0 0 类别 : 其他

第十一届“希望杯”数学竞赛初二第二试 一．选择题： 1．－ , － , － , － 这四个数从小到大的排列顺序是（ ）。 （A）－ <－ <－ <－ （B）－ <－ <－ <－ （C）－ <－ <－ <－ （D）－ <－ <－ <－ 2．一个三角形的三条边长分别是a, b, c(a, b, c都是质数)，且a＋b＋c＝16，则这个 三角形的形状是（ ）。 （A）直角三角形（B）等腰三角形（C）等边三角形（D）直角三角形或等腰三角形 3．已知25x=2000, 80y=2000，则 等于（ ）。 （A）2　　 （B）1　　 （C） 　　（D） 4．设a＋b＋c=0, abc>0，则 的值是（ ）。 （A）－3　　 （B）1　　 （C）3或－1　　 （D）－3或1 5．设实数a、b、c满足a<b<c (ac<0)，且|c|<|b|<|a|，则|x－a|＋|x－b|＋|x＋c|的最小 值是（ ）。 （A） （B）|b| （C）c－a （D）―c―a 6．若一个等腰三角形的三条边长均为整数，且周长为10，则底边的长为（ ）。 （A）一切偶数 （B）2或4或6或8 （C）2或 4或 6 （D）2或 4 7．三元方程x＋y＋z＝1999的非负整数解的个数有（ ）。 （A）20001999个 （B）19992000个 （C）2001000个 （D）2001999个 8．如图1，梯形ABCD中，AB//CD，且CD＝3AB，EF//CD，EF将梯形ABCD分成面积相等的 两部分，则AE ：ED等于（ ）。 （A）2 （B） （C） （D） 9．如图2，一个边长分别为3cm、4cm、5cm的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点B重合， 另两个顶点分别在正方形的两条边AD、DC上，那么 这个正方 形的面积是（ ）。 （A） cm2　　　 （B） cm2 （C） cm2　　　 （D） cm2 10．已知p＋q＋r＝9，且 , 则 等于（ ）。 （A）9　　 （B）10　 （C）8　 （D）7 　 二．填空题： 11．化简： =　　　　　　　　　　　　 。 12．已知多项式 2x2＋3xy－2y2－x＋8y－6可以分解为(x＋2y＋m)(2x－y＋n)的形式，那么 的值是　　　　　　 。 13．△ABC中，AB>AC，AD、AE分别是BC边上的中线和∠A的平分线，则AD和 AE的大小关 系是AD　　　 AE。(填“>”、“<”或“＝”) 14．如图3，锐角△ABC中，AD和 CE分别是BC和 AB边上 的高，若AD与 CE所夹的锐角是58°，则∠BAC＋∠BCA 的大小是　　　　　　　 。 15．设a2－b2＝1＋ , b2－c2＝1－ ，则a4＋b4＋c4－a2b2－b2c2－c2a2的值等于　　　 。 16．已知x为实数，且x2＋ =3，则x3＋ 的值是　　　　　 。 17．已知n为正整数，若 是一个既约分数，那么这个分数的值等于　　　　 。 18．如图4，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，∠ACB＝60°，将△ABC折叠，使点B和点C重合， 折痕为DE，则△AEC的面积是　　　　 。 19．已知非负实数a、b、c满足条件：3a＋2b＋c=4, 2a＋b＋3c=5，设S＝5a＋4b＋7c的最 大值为m，最小值为n，则n－m等于　　　　　　 。 20．设a、b、c、d为正整数，且a7＝b6, c3＝d2, c－a＝17，则d－b等于　　　　 。 三．解答题： 21．已知实数a、b满足条件|a－b|＝ <1,化简代数式( － ) ，将结果表示 成只含有字母a的形式。 22．如图5，正方形ABCD中，AB＝ ，点E、F分别在BC、CD上，且∠BAE＝30°，∠DAF＝ 15°，求△AEF的面积。 23．将编号为1，2，3，4，5的五个小球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子中，每个 盒子只放入一个， = 1 * GB3 ① 一共有多少种不同的放法？ = 2 * GB3 ② 若编号为1的球恰好放在了1号盒子中，共有多少种不同的放法？ = 3 * GB3 ③ 若至少有一个球放入了同号的盒子中(即对号放入)，共有多少种不同的放法？ 参考答案 一．选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B B D D C C D A 二．填空题： 题号 11 12 13 14 15 答案 1 － > 122° 5 题号 16 17 18 19 20 答案 ±2 －2 601 三．解答题： 21．∵|a－b|＝ <1， ∴ a、b同号，且a≠0, b≠0, ∴ a－b－1＝(a-b)-1<0, ∴( － ) =( － )[1-(a-b)]= . = 1 * GB3 ① 若 a、b同为正数，由 <1，得a>b， ∴ a-b= , a2－ab=b, 解得b= , ∴( － ) = = (1－ ) 　　　　　　　　　　 =－ · =－ 　　　　　　　　　　 =－ . = 2 * GB3 ② 若 a、b同为负数，由 <1，得b>a， ∴ a-b=－ , a2－ab=－b, 解得b= , ∴( － ) = = (1＋ ) 　　　　　　　　　＝ = 　　　　　　　　　　 = . 综上所述，当a、b同为正数时，原式的结果为－ ；当a、b同为负数时，原式的结 果为 22．将△ADF绕 A点顺时针方向旋转90°到△ABG的 位 置， ∴ AG＝AF，∠GAB＝∠FAD＝15°， ∠GAE＝15°＋30°＝45°， ∠EAF＝90°－(30°＋15°) ＝45°， ∴∠GAE＝∠FAE，又AE＝AE， ∴△AEF≌△AEG， ∴EF＝EG， ∠AEF＝∠AEG＝60°， 在Rt△ABE中，AB＝ ，∠BAE＝30°， ∴∠AEB＝60°，BE＝1， 在Rt△EFC中，∠FEC＝180°－(60°＋60°)＝60°， EC＝BC－BE＝ －1，EF＝2( －1)， ∴EG＝2( －1)，S△AEG＝ EG·AB＝3－ ， ∴S△AEF＝S△AEG＝3－ . 23． = 1 * GB3 ① 将第一个球先放入，有5种不同的的方法，再放第二个球，这时以4 种不同的放法，依此类推，放入第三、四、五个球，分别有3、2、1种放法，所以总共有 5×4×3×2×1＝120种不同的放法。 = 2 * GB3 ② 将 1号球放在1号盒子中，其余的四个球随意放，它们依次有4、3、2、1种不 同的放法，这样共有4×3×2×1＝24种不同的放法。 = 3 * GB3 ③ (解法一) 在这120种放法中，排除掉全部不对号的放法，剩下的就是至少有一个球放入了同号的盒 子中的放法种数。 为研究全部不对号的放法种数的计算法，设A1为只有一个球放入一个盒子，且不对号的放 法种数，显然 A1＝0，A2为只有二个球放入二个盒子，且不对号的放法种数，∴ A2＝1，A3 为只有三个球放入三个盒子，且都不对号的放法种数，A3＝2，……，A n为有n个球放入n 个盒子，且都不对号的放法种数。 下面我们研究 A n+1的计算方法，考虑它与A n及 A n－1的关系， 如果现在有 n个球已经按全部不对号的方法放好，种数为A n。取其中的任意一种，将第n ＋1个球和第n＋1个盒子拿来，将前面n个盒子中的任一盒子(如第m个盒子)中的球(肯定 不是编号为m的球)放入第n＋1个盒子，将第n＋1个球放入刚才空出来的盒子，这样的放 法都是合理的。共有n A n种不同的放法。 但是，在刚才的操作中，忽略了编号为m的球放入第n＋1个盒子中的情况，即还有这样一 种情况，编号为m的球放入第n＋1个盒子中，且编号为n＋1的球放入第m个盒子中，其 余的n－1个球也都不对号。于是又有了nA n－1种情况是合理的。 综上所述得A n＋1＝nA n＋nA n－1＝n(A n＋A n－1). 由 A1=0, A2=1, 得 A3=2(1＋0)=2, A4＝3(2＋1)=9, A5＝4(9＋2)=44. 所以至少有一个球放入了同号的盒子中的放法种数为全部放法的种数减去五个球都不对号 的放法种数，即120－44＝76种。 (解法二) 从五个球中选定一个球，有5种选法，将它放入同号的盒子中 (如将1号球放入1号盒子)， 其余的四个球随意放，有24种放法，这样共有5×24＝120种放法。 但这些放法中有许多种放法是重复的，如将两个球放入同号的盒子中(例如 1号球和 2号球 分别放入 1号盒子、2号盒子中)的放法就计算了两次，这样从总数中应减去两个球放入同 号的盒子中的情况，得120－ ＝120－60(种)。 很明显，这样的计算中，又使得将三个球放入同号的盒子中(例如1号球、2号球和3号球分 别放入1号盒子、2号盒子和3号盒子中)的放法少计算了一次，于是前面的式子中又要加入 ＝20种， 再计算四个球、五个球放入同号盒子的情况，于是再减去四个球放入同号盒子中的情况 ，最后加上五个球放入同号中的情况 。 整个式子为 120－ ＋ － ＋ ＝120－60＋20－5＋1＝76(种)。