算对象， 其中特别突出的就是指数运算，就是 ，还有相应的一些指数运算的法则，比如说 ， 等等。 老师都应该知道，我说的第一个性质，是指数运算最根本的性质，当然我们不要去推导， 后面是怎么从前面推导出来的，我想这是一个重要的运算的载体，这个运算的载体会渗透 在我们对于很多问题的思考过程中。同时我们还会利用这种运算，去研究指数函数，另外一 个运算的载体就是对数函数，它和指数函数是相对应的，我就不重复了。 指数函数运算、对数函数运算，在我们高中的学习中碰到的新的运算载体，那么到了必修 4 的课程里面， 我们还会学习另外一些运算规则，就是我们传统说的三角函数的很多背景， 实际上我们也何以把它看作一种运算，比如说明 等等，我们既可以把它看作公式，也是一 种运算的法则，在三角函数研究过程中，这种法则常常会起作用，当然我们可以告诉老师 在高中阶段，三角函数运算法则的作用，发挥的不是特别的重要，到了大学的学习，特别 研究三角级数的时候，这些运算法则才会真正的发挥作用，我想我们学到的指数运算、对数 运算和三角运算，如果从运算的角度来说，我希望我们的老师应该清楚，这些运算和我们 所学过数的运算和多项式的运算有一些不同，通常我们在数学里叫它做非线性运算，这些 运算的掌握是提升我们学生运算能力的重要载体。除了这个载体，在高中阶段还有一个非常 非常重要的运算载体，就是向量，二维向量和三维向量，它提供了我们非常丰富的运算的 内涵，它不仅有向量的加法，向量的数乘，还有向量的点乘，将来还会学习向量的其他运 算形式。所以向量的运算给我们整个的对运算的理解带来了一个新的面孔，这一点在大学一 年级的课程中，给予足够的呼应，也就是说我们在大学一年级所学的线性代数中所要学到 的线性空间的概念，实际上就是向量运算概念的一个直接的拓展，我们不仅要重视向量的 运算，还要重视向量运算的意义，特别是它的几何意义和它的物理背景，向量每一个运算 都有着它明确的几何意义。 比如说我们在几何中要研究的主要问题是直线型的平行与垂直，判定垂直的主要应用了向 量的点乘是不是等于零，判断平行的主要使用共线问题。所以我想向量作为一种新的运算载 体，对我们整个数学学习的作用是非常重要的。这是我们所说的运算的载体。 张老师 （张饴慈 首都 师范大学教授）：我想对我们中学来说向量是非常重要的，它的运 算是用几何的平行四边形来做，但是它运算的规律却同我们过去的很相像，这个非常困难。 除了这个以外，在我们中学里面还有几个重要的运算，一个就是复数的运算，还有就是导 数的运算 ，两个相乘的导数、两个相除的导数的运算。所以，运算始终是我们高中的一个主 线，一个人的运算能力反映了他思维清楚不清楚，我们常说培养一个人的逻辑思维能力， 实际上这个运算的本身也很反映这个问题，所以运算的能力的培养始终是我们关注的问题 数学的运算能力，所谓简化的思维对他的做问题的正确能够有意义，另外要关注运算的背 景，向量的几何背景，向量的物理背景，两个向量的和 --力，向量的内积就是做功等。只有 关注运算的背景，才能知道这个运算法则为什么会这样。 王 老师：从运算的角度里我们要去理解数形结合，将来我们再从图形的角度，又要从另外 一个角度来理解数形结合，这是运算的载体，另外我们必须认识，运算的作用不仅仅限于 这些载体，更重要的是运用我们所学过的运算，综合的使用去解决某些问题。比如说研究函 数，研究函数的单调性，研究线性规划问题，研究很多的问题，计数问题，二项式定理， 可能都需要用。所有这些都是运算的一个直接应用。所以，我想学生运算能力的提升，我们 应该采取一种整体的管理，这是我们高中三年的基本任务，不是一次课、两次课能解决的问 题，而是持续下来的问题，很多技能都是通过对某种运算总结，比如说配方法、消元法，都 是特定的一系列运算步骤形成的一种固定的方法。 张老师：算法里的二分法求方程的解。 王老师：所以对于运算的认识，我觉得可能是最重要的。我个人的观点，觉得在高中所有的 这些能力中，我们第一位要重视的是计算能力，当然我不是说忽视其他的能力。我们要帮助 学生，要会算，要算的比较正确，要算的正确，这种能力的培养，我们老师要把它始终作 为教学的一个基点。所以，我这儿提出一个问题供老师参考，你的学生在计算上还有哪些问 题，反映在哪些地方，你有什么好的经验去克服这些问题？我想这个是我们这次研修活动 希望 和老师一起研究的一个问题。 下面是北京市海淀区十九中的老师带来的案例： 张：各位老师大家好，这里我先向大家介绍两位一线的老师，我身边这位，是北京市海淀 区第十九中 谭晋轩老师， （ 檀晋轩：北京十九中高级教师 ） 这边是同一学校的 王肖华老 师 （ 王肖华：北京十九中区骨干教师 ） 。两位老师都是海淀区优秀的青年骨干教师，这次 请他们来，想就整体把握高中数学课程的一个很有必要讨论的问题---就是怎么样从整体上 看待学生能力的发展，我们想就这个问题听听来自一线老师给我们提供的一些案例。 檀老师：从高中数学的教学内容中来看，应该说运算是一个很重要的很核心的一个能力问 题。在这一点上，我们在集体备课过程中，做过从五个模块的整体的梳理，下面请 王肖华 老师给我们简单介绍一下我们梳理的结果。 王：刚才 谭老师已经介绍了，在高中数学学习过程当中，计算能力是学生必须具备的一个 非常重要的能力之一。针对前一学段，我们在必修模块学习过程中，发现学生在计算能力方 面，存在很多问题，具体在以下几大方面，首先是函数部分， 第二是数列部分，第三是不等式，还有向量，立体几何和解析几何部分，下面针对在必修 模块当中，每一部分学生在计算能力方面存在一些问题， 具体简单做一下说明。 首先在必修一模块当中，函数部分，讨论函数的单调性。利用函数单调性的定义来证明函数 单调性，在等价变形过程当中学生存在不知道如何去等价变形，去因式分解，再就是待定 系数法求一元二次函数的解析式，怎么利用初中所学到消元的思想，把三元一次方程组转 化成二元一次方程组，再转化成一元一次方程求解，这个消元的思想，以及解方程的能力 有的同学参差不齐。 第三点是关于求指数函数、对数函数的定义域、值域，及相关计算问题。学生在给定相关的一 元二次方程，如何来利用配方来求最值，如何利用整体代换的思想来求方程 ，以及如何针 对方程当中所隐含的，根据指、对数函数，它的定义隐藏的条件如何 必修二模块当中，利用空间几何部分，空间几何部分主要涉及到计算空间几何体的面积和 体积的问题，这部分主要培养学生也是训练计算能力，在这里涉及到柱、锥、台、球它的面积 和体积问题，在这里如何来借助一些特殊的截面把立体几何图形转化成平面几何图形，尽 而借助于直角三角形的勾股定理来构造方程，进而来求解，这个过程很多同学存在一些问 题，以及如何利用公式中的变量，把变量看作一些未知数， 这是一个等式来列方程，然后 求解，学生存在不同的问题。 在必修四模块当中，基本初等函数三角函数相关问题当中同角三角函数两个基本关系式， ，这两个关系式的应用问题存在很多问题。因为这两个最基本的关系式组合在一起，会形成 一个把 作为一个整体，整体代换的思想在这个前提条件下，会形成二元二次方程组，这一 块如何在利用消元的思想，把二元二次方程转化成一元二次方程求解的问题，化简这一块 就存在很多问题。 第二点，是三角函数诱导公式以及它图象的性质，灵活应用这一块其实存在很多问题，比 如，给定一个关于三角函数的一个函数， ，求这个函数的最大值和最小值，以及在取得最 值的时候自变量 x 值的集合，首先是整体代换的思想，把 sinx作为一个整体未知数，在如 何来进行配方这一块学生存在一定的问题，以及配方完了以后，根据正弦函数本身的特 性--周期性，如何来求自变量 X 的集合，这一块也存在一系列的问题。 第三个问题是三角函数当中，不等式求解的广泛应用，比如求函数的定域，值域，单调区 间，比较大小，以及与三角函数有关的不等式的求解等等很多方面。比如求函数 的定义域 问题，还有求函数 的最值，以及对应的自变量 x的集合，还有求函数 的单调递增区间等等 一系列问题都需要学生都具备不等式求解的能力，以及如何来利用三角函数的性质 --周期 性，来进行相关的求解问题。 在必修五模块当中，解三角形涉及到正余弦定理， 这两个定理的综合应用及乡相互转化边 角之间的相互转换，以及它的实际应用。这里主要是方程，如何把公式当中的变量已知其中 几个，未知几个，是一个方程的问题。 张：知三求二，就是哪些能解，哪些不能解，这里包括很多过去的知识，有一些过去没有 接触过。 王：比如已知两边，及其一边所对的角，利用余弦定理也可以求相应的问题，这个最终都 可以转化成一元二次方程的求解问题，这是在初中的时候学生必须要具备的。 在必修五模块当中第二部分---数列部分。在这部分中方程的思想贯穿着整个数列这一章。因 为数列这一部分的公式特别多 ，公式这里有一个变量，这个变量也是一个方程。比如在等 差数列求和当中，知道了首项，知道了公差，知道了和，求项数的问题，就会转化为一个 关于 n 的 一元二次方程求解的问题。第二方面就是平方差与立方差公式在等比数列当中的 广泛应用。在等比数列当中，很多涉及到高次方程。在高次方程中如何把高次的利用整体的 思想转化成低次的，这里很多需要利用平方差公式和立方差公式进行分解，最后直接或者 间接转化成一元一次方程，或者一元二次方程来求解，因式分解这一块学生存在很多的问 题。再就是等差数列中求最值，依然用到了配方法，也可以利用不等式求最值。在不等式部 分，作差比较，在等价变形的过程中涉及到因式分解，还有配方来确定符号，因式分解和 配方这部分学生也存在一些问题。在遇见二次不等式的求解，尤其是含参数的求定义域等等， 那么对于给定的一个关于 x 的 方程，比如说mx 2-（1- m ） x+m=0 ，涉及到二次项的系数 为一个参数的时候，首先要对这个参数要进行讨论，即分类讨论的思想， 但是他说这个方 程有两个正实根，有的学生对于判别式 与两个正实根之间的关系不太清楚，还有针对根系 关系也不清楚，这个也是初中教学过程当中，教师比较淡化的一点，有的学生不太清楚， 所以存在一些问题。 综合上面的必修一到必修五我们前一学段所学的知识，有联系的一些主要问题有以下三个 方面。首先是配方法，在初高中数学学习过程当中的地位和作用。第二点是学生具备方程的 思想和解方程的能力在高中数学学习当中的重要性。第三点是不等式在高中数学各个模块当 中的地位和作用。针对这三点，我们着重来谈一下我们学校在处理学生具备方程的思想和解 方程能力这一部分，在不同的模块当中所处理的一些具体的情况以及我们的定位。 首先，必修一模块当中，待定系数法求一元二次函数解析式，列方程、解方程组。这个因为 在初中学生具备了消元的思想，但是他们只具备一元二次方程，或者是二元一次方程组的 求解，在解二元一次方程组的时候，学生只知道一个消元的思想 。在这个基础上，在给定 求一元二次函数解析式是一个列完方程组以后是一个三元一次方程组，我们在学生知道消 元思想这个基础上，如果把三元转化成二元，再进行消元思想把二成转化成一元，这一块 继续强化和加深学生对消元思想的理解。 在必修四当中，我们刚才说了同角三角函数两个基本关系式 ，在与这两个基本关系式相关 的问题，通过消元思想继续强化消元思想，在消元过程当中，我们还给学生继续强化了整 体代换的思想，同时在帮助学生处理化简变成一元二次方程这个过程给学生强调了很多， 因为有的学生知道去消元，但是他不知道怎么具体地去消元最后转化成一个与 或者 有关的 一元二次方程。在这个基础上，有的同学在求解这一部分还比较欠缺，在初中有的学生，如 果知道有公式法求解，他会很自然用最基本的方法求解出来，但是学生在因式分解这一块 欠缺，我们在这个基础上，同时给学生强化了用因式分解来求解一元二次方程过程中的解 决问题的能力和方法。 在数列部分也是具体针对等比数列，还有等差数列求和的问题，以 及求某些项的问题，继续为学生强调整体代换的思想，如涉及到一些高次的也可以把高次 的之间存在关系的比如 与 之间存在平方关系，利用整体的思想，可以借助平方差公式来因 式分解， 或者针对 与 之间存在立方差关系和立方和关系，进而来因式分解，把因式分解 这部分给学生强化了，因为学生在在因式分解这一块存在很多问题，最终的问题又转化成 一元一次方程或一元二次方程的求解问题，继续给学生加深和熟练学生的一元二次方程求 解的程度。 在空间几何部分的柱、锥、台、球的面积和体积公式。问题依然是在前面已有的基础上，继续 让学生感觉到方程、方程的思想和解方程的能力在高中数学当中是占有非常重要的地位的， 而且必须要具备这种计算能力，让学生有一个更深刻的理解。 檀：大家都知道， 我们今年所接到是第一批正式使用教材课程标准的学生，在义务教育的 课程标准中，对于以往的大纲体系下的一些运算方面，做了适当的调整。比方立方和、差公 式，再比如说因式分解中十字相乘法等等，在义务教育标准中已经淡化了它的处理。但是我 们经过前期的梳理之后，发现有一些地方还需要用到它。从另一个角度来讲，我们也可以换 一个角度，去用其他的思想，比方去强化学生“元”的意识。就是方程中谁作为元，这种代 换，换元的思想如果从逐步强化的话，我们发现学生还是能够经过几个模块下来之后，对 这部分内容有所重新认识，而且加深他们对于初中方程的一些理解，把他们初中所学习过 的一些方程的解题方法和一些思想进一步提高和深化。 从我们整个五个模块教学下来，感觉到还是不用特别着急，虽然初中在这部分有一定的淡 化，但是高中所用到的东西，学生还具备了一定的能力，只需要我们在随之相应的章节， 有意识地突出和强化，使学生不断地加深对这部分问题的理解，还是能够达到对学生计算 能力有一定的提高。 【主持人】我们特别感谢北京海淀十九中的 王老师、 谭老师给我们带来他们通过我们的必修 模块，对学生运算能力发生的分析和思考， 谢谢两位老师。谢谢。 主持人：我也觉得两位老师提的特别好，我们在基层里面也感觉到， 说句实话，老师对运 算是高度的重视，但是有的时候会产生这样一种认识 ----认为提高计算能力是要靠大量的 练习来实现的，我个人感觉到这里面是不是都对，就是什么强度的练习能够提高，或者是 仅仅凭加大强度不停的进行这种运算是不是能够达到提高运算能力的目的，我也觉得两位 老师提一些您的看法。 张 老师：我觉得对于运算，只靠大量的强度来作题是不够的，也就是说他要有思维，他不 能做了一遍又错，做了一遍又错，甚至养成了一些很不好的习惯，就是要有一个比较好的 一个习惯。比如说 Sinx乘 3， 3一定放在 Sinx的前面，你放在后面，结果就不对了。就是这 样一些不好的情况会造成，另外就要培养学生自信的能力，就是说每一步我要做的踏实， 哪怕开始慢一点，但是我要自信我能作对。那么经过一段时间的积累，有自信就能做得到。 否则的话，养成一个不好的习惯，光靠大量的作题使劲的作题是不行的，当然也要做一些 题，特别对一些基本运算的难点要把握，比如说指数运算，它把乘法变成了加法，这是非 常容易混淆的，所以这一点要特别的关注。有的东西，比如说 这个乘，就比较好做，也不 太容易做错，但是加跟乘的运算就不太好掌握了。就是说抓一些比较容易出错的地方，有针 对性的训练，我个人感觉比较好。 王老师：我同意 张老师的分析，第一件事，就是需要做一定量的练习这是毫不含糊，也需 要做我们在中学阶段通常所说的变式训练，但在变式训练中，一定要抓住最根本的东西， 就是那些不变的东西，不能就变成一种技巧性的展示，实际上我们任何一个变式，都有那 些不变的东西，我觉得这是本质的东西，这是需要关注的第一件事。 第二件事，在做运算的同时，一定要把算理的想清楚，逐渐让这种算理变成一种下意识的 思维，这种符合规律的思维，但是如果没有一定的思考，尤其是在掌握一个新的运算法则 的时候，没有这样的思考，很可能就会出大问题。 张老师：就是开始阶段的问题。 王老师：开始阶段的错误会造成后面很大的摆动。第三个问题，我觉得这是我们一起需要来 考虑的问题，就是学生在哪些地方运算容易出问题，为什么出这些问题，我举一个例子， 比如说符号常常容易出问题，我 和很多老师讨论过这个问题，到底为什么会出这个问题， 那么发现了一个依据，我不知道老师是不是同意，就是在数学里面，一个符号常常只有一 种含义，但是减号它有两种不同的含义，反映在乘法，反映在减法，反映在代数和运算中 我们都需要转化它的含义，这一点是很容易出错误的，另外我们通常所说的移项也容易出 错，我觉得这就是在开始移项阶段对它的算理缺乏一个正确的引导，它算理是什么呢？就 是说在等式的两边，同加同减一个数，等号不变，你才能把等式右边的一项转到左边，实 际上你是通过运算来实现这件事情。所以我觉得这种习惯的形成不是说异号只是一个口诀， 尤其是在我们学生在这佛教出问题的时候，老师应该在算理上给以指导。所以我个人觉得， 这三件事，我们都要关注。 而第三件事，我特别希望我们一起来思考，这样来提高我们整个中国的计算水平，我觉得 这是我们数学教育工作者的一个基本的任务。 主持人：对于运算我们分析完了，跟运算特别接近的上一讲也提到了就是算法，也是与运 算很接近的一件事情，请 张老师帮我们分析一下算法在整个高中课程中的地位和作用。 张老师：算法从这次新课标、从名词来看好像是新增加的，实际上不是，它始终在我们数学 领域一直存在的，从我们在小学就学过，比如最大公约数，还有初中学的像消元法，这些 都是算法， 算法实际上是为完成一件事情有限步的一个通性通法，它要求你、告诉你第一 步怎么做，第二步怎么做，第三步怎么做，什么时候结束这个事做完了，就是这样一个通 性通法，所以就算法本身来说，它始终是整个数学的一个核心，始终贯穿在其中。从我们中 国古代开始，中国的古代没有逻辑论证推理，但是它始终有一种算法这样一种构造行为的 数学。所以对我们数学老师，不应该害怕，实际上我们只是把它提出一个名词来，把我们过 去的引申来做的，而且我们这样整个高中的大量的问题都是有算法的。所以我们在这次高中 课程里，我们绝不是在必修里面，那 12个学时讲算法，我们希望把这样的一个算法思想在 整个高中课程里总结出来。比如说我们讲完了一元二次方程式，就希望把一元二次不等式的 算法给总结出来，讲完线性规划，把线性规划的算法提出来。讲一个点到一个平面的距离的 步骤、算法，要让学生能够在这些表面看起来一个一个个别的问题，总结出通性通法，这是 一个指导思想。所以我们要认识到这样一个构造性的东西，不但是因为计算机的出现，使它 越来越凸显出来，而且在数学里面，始终是一个非常重要的。 王老师：就 张老师这个分析，我非常的同意。上一节课，我们曾经提到，在数学为什么要 讲算法，它的重点是什么，这一点我们上节课已经强调了。 算法实际上有两个组成部分，一个是它本身所需要的理解的一些基本知识，比如算法的基 本思想，算法的基本结构、基本语句，而在这三个基本里面，最关键的是结构，因为结构就 把我们整个解决问题的过程讲的非常的清晰、准确、直观，我觉得这三个词非常的重要，清 晰、准确、直观，因为一个框图，我们看一遍就知道它是解决什么问题的，所以我觉得这是 算法的知识层面。 另外，刚才 张老师反复强调的，算法渗透在对整个数学的认识过程中， 刚才 张老师举了很多的例子 ，我再说的稍微细一点，比如说线性规划的问题，一旦判定一 个问题是线性规划的问题，第一步，确定目标函数，目标函数一般都是 Z=AX+BY+C这种 形式，即用线性的形式表达出来，其中有两个未知数，然后我们要问，这个目标函数的定 义域是什么，用线性规划的语言就是它的约束的条件是什么，尽而我们需要把这个体现规 划问题的约束条件找清楚，第三步要把这些约束条件用二元一次不等式表示出来，构成一 个二元一次不等式组，下面一个步骤我觉得是老师不应该忽视的，要把这个二元一次不等 式组的图、区域定性的勾画出来。这个时候我们就知道，定义在这样一个图形上的目标函数 的极值是取在哪呢？不仅是在边界上，而且是在边界的顶点上，因此第五步，就是要把所 有顶点求来，进而求出这些顶点关于目标函数的函数值，根据题目的要求，第六步得到我 们所要求的最大值最小值，这样几个步骤非常的清晰、准确，我们用框图一旦表示出来，直 观。我想不仅仅是线性规划的问题，任何一个问题我们都应该有这样一个清晰的一种描述， 就把我们在日常教学中强调的所谓算理，表达的我觉得是淋漓尽致，所以我想这个算法本 身，除了它本身的知识重要之外，那么指导思想也很重要。 张老师：算法思想是非常培养人的逻辑思维，把一件事情把一件做法这个程序说清楚，第 一步、第二步、第三步，不丢不落，这是非常好的一个载体。 主持人：是认识数学一个非常好的载体， 也是培养逻辑思维、甚至是包括学生养成梳理知 识的习惯，梳理的合情合理、清楚，都是用算法，可以变成渗透我们整个高中学习过程，或 者教学过程一个指导的方向。 张老师：对，这方面清晰。 王老师：清晰、准确、直观。我补充两个，在我们实验过程中碰到的问题，我想第一个问题， 就是老师的畏惧情绪。很多都选择这个顺序： 14532， 14523，都把算法放最后。其实带来的 难处并不是学生，而是老师，也不是统计概率，而是算法。我觉得大可不必，因为我在多个 实验区开座谈会的时候，几乎老师都给我一个一致的信息，第一遍有点怵，到了第二遍就 觉得没什么问题，他们告诉我的第二个重要信息，学生没问题，问题在老师自己，我觉得 这是在教学中希望给老师参考的一个方面。 第二个方面，切忌切忌不要把算法讲成计数，讲成语言，我们的重中之重是框图、是逻辑、 是算理，这样对我们只有好处没有坏处，如果老师担心，我可以肯定的说，考试是无法考 语言的，因为我们大家学了各种各样的语言，考试到底用什么？也没有统一的要求，除非 专门考计算机，有固定的要求。所以老师千万不要把重点放在语言上面。 张老师：另外也不要在多一步少一步这个细节上去下功夫。 王老师：非常赞成，我要说的第三条，希望我们老师建立一个数量级的概念，这个在分析 的教学中大家都清楚，我们知道 N是无穷大， 2N也是无穷大，我们常常说他们是同级无 穷大，对于算法来说， N+1、 N+5和 N算法的复杂程度是一样的， N和 2N的算法复杂程 度是一样的，所以老师千万不要把教学的主要精力放在减少一步怎么优化一步，没有意义 因为对计算机来说这不算什么事。 张老师：咱们的重点应该是把自然语言描述算法，会用框图语言表示，另外，给一个框图 语言，我们能够读懂它是一个什么样的算法，解决什么问题，这是我们重点。 王老师：当然算法的教学的细节上，我们将来还会介绍一些办法，其实并不是很困难的事 情，所以我希望我们的老师能够树立起教好算法的信心，将来我们在顺序上还要再讲，不 同顺序我们应该关注哪些问题。 主持人：那么算法的主线我们也分析了，下面我们再请 王老师分析一下几何这条主线，大 家也都非常关注几何，好像老师们也觉得新课程中的几何，特别是立体几何跟以前的要求 有一些不同，我们请 王老师把这个做一下分析。 王老师： 我们在上一节谈变化的时候，曾经谈到了这个问题，我现在再重述一遍，几何课 程的设计由两部分组成，第一部分是知识部分，第二部分是能力部分，或者我们叫做观念 部分，这个能力体现在空间的想象力，或者叫几何直观能力，或者叫数形结合能力，我想 我们不去细分他们的差异，那么这两部分都是贯穿在我们整个高中课程中的基本的东西， 下面我先说知识部分。 知识部分，我觉得老师一定要清楚，我们知识部分分了这样三大块， 一块是立体几何，一块是解析几何，一块是向量，这是支撑几何课程的三个基点， 那么老 师又问了，在讲运算的时候讲到向量，你在讲几何的时候又讲向量，我希望我们的老师对 向量有一个完整的认识，向量有两个称号，一个叫向量代数，就是我们在代数里讲的；一 个叫向量几何，就是我们下面要讲的，所以向量是一个独特的数学研究对象。 首先， 立体几何部分，我们把整个课程分成两块，一块叫立体几何初步，一块叫空间向量 与立体几何，支撑空间向量与立体几何的除了立体几何初步之外，还有平面向量，我想这 个结构我们应该清楚 。下面我们就说立体几何初步的定位是什么？ ---它是要培养学生的空 间想象力为主的一个课程载体。我想这个主要定位老师千万不要发生动摇，我们通过这样一 些内容，来支撑这样的一个载体，第一部分就是我们要对空间图形有一个了解，尽而我们 要会画空间图形的直观图，在此基础上我们要建立三视图的概念，这个是在义务教育基础 上的一个深化，在三视图中我们要关注什么问题，我想将来我们再细化，那么紧接着，我 们需要帮助学习建立的是点、线、面的位置关系，这是必修课程的基本的东西，当然还有一 些，体积面积的计算，这个我想不是重点。 关于点、线、面的位置关系，在立体几何初步中，我们希望帮助学生形成两个角度，一个是 从局部到整体，一个是从整体到局部，我们希望长方体这个模型，成为贯穿对于点、线、面 位置关系认识的一个基本图形，这一点是非常重要的，这个图形不仅在高中阶段是基本图 形，在大学学习其他的几何的时候，它仍然是很重要的，仍然是最基本的，特别是正交系 这都是非常基本的图形。有时候我们一说到这些基本的图形，老师就觉得好像是不是把我们 的抽象看低了，绝对不是这个样子，这是我们的知识载体，那么我们要处理好的一个问题 是什么呢？就是我们在立体几何初步对于逻辑推理的要求，做了一定的控制，我们大概有 4个判定定理和 4个性质定理，我们只要求证明性质定理，不要求证明判定定理，我们还 希望在性质定理的证明中，增加更多的空间、图形来支撑它。 张老师：是这样的，我们要知道培养逻辑思维能力，不是几何学单独来培养的，它是所有 的数学课程共同培养的，对几何课来说，它的定位就是掌握空间想象能力，或者把握图形 的能力，这是它的本职工作和核心工作，当然它也和其他的数学一样，培养学生的逻辑思 维能力，现在我们有时候本末倒置了，好像几何就培养人的思维能力，所以我们一定要把 这个定位认识清楚，所以在这里面，一些证明，比如说判定定理证明，我们在后面空间向 量、立体几何还可以处理，在这里面我们更要把握图形，培养学生空间想象能力，这是一个 最核心的问题。 主持人：下面我们再来解释空间向量与立体几何。首先，我们要清楚在立体几何初步里主要 是位置关系，定性的认识位置关系，那么实际上在高中阶段，我们要帮助学生研究的主要 对象有两个，一个是位置关系，一个是度量关系，在这个前提下，我们才谈得上为什么要 用向量讨论这件事情，下面就解释。 最主要的位置关系是两个，一个是平行，一个是垂直，我们很容易就想象得到，利用向量 会给我们带来什么好处，判定垂直就是看这两个平面（要平面就说法向量，要直线就说方 向向量），他们的点乘是不是等于零，另外一个是平行问题，平行问题是共线问题，所以 我们用向量来处理这些问题的给我们带来很大的方便，下面我们再说度量问题。 度量问题一个是我们说的是长度，一个是角度，距离是属于长度的范畴，对于面积和体积 不是中学的重点，到大学我们会专门去讲，如何利用空间向量来求面积、来确定体积，也就 是差乘和混合积的问题，在这儿我们不做重点，那么用什么样的向量语言来刻画长度呢？ 一个是向量自己和自己的点乘，是自己这个向量长度的平方，另一个就是投影，大家特别 注意投影是个数，距离是个正数，因此我们在求投影完了以后要取绝对值，所以 在 的投影， 是指 是与 的单位向量的点乘，然后取绝对值， 这一点就给了我们求长度的中心的部分。 我举一个例子，点到平面的距离，首先我们要确定什么是一个平面，一点、一个方向，或者 一点一个法向量唯一的决定过这一点与这个法向量垂直的平面，因此要确定一个平面，就 意味这你要找到这个平面上的一个点，和一个法向量，那么这样平面外一点，和平面内一 点，就使我们得到了一个新的向量，这是第二件事情，第三件事情，我们要求的距离，恰 恰是这个新的向量在法向量的投影，再取绝对值，四步很清楚，我们把算法就用上了，所 以我们应该清楚，在高中阶段立体几何要研究什么对象，我们怎么样研究它比较好，所以 这一点不但是我们要强调的，而且我们可以负责任的告诉老师，这样的一种研究立体几何 的方法，在大学的学习中被持续，仍然是最基本和最重要的方法，这一点是我们为什么要 在高中用向量处理立体几何问题的基点，所以我想对于这些问题的认识，老师都应该有一 个准确的认识，现在关于这部分教学存在的主要问题是什么呢？就是在学立体几何初步的 时候，老师加入了大量证明的问题，给学生造成了很大的困难，我想从合理性来说，对于 文科的学生是不好的，对理科的学生也是不合适的，所以我们希望老师认真的思考这个问 题，这是我们通常所说的立体几何的内容，下面再说向量的内容。 我们希望老师对向量有一个完整的认识，向量是个代数的东西，所以叫向量代数，可以算。 向量是几何的东西可以帮助我们刻画点、直线和平面，它可以帮助我们去处理几何问题，特 别是位置关系的问题和度量关系的问题，第三，我们还需要认识到，向量有丰富的物理背 景，一旦我们要考虑到向量的应用的时候，我们一定要考虑到在具体的物理情景中，是一 要素的矢量、两要素的矢量、还是三要素的矢量，千万不要搞错，我们千万不能出这样的笑 话，用南京的风速和北京的风速做平行四边形法则这就大错特错了，这是不能合成的，就 是说我们在考虑一个地区的风速的时候，是三要素。所以这些问题都是我们在教学中应该特 别注意的。 下面我要强调的是既然向量代数的内容，又是几何的内容，那么向量就是连接代数和几何 的一座天然的桥梁，我们通常都说数形结合，数形结合要有载体，我觉得向量是最重要的 载体，解析几何也是载体，函数也是载体，因此对于向量这样的认识，对于我们是重要的。 最后一点，希望我们的老师清楚的一件事情是向量为我们构建了一个重要的数学模型，就 是线性空间和线性赋范空间的初步。这在我们将来线性代数的学习中，泛函分析的学习中， 都是非常基础的东西，所以我希望我们的老师，对于向量和向量的应用有一个正确的认识 比如说在平面问题里，向量可以帮助我们解直角三角形，推出余弦定理、正弦定理等等，我 想这些都是我们在教学中需要整体认识的一个内容。 那么第三个方面就是解析几何。 张老师：关于向量我还想补充一点，向量作为几何的一个载体，它的三个不共面的向量构 成了基本的框架，特别是正交的框架，这些我觉得非常有助于我们对几何空间图形的把握。 虽然它是代数的运算，但是绝不是说那些综合几何才能培养这样那样的能力，相反代数这 样一个框架，这样一个结构，在一个复杂图形里面，一旦把这个结构放进去以后，立刻就 能很好的对这个图形的认识。所以好像有人说只有综合的几何才能培养空间想象能力，好像 向量一变成代数了就不是这样了。实际上我觉得向量对我们培养空间想象能力是非常重要的。 王老师：关于解析几何与传统的内容相差不大，只是我们把它分成两个阶段，一个是解析 几何初步，解析几何初步是以圆和直线作为载体来建立解析几何初步思想。那么到了选修 1 和选修 2，我们是以圆锥曲线作为载体，来进一步深化我们解析几何的思想。 我想这一点因 为时间的关系，我们就暂且不谈。 张老师：我还是想说一下，我们还是要突出它的几何的这个地位，我们用代数来解几何问 题， 所以这个容易划出，不能就把它变成一个代数的运算，变成解方程组了，一定要重视 图形的作用。几何图形，除了我们几何有这个作用，在函数图象里面，在各个方面，我们要 贯彻使用，在解析几何就更要体现。 王老师：再说另外一个内容，几何直观的培养，就是空间想象力的培养，就是刚才 张老师 所强调的。空间想象力和几何直观的培养绝不仅仅是几何的任务，是我们数学的任务，因此 用图形说话，帮助学生更好的使用图形语言是我们数学老师的一项根本任务，就像我们重 视符号语言一样，我们必须重视这件事情，把它贯穿在整个学习的自始至终，我想这一点 用通俗的话来表述，就是能画图的就画图，我想引用希尔伯特对于几何直观的一个论述， 当然我是把它通俗化了，就是我们要帮助我们的学生，学会用图形来描述问题，这是第一。 第二，我们要帮助学生学会用图形去发现解决问题的过程。 第三，我们要帮助我们的学生，用图形来帮助学生记忆和理解我们所得到的结果。 我觉得这些都是靠图形来帮助我们揭示数学的本质，我觉得这一点是我们应该特别注意的。 张老师：典型的就是一元二次方程式， 6个图非常直观。 王老师：对。 张老师：利用图形这个解就的非常清楚。 主持人：那么还剩下两条主线，先请 张老师比较简单的描述一下概率统计这条主线，统计 概率，我们更强调统计。 张老师：我想关于统计，就是我们要把握统计是做什么的，统计就是要从数据里面提取信 息。所以统计整个过程就是针对某个问题，如何去搜集数据，如何整理数据，如何从数据里 面提取它的特征和信息。这是我们应该重点把握的，我们特别强调要控制，一定不能把统计 讲成具体图的画法，数据的加减乘除，四则运算， 就是这样一个统计提取信息，这是最关 键的一个问题，我们通过一些案例来讲这个问题，另外要知道数据的样本是随机的，随时 有犯错误的可能，如何来正确认识的问题，这些都是我们关注的。现在统计讲的很没有意思， 好像高考也不怎么考，最近当然有考最小二乘法、回归的。这样套公式的考法就把统计的意 义弄掉了。 主持人：凸显对于提炼数据的信息的作用。 张老师：对。 王老师：我想统计还有一件事情，就是统计的全过程，这个是统计很重要的，我们从什么 是统计问题开始，什么样的问题是统计问题，需要通过搜集数据来解决的问题，我们要有 一个认识，接着如何得到我们所需要的数据，如何整理和处理我们所得到的数据，然后如 何从我们的数据中，提取我们所需要的信息，就是通常我们所说的特征数，特征值，方差 数学期望等，然后在这个基础上，如何用所得到的信息说明问题，我觉得这是很重要的， 那么接着刚才 张老师说的，在统计教学中，需要强调案例教学，不能从抽象的定义出发， 至于考试我想跟老师说一下我个人的想法，我相信将来的考试中，统计题目是会增加的， 它不会让你算什么，而是会让你判断什么，它会看你对于这种判断能力是否到位。 张老师：或者对不同的方法产生的优劣、适用范围。关于概率，我想对于随机现象可能要把 握住一个认识，就是什么是随机现象， 不是任何不确定的现象都是随机现象，随机现象的一个前提是一定可以做重复试验的，而 且条件相同下这个结果也是不确定的。但是每一个结果出现的频率又是稳定的，要把这样的 东西界定清楚，然后，在我们这里面，我特别强调数学模型的作用，什么叫把握数学的规 律，特别在我们现在中学里面，除了古典概率、几何概型外，还讲了二项分布模型和超几何 分布模型， 就是说我们对模型的强调，对它刻画随机规律的强调，现在我觉得，我们有一 些题目生编硬造的味道，本身都不是一个随机现象。另外，现在有一个不好的现象就好象应 用题就是概率题，这个东西都是不是特别正确的，就是说我们要关注对实际问题，一个问 题可以用不同的数学模型来描述，每个模型的优劣，这样的问题才是我们关注的问题。比如 说掷一个色子求出现偶数的概率。你可以认为是一个试验有六个结果，它是六分之三，也可 以认为试验有两个结果，它是二分之一，只要结果是有限的，每一个结果都是等可能的， 都是我们的模型，对这样的问题的关注，对随机现象的关注，比如说中奖率千分之一，买 一千张彩票是不是一定中奖，这才是我们关注的问题，而不是那些排列组合那些什么 计算。 我想把一个实际问题，能找出适当的概率模型来描述，对它能够给出一个合适的解释，我 觉得这是我们应该关注的。 王老师：我同意 张老师说的，概率是两个阶段，一个是必修部分的，一个是选修 2部分， 选修 2只是理科学生要学的，贯穿始终的是随机思想，但是我们强调的重点是模型，在必 修部分两个主要的模型，一种基本的方法：两个模型，一个是古典概型，一个是几何概型 一个基本的方法就是模拟的方法，到了必修 2，我们又要告诉学生两个基本模型，一个二 项式分布模型一个超几何分布模型，对于正态分布模型有一个初步的了解，所以我想这些 结构性的问题，需要注意。 主持人：最后剩一个应用，前面已经讲过了主要的内容， 王老师再给大家讲一讲。 王老师：我想这一节课的时间也比较紧了。关于应用，我想前面我们强调的已经很多了， 我们最后想用这样一些语言来概括一下，我觉得应用有三个层次希望老师在教学中给予关 注： 第一个就是学会用我们所学过的数学描述问题，这就不是限于用图形、用符号、用一个局部 知识来描述问题，而是要用我们所学过的所有的知识，针对这个问题的分析，去描述这个 问题。 第二个是要学会套用我们所学过得数学模型去解决一些具体的问题。 第三个就是在高中阶段，要初步的体会数学建模和数学探究，我们在三年里至少要帮助学 生完整的做一次数学建模和一次数学探究，我觉得老师千万不要小看这件事情，这将会给 学生将来的发展，奠定非常好的基础，所以我想跟老师说数学应用给我们带来的好处 ，将 来我们在数学建模和数学探究中还要再强调，我想是包括能吸引学生喜欢数学，能够更好 的体会数学的价值。 张老师：也非常希望这部分能够提高学生阅读题目、阅读数学的能力，这个也是很重要的一 个能力 王老师：时间关系咱们是不是就放在数学建模和数学探究专门来谈论。 主持人：这一讲我们非常紧凑的分析了五条主线，当然大家会觉得很多内容不是特别的充 分，我们有好多的阅读材料供大家来学习，最后我们也给老师们留了一些思考题，大体上 我梳理了一下。（ +ppt） 比如说第一题，请老师们梳理一下中学数学课程中的函数的结构和脉络，做一个高中阶段 函数内容的教学分析；第二道题是梳理一下中学中的几何的结构和脉络，分析如何发展高 中生的几何直观能力和空间想象能力是；第三个梳理一下，中学课程中的算法的结构和脉 络，分析如何培养高中生的算法意识；第四个，梳理中学课程中运算的结构和脉络，分析 如何能有效的提高学生的运算能力；第五个，是梳理一下，中学课程中的统计概率的结构 和脉络，分析如何培养学生数学应用，如何培养学生的统计观念和应用数据分析这些问题 的意识；第六个分析一下我们中学课程中数学应用这个结构脉络，分析如何培养高中学生 的数学应用意识；第七个，研究一下本校高中生，在初高中过渡方面存在的数学知识、数学 技能、思想方法和学习习惯方面的优势和不足，提出一些自己解决这些问题的一些方案。最 后一个是选择一个概念，或者一种数学思想方法，或者是一个知识单元，或者一种能力培 养的目标，做一个整体的梳理，分析他们在发生、发展、应用过程中的变化，然后来分析一 下如何做高中阶段有效的建立和掌握前面提到的东西。 王老师：我补充一点，就是这个作业老师可以选择一到两个来做，不要都做，可能时间也 来不及，我再对主线做两点说明，第一个，主线与主线之间存在着密切的联系，刚才我们 在分析的过程中，不断的强化这一点，不要把任何一条主线孤立出来；第二个我想我们中 学老师自己也许会有其他关于主线的认识，我觉得这个没有关系，我们并不一定要求大家 一定按照我们的思路去思考高中课程，但是你不能没有主线，你不能没有主要脉络，这一 点请老师务必引起重视。 主持人：这节课就到这里，欢迎大家在下一节课和我们一起来讨论高中数学新课程中的教 学设计问题，谢谢大家的参与！