二项式定理教案
●教学目标
（一）教学知识点
1.二项式定理：
（a+b）n=C 0n an+C 1n an－1b1+…+C rn an－rbr+…+C nn bn（n∈N*）
2.通项公式：
Tr+1=C rn an－rbn（r=0,1,…,n）
（二）能力训练要求
1.理解并掌握二项式定理，从项数、指数、系数、通项几个特征熟记它的展开式.
2.能运用展开式中的通项公式求展开式中的特定项.
（三）德育渗透目标
1.提高学生的归纳推理能力.
2.树立由特殊到一般的归纳意识.
●教学重点
1.二项式定理及结构特征
二项式定理（a+b）n=C 0n an+C 1n an－1b+…+C rn an－rbr+…+C nn bn有以下特征：
（1）展开式共有 n+1项.
（2）字母 a按降幂排列，次数由 n递减到 0；字母 b按升幂排列，次数由 0递增到 n.
（3）各项的系数 C 0n ,C 1n ,C 2n …Cnn称为二项式系数.
2.展开式的通项公式 Tr+1=C rn an－rbr,其中 r=0,1,2,…n表示展开式中第 r+1项.
3.当 a=1,b=x时，（1+x）n=1+C 1n x+C 2n x2+…+C rn xr+…+xn.
●教学难点
1.展开式中某一项的二项式系数与该项的系数区别.
2.通项公式的灵活应用.
●教学方法
启发引导法
●教学过程
Ⅰ.课题导入
［师］在初中，我们学过两个重要公式，即
（a+b）2=a2+2ab+b2;
（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3.
那么，将（a+b）4,以至于（a+b）5,（a+b）6…展开后，它的各项是什么呢？
Ⅱ.讲授新课
［师］不妨，我们来研究一下这两式的特点，看它们的展开式是否有什么规律可循？
不难发现，（a+b）2=a2+2ab+b2=C 02 a2+C 12 ab+C 22 b2
（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3=C 03 a3+C 13 a2b+C 23 ab2+b3.
即，等号右边的展开式的每一项，是从每个括号里任取一个字母的乘积，因而各项的
次数相同.
这样看来，（a+b）4的展开式应有下面形式的各项：a4,a3b,a2b2,ab3,b4.
这些项在展开式中出现的次数，也就是展开式中各项的系数是什么呢？
［生］（讨论）
（a+b）4=（a+b）（a+b）（a+b）（a+b）
在上面 4个括号中：
每个都不取 b的情况有 1种，即 C 04 种，所以 a4的系数是 C 04；
恰有 1个取 b的情况有 C 14 种，所以 a3b的系数是 C 14；
恰有 2个取 b的情况有 C 24 种，所以 a2b2的系数是 C 24 ;
恰有 3个取 b的情况有 C 34 种，所以 ab3的系数是 C 34；
4个都取 b的情况有 C 44 种，所以 b4的系数是 C 44 .
［师］也就是说，（a+b）4=C 04 a4+C 14 a3b+C 24 a2b2+C 34 ab3+C 44 b4.
依此类推，对于任意正整数 n，上面的关系也是成立的.
即：（a+b）n=C 0n an+C 1n an－1b1+…+C rn an－rbr+…+C nn bn（n∈N*）
此公式所表示的定理.我们称为二项式定理，右边的多项式叫做（a+b）n的二项展开式，
它一共有 n+1项，其中各项的系数 C rn （r=0,1,2,…,n）叫做二项式系数.式中的 C rn an－rbr
叫做二项展开式的通项，用 Tr+1表示，即通项为展开式的第 r+1项：
Tr+1=C rn an－rbr.
另外，在二项式定理中，如果设 a=1,b=x,则得到：
（1+x）n=1+C 1n x+C 2n x2+…+C rn xr+…+xn.
［师］下面我们结合几例来熟练此定理.
［例 1］展开（1+ x
1 ）4.
分析：只需设 a=1,b= x
1 ，用二项式定理即可展开.
解：（1+ x
1 ）4=1+C 14 （ x
1 ）+C 24 （ x
1 ）2+C 34 （ x
1 ）3+C 44 （ x
1 ）4
432
14641 xxxx .
［例 2］展开 )12( xx
6.
分析：可先将括号内的式子化简，整理，然后再利用二项式定理.
.1126016024019264
)126415820161532664(1
]C)2(C)2(C)2(C)2(C)2(C)2[(1
)12(1)12()12(:
32
23
23456
3
6
6
5
6
24
6
33
6
42
6
51
6
6
3
6
3
66
xxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxx
xxx
x
xx
解
评述：应注意灵活应用二项式定理.
［例 3］求（x+a）12的展开式中的倒数第 4项.
分析：应先确定其项数，然后再利用通项公式求得.
解：（x+a）12的展开式共有 13项，所以倒数第 4项是它的第 10项，由通项公式得
9333
12
129
121910 220CC axaxaxTT aaa .
［例 4］（1）求（1+2x）7的展开式的第 4项的系数；
（2）求（x－ x
1 ）9的展开式中 x3的系数.
解：（1）（1+2x）7的展开式的第 4项是 T3+1=C 37 ·17－3·（2x）3
=C 37 ·23·x3=35×8x3=280x3.
所以展开式第 4项的系数是 280.
注：（1+2x）7的展开式的第 4项的二项式系数是 C 37 =35.
（2）（x－ x
1 ）9的展开式的通项是 rrrrrr xxx
29
9
9
9 C)1()1(C .
由题意得：9－2r=3,即:r=3
∴x3的系数是（－1）3C 39 =－84.
评述：此类问题一般由通项公式入手分析，要注意系数和二项式系数的概念区别.
Ⅲ.课堂练习
［生］（自练）课本 P107练习 1～6.
1.（p+q）7=p7+7p6q+21p5q2+35p4q3+35p3q4+21p2q5+7pq6+q7.
2.T3=C 26 （2a）4·（3b）2=2160a4b2.
3.T3=C 26（3b）4·（2a）2=4860b4a2.
.2802C;35C.5
.C2
)1()2
1()(C.4
33
7
3
7
3
2
3
3
1
rn
r
nr
r
rrnr
nr xxxT
6.D
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，要掌握二项式定理及其通项公式.
Ⅴ.课后作业
（一）1.课本 P110习题 10.4 2、3.
（二）1.预习：课本 P108～P110.
2.预习提纲
二项式系数有哪些性质？
●板书设计
§10.4.1 二项式定理（一）
二项式定理及其推导过程 例题解析
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