排列与组合复习课教案 1
教学目的
(1)通过复习，使学生进一步理解并掌握有关排列组合问题的基本解法，提高分析
问题与解决问题的能力．
(2)通过对典型错误的剖析，使学生克服解题中的“重复”与“遗漏”等常见错误．
教学过程
一、提要
师：今天这节课的内容是“排列组合复习”(在黑板上写出)，要求同学们开动脑
筋，积极思索我所提出的每一个问题．现在，每人先思考如下的问题：
(1)排列组合数计算公式；(2)组合数性质；(3)解排列组合题的一般方法；(4)解排列
组合题应注意的问题．
(学生相互讨论后请一位同学口答．教师边听，边写在黑板上．)
=n！/m！(n－m)！．
(3)方法：分类法、位置法、排除法等．
(4)注意：防止“重复”与“遗漏”．
师：不错！对解排列组合题的方法，我补充两点：
(1)一般方法的选择：问题分成互斥各类，根据加法原理，可用分类法；问题考虑
先后次序，根据乘法原理，可用位置法；问题反面简单明瞭，根据减法原理，可用排
除法．
(2)特殊方法的运用：(1)复杂排列用转化法，先取后排，转化为组合问题，利用
的粘成小组，组内外分别排列；(iii)某些元素必须不在一起的分离排列用间隔法，
无需分离的站好实位，在空位上进行排列．
二、范例
师：有了上述准备，掌握了解决排列组合问题的一般及特殊方法，接下来我们来
解几个范例．
[例 1] 求不同分法的种数：
(1)6人平分为甲、乙、丙 3组；
(2)6人平分为 3组；
(3)6本不同书分给甲、乙、丙 3人，甲 1本，乙 2本，丙 3本；
(4)6本不同书分给甲、乙、丙 3人，一人 1本，一人 2本，一人 3本．
(教师挂出事先写好例 1的小黑板并朗读一遍；要求每一学生看清题意，独立解题，
教师巡视．下面三例作同样处理．)
[这是有层次的组合题，(1)、(2)属均匀分配，(3)、(4)属不均分配，其中(1)、(3)指明
甲、乙、丙，(2)、(4)却未指明．因此各小题都有区别，便于比较．]
师：请同学(班级里中下水平)回答．
师：从这个解答中，说明他对位置法是能掌握的，但要请大家注意：(2)、(4)是否
分别与(1)、(3)一样？是否产生了“重复”、“遗漏”错误？
生：(自动举手要求解答)(2)与(1)不一样，(4)与(3)也不一样．(2)、(4)答案都不对，
分别产生“重复”、“遗漏”错误．
师：说得对！继续说下去，作具体分析．
生：对第(2)小题， 6人平分为 3组；组别指明甲、乙、丙时，分法种数为
分法种数
师：他分析得很透彻！ 我们应当认识到：例 1中是否指明甲、乙、丙是有区别的．
倘不加区别，就会产生“重复”、“遗漏”的错误．这是解排列组合题必须引起高度重
视的问题．现在我将例 1(2)一般化：n人均匀分成m组(n=mk，k∈N)，问分法种数如
何？
师：对！如果 10人分成 3组，一组 4人，另两组都是 3人，如何计算分法种数？
有均匀(两组都是 3人)，又有不均匀(一组 4人)，怎么办？先考虑均匀，还是先考虑不
均匀？
师：很好！你们已理解了不均匀分组的计算，实质是均匀要商除，先考虑不均匀，
剩下的就均匀了．这样，分组问题已经彻底解决了．现在看下面的例题：
[例 2] 数集 A=｛1，2，3，4，5｝，B=｛6，7，8｝，问：
(1)A 到 B的不同映射有几个？
(2)B的每个元素都是像的不同映射有几个？
[把排列组合题与映射结合起来，通过解排列组合题，复习映射的要求——像存在
且唯一．但像可以相同．做到知识串联、“温故知新”．]
师：做好第(1)小题的请举手！(大多数同学举手，请一位同学说出答案．)
生：映射个数是N1=3·3·3·3·3=35 =243(个)．
师：对！
(经巡视，知大多数学生都能用位置法顺利、正确得出例 2(1)结果．第(2)小题请一
中等水平的学生解答．)
生：(分析不出，难于下手．)
师：(启示)6、7、8都是像，五个原像与三个像的对应关系如何？
生：只能是
○○○→□ ○○→□
○→□ 或 ○○→□
○→□ ○→□
(这表明启示奏效．学生们认识到解例 2(2)要用分类法，分成 3、1、1与 2、2、1两
类．)
师：(继续发问)怎样计算每一类映射的个数？它与上题的分组有关系吗？
生：可以将本题转化为一个熟悉的分组问题．因为是映射，像 6、 7、 8可变化顺
序，要再排，还需利用转化法，便得到 B的每个元素都是像的映射个数为
=60+90=150(个)．
[教师的两次发问、启发、诱导，使学生找到了正确的思路与正确的计算方法，难题
化易，学生的分析能力有了提高．因此教师发问必须言之有物，针对性强．]
师：现在请看下一例．
[例 3] 求不同坐法的种数：
(1)6男 2女坐成一排，2女不得相邻；
(2) 4男 4女坐成一排，男女均不得相邻．
师：请同学(中等水平)说出第①小题答案．
师：完全正确！她是用粘合法结合排除法来解的，其解题思路为“先紧密排列，
[教师这样复述是必要的，使学得较差的学生也能看清解题思路，从而做到真正理
解消化．]
师：例 3(1)有没有更简单的方法？2女不得相邻，也就是必须分开，这意味着什
么？
(经教师启发，学生们意识到解决此题无需兜圈子，题意本身就是分离排列，自然
可用间隔法——6男先坐实位，再在七个空位中排列 2女．)
都是正确的．现在请一位同学总结解题方法．
生：解决分离排列的问题可以用粘合法结合排除法，也可直接用间隔法．
师：大家认为这一小结对不对？
生：(大多数)对！
(这个错误小结竟得到学生们的赞同．为了澄清学生的模糊认识，教师可以适当地
将问题变化一下．)
师：例 3(1)改为“5男 3女坐成一排，3女都不得相邻”，问：“两种答案：
生：这两答案分别为 36000、14400，可肯定其中一个是错的．但到底哪一个错？
搞不清！”
师：(继续启发)请注意条件：“3女都不得相邻”的含意．
生：(恍然大悟)前一答案用排除法，排除了都相邻，得到的是“3女不都相邻”的
坐法种数，其中自然包含有 2女相邻的情形，因此把题意理解错了，把不符合条件的
种数也算进去了，导致失误；而间隔法在六个空位中排 3女，保证了 3女都不相邻，
题意理解正确，答案显然也对．解决分离排列的问题应该用间隔法，既直接又不易出
错．
[错误往往是正确的先导，学生提高了认识：解决排列组合问时，要充分重视审题，
充分重视条件中关键词的作用，如“都是”的否定语应是“不都是”，而并非“都不
是”．]
[课内强调用间隔法，而舍去用粘合法结合排除法，不再讨论“后一解法为什么错
了？但如继续做下去，能得出正确结果吗？那个多出来的 21600种排法是怎么一回
事”等等问题．作为老师，备课时就必须找出后一解法错误的原因．这不仅有助于今
后对问题进行分析，而且也可为肯钻研、爱提问的优等生解答此问题时作好准备．
题目要求 3女都不相邻，而后一解法仅仅排除 3女都相邻．“都相邻”并不是
“都不相邻”的反面，“都不相邻”的反面除了“都相邻”之外，还有“两个相邻、另
一个不相邻”．
计算“两个相邻、另一个不相邻”有多少种排法，首先是哪两个相邻？这是组合
这正是前面两解法的两个结果之差．因此，如果在用粘合法结合排除法的基础上
继续做下去，仍能得出正确结果：
师：他知道用间隔法，应肯定；但这一结果正确吗？先坐男的，空位坐女，对吗？
生：不对！这样排法，女的不相邻了，男的就不一定不相邻．
师：那么先坐女的，空位坐男，对吗？
生：同样错的！(都笑了！)
生：(在笑中领悟到)男不得相邻；女也不得相邻；必须男女都坐好，即男坐奇数
位、女坐偶数位，或者对调．
[通过例 3的分析、讨论，学生对较难的分离排列问题与间隔法有了较清楚的认识，
就会有合理的解法．因此例 3设计是成功的，达到了预期的目的．]
师：答得实在好！现在转到最后一例．
[例 4] 直线与圆相离，直线上六点A1、A2、A3、A4、A5、A6，圆上四点 B1、B2、B3、B4，
任两点连成直线，问所得直线最多几条？最少几条？
(请一位中下水平的学生回答第一个问题．)
生：所成直线可分为两类：已知直线上与圆上各取一点或圆上取两点、得到直线
师：有没有遗漏？！
生：漏掉了一条已知直线．直线最多条数应为
(请一位学生回答第二个问题，学生答不出．)
师：(启发)在直线条数最少时，重合的直线最多，需要用排除法减去重合的直线
条数．因此时由已知直线上与圆上各取一点连成的直线已经有重复，而重复的直线即
(例 4涉及到排列组合的最值问题，我在化繁为易的问题上作了些尝试，但很难说
是成功的．因为学生的思维不够流畅，有突兀感．)
三、作业
1．4男 5女排成一行，求排法种数：
(1)甲、乙两人必须排在两头；
(2)男不能相邻；
(3)男女各在一边；
(4)男女必须相间．
2．天平有七个砝码，质量分别为 1、2、4、8、16、32、64克．此天平可称量多少种不
同质量的物体？
3．(1)平面上有十个点，其中四个点共线，其余不再有三个点共线，通过这些点可
确定多少条直线？以其中一点为端点，通过另一点的不同射线有几条？
(2)平面上 n 个点，其中 k个点共线(3≤k≤n)，其余不再有三个点共线，回答与(1)
同样的问题．
4．某班 40人，教室分 5排，每排坐 8人，班中 4人近视需坐第一排，5人高个需
坐末排，共几种坐法．
5．红、黄、绿三色卡片，每色有分别写上字母：A、B、C、D、E的各一张，现从中取
5张，要求字母不同．三色齐备．共多少种取法？
6．由 1、2、…9组成没有重复数字的五位数，从高位到低位依次看作是第
1、2、3、4、5位置．求：
(1)奇数位置上的数字是奇数的五位数有多少个？
(2)奇数必须在奇数位置上的五位数有多少个？
教案说明
1．选择复习课范例的几条原则
对本节排列组合复习课范例的选择遵循四条原则：有层次，便于区别、比较；有方
法，便于选择、运用；有诱错，可供分析、解剖；有经验，可供总结、提高．我觉得一堂
好的数学课(特别是复习课)，范例的设计非常重要，它必须“新”(新颖，以激发兴趣，
如例 2、4)；“广”(广思，以流通思维，如例 3)；“诱”(诱错，可分析解剖，如例
1 )；“深”(深挖，可总结经验，加深理解，如例 1、3)．这样，通过讨论分析，学生的
思维积极、活跃，教师的启发及时得法，时间不知不觉地流逝，数学的内在美感却长留
心头，以致回味无穷．
2．应强调培养学生的能力
古人云：“授人以鱼，只供一饭；教人以渔，终身受用．”这是很有道理、值得人
们深思的．在数学教学中，不能只满足于教给前人总结出来的现成知识，更重要的是
要努力培养学生独立思考、敢于提问题的习惯，发展学生的思维和能力．这节课着重分
析范例，不仅传授给学生一些知识，更重要的是通过诱导、共同剖析，引导学生正确思
维，培养分析问题、解决问题的能力．
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