二项式定理应用教案
●教学目标
（一）教学知识点
1.二项式定理及有关概念，公式.
2.二项式系数性质.
（二）能力训练要求
1.了解二项式定理在整除性的判断等方面的应用.
2.掌握解决与二项式定理有关的综合问题的思想方法.
（三）德育渗透目标
1.提高综合素质.
2.培养应用能力.
●教学重点
二项式定理及有关概念，公式的应用.
●教学难点
二项式定理与其他学科知识综合问题的分析与求解.
●教学方法
讲练相结合法.
●教学过程
Ⅰ.复习回顾
二项式定理：（a+b）n=C 0n an+C 1n an－1b1+…+C rn an－rbr+…+C nn bn.
通项公式：Tr+1=C .rrnrn ba .
二项式系数：C rn .
二项式系数性质：C mn =C mnn ，即对称性.
当 n为偶数时，C 2nn 最大.
当 n为奇数时， 21C
n
n
=C 21nn 且最大.
各项系数之和： nnrnnn CCCC 10 =2n.
Ⅱ.讲授新课
［师］请同学们结合例题掌握以上知识.
［例 1］已知（ xx
2 ）n展开式中第五项的系数与第三项的系数比是 10∶1,求展开
式中含 x的项.
分析：先根据已知条件求出二项式的指数 n，然后再求展开式中含 x的项.因为题中条
件和求解部分都涉及指定项问题，故选用通项公式.
2,12
38:
2C
)2()(C
)(38
0245,,C102C:
1
10
2C
2C
2C)2()(C
2C)2()(C:
2
38
8
8
81
2224
22
44
2
6
22222
3
2
12
44444
5
rr
x
xxT
nn
nn
xxxT
xxxT
r
rr
rrr
r
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
令由题意
舍或
得化简即
解
∴展开式中含 x的项为第 3项
T3=C 28 ·22x=112x.
［例 2］如果 1+2C 1n +22C 2n +…+2nC nn =2187
求 C 1n +C 2n +…+C nn 的值.
分析：∵1+2C 1n +22C 2n +…+2nC nn
=C 0n ·1n+2C 1n ·1n－1+22·C 2n ·1n－2+…+2n·C nn
=（1+2）n=3n
解：∵1+2C 1n +22C 2n +…+2nC nn =3n
∴3n=2187=37，∴n=7
∵C 0n + C 1n +C 2n +…+C nn =2n
∴C 1n +C 2n +…+C nn =2n－1
∴原式=C 17 +C 27 +…+C 77 =27－1=127
评述：要注意观察二项式系数的特征.
［例 3］求（1+2x－3x2）5展开式中 x5的系数.
分析：由于三项式的展开式无现成公式，因此应把它转化为二项式的展开式，然后再
求 x5的系数.
解法一：∵（1+2x－3x2）=［1+（2x－3x2）］5
=1+5（2x－3x2）+10（2x－3x2）2+10（2x－3x2）3+5（2x－3x2）4+（2x－3x2）5
=1+5x（2－3x）+10x2（2－3x）2+10x3（2－3x）3+5x4（2－3x）4+x5（2－3x）5
∴x5的系数为上式各项中含 x5的项系数和
即：10C 23 ·21·（－3）2+5C 14 ·23·（－3）1+25=92.
解法二：∵（1+2x－3x2）5=（1－x）5·（1+3x）5
=（1－5x+10x2－10x3+5x4－x5）·（1+15x+90x2+270x3+405x4+243x5）
∴展开式中 x5的系数为 243－5·405+270·10－10·90+5·15－1=92.
Ⅲ.课堂练习
1.求（ 3 xx ）9的展开式中的有理项.
分析：因为只需求出展开式中的有理项，所以可运用通项公式求解.
6
27
9
39
91 C)1()()(C:
r
rrrrr
r xxxT
解
其中 r=0,1,2,…,9
∴由题意得 6
27 r 应为整数
r=0,1,2,…,9
∴经检验，知 r=3和 r=9
∴展开式中的有理项为 .C,84C 33991044394 xxTxxT
2.已知（1－2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,求
（1）a1+a2+…+a7;
（2）a1+a3+a5+a7;
（3）a0+a2+a4+a6.
分析：由（1－2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7对于 x而言是一个恒等式，于是通过 x的取值
可进行求解.
解：（1）∵（1－2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7
令 x=1,得 a0+a1+a2+…+a7=－1
令 x=0得 a0=1
∴a0+a1+a2+…+a7=－2
（2）令 x=－1,得 a0－a1+a2－a3+…+a6－a7=37=2187
由上式得
a1+a3+a5+a7=1094
a0+a2+a4+a6=1093
评述：在解决与系数有关的问题时，常用“赋值法”，这种方法是一种重要的数学思
想方法.
Ⅳ.课时小结
应熟练掌握二项式定理及有关公式、性质的应用 .基本掌握解决与此有关的问题的思想
方法.
Ⅴ.课后作业
课本 P111习题 10.4 7、9、10.
●板书设计
§10.4.3 二项式定理应用
例题讲解 复习回顾
课时小结
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