0 0 类别 : 教案

组合(四) 【教材】组合 【目的】1.对排列组合的知识有一个系统的了解,从而进一步掌握. 2.掌握排列组合的一些常见模型及解题方法. 3.能运用排列组合概念及两个原理解决排列组合的综合题. 【过程】： 一、复习引入 复习有关排列组合的知识点 二、新课 例1 某车间有 9名工人,其中 4名钳工,5名车工,现从中选出 3名工人组成维修突 击队,要求这个突击队中至少有1名钳工,有多少种不同的选法? 分析:由于选出的3名工人之间无顺序要求,所以是组合问题. 若选出的3人中有1名钳工,有 2514CC 种选法;若选出的3人中有2名钳工,有 1 5 2 4CC 种选法;若选出的3人中有 3名钳工,有 0534CC 种选法,由分类计数原 理得,共有 2514CC + 1524CC + 0534CC =74种不同的选法. 另解:从 9名工人中选出3名工人,有 39C 种选法,其中含“选出的3名工人全 是车工”的情况有 35C 种,则“至少有1名钳工”的选法数为 39C - 35C =74种. 例 2 将 4本不同的书按下列方法,有多少种不同的分法? (1)平均分成2组; (2)分成2组,一组1本,一组3本; (3)分给甲乙两人,各得2本; (4)甲得1本,乙得3本; (5)1人得1本,1人得3本. 分析(1)设这4本不同的书为a,b,c,d,选出2本,再从余下的2本中取2本的方法有 2 2 2 4CC =6 种 . 写 出 来 有 ① ab,cd;②ac,bd;③ad,bc;④bc,ad;⑤bd,ac;⑥cd,ab. 作 为 分 组 ① ⑥;②⑤;③④只能看作一个分法无顺序,即 2224CC 中每 22A 只能算一种分 法,所以分组数为 2 2 2 2 2 4 A CC =3. (2) 先 取 1 本 为 1 组 , 余 下 3 本 为 另 一 组 , 写 出 来 ① a,bcd;②b,acd;③c,abd;④d,abc.因取数不同无法交换,故分组的方法 有 3314CC =4种. (3)甲得 ab,乙得 cd,与甲得 cd然后乙得 ab是不同的分法,有顺序.先让甲取 (也可先让乙取),余下乙取,有 2224CC =6种. (4)有顺序,让甲先取,乙再取有 3314CC =4种. (5)由于1人得1本时,甲可以得1本,乙也可以得1本,故有 223314 ACC =8种. 指出:在处理“分组问题”时,应特别注意“均匀分组”和“非均匀分组”.所谓 “均匀分组”,是指分出的各组元素的个数相等,此时,在计算方法数时,总数 应除以“r!”(其中r是“均匀分组”的组数).例如,将 3n个元素平均分成3 组,每组n个元素的分法数应为 !3 23 n n n n n n CCC .此例为分组与平均分组问题,关 键是弄清组与组之间有顺序还是无顺序,这样才会明白什么情况下要除?什么 情况下要乘?什么情况下不乘不除? 例3 把 5名学生插入4个班级,每个班至少插入1人,有多少种不同的分配分法? 分析:5名学生插入 4个班级,每班至少插入 1人,必然有 1个班级要插入 2人.先将 5人分成4组,各组分别有2人,1人,1人,1人,再将这4个组分到4个班级去. 先将 5人分成 4组,人数分别为 2人,1人,1人,1人,有 !3 1 1 1 2 1 3 2 5 CCCC 种方法, 再将这 4个组分派到 4个班级去,有 44A 种分配方法,有分步计数原理共有 !3 1 1 1 2 1 3 2 5 CCCC 4 4A =240种不同的分配方法. 另解:先确定 4个班级中有1个班级接收2人,有 14C 种方法,接收2人的班级 从 5人中选 2人,有 25C 种选法,余下的 3人进行全排列,有 33A 种方法,由分 步计数原理共有 14C 25C 33A =240种不同的方法. 指出:要防止产生如下错误:先从5人中选出4人分配到4个班级去,有 45A 种方法, 余下的 1人可以 4个班级中的任何一个,有 14C 种可能性,故有 45A 14C =480 种不同的分配方法.事实上,这样做会出现重复:例如第一步从 a,b,c,d,e5人 中选出 a,b,c,d 分别去 1～4班,第二步 e去了 1班,则 1班接收了 a与 e,2班 接收了 b,3 班接收了 c,4 班接收了 d;若第一步从 a,b,c,d,e5 人中选出 e,b,c,d 分别去 1～4班,第二步 a去了 1班,则 1班也接收了 a与 e,2班接收 了b,3班接收了c,4班接收了d,显然这两种情况是同一种结果. 例4 6名新教师全部分配给4所学校,每校至少1人,共有多少种不同的分配方案? 分析:6名教师全部分配给 4所学校,每校至少 1人,可以考虑把“完成这件事”分 为两步:第一步,先将6名教师分成4组:人数分别为3,1,1,1或 2,2,1,1;第二 步,把这4组分配到4所学校去,相当于这4组进行全排列. 第一步,将6名教师分成4组,每组至少1人.若四组的人数分别为3,1,1,1,分 组方法有 !3 1 1 1 2 1 3 3 6 CCCC 种;若四组的人数分别为 2,2,1,1,分组方法有 !2!2 1 1 1 2 2 4 2 6 CCCC 种,有分类计数原理,分组方法有( !3 1 1 1 2 1 3 3 6 CCCC + !2!2 1 1 1 2 2 4 2 6 CCCC )种.第二步,将这4组分配到4所学校去,有 44A 种分配方案.根据分步计数原 理可得分配方案的总数为( !3 1 1 1 2 1 3 3 6 CCCC + !2!2 1 1 1 2 2 4 2 6 CCCC ) 44A =1560种. 指出:按“完成一件事”各种可能发生的可能性进行“分类”,以及在每一类中按 事件发生的过程去“分步”,是解决排列组合问题的基本方法.遇有分组问题 时,应注意分清是“均匀分组”还是“非均匀分组”. 例5 从 5双不同的鞋子中任取4只. (1)取出的4只鞋子恰好配成2双,有多少种不同的取法? (2)取出的4只鞋子至少能配成1双,有多少种不同的取法? (3)取出的4只鞋子,任何2只都不能配成1双,有多少种不同的取法? 分析(1)共有 25C =10种不同的取法. (2)分 2类.第 1类,取出的4只鞋子恰好配成2双,有 25C 种取法.第 2类,取出 的 4只鞋子有且只有2只能配成1双,分 2步完成:从 5双鞋子中任取1双,有 1 5C 种不同的取法;第 2步,从剩下的 4双中任取 2双,有 24C 种取法,而这每 双中又各取 1只,有 1212CC 种取法,所以这 1步共有 15C 24C 1212CC 种取法. 由分类计数原理,共有 25C + 15C 24C 1212CC =130种不同的取法. (3)分 2步.第 1步.从 5双不同的鞋子中任取4双,有 45C 种不同的取法.第 2步, 从取出的4双的每1双中任取1只,则有 412 )(C 种不同的取法.根据分步计数 原理,所求的取法数为 45C 412 )(C =80种. 例 6 有 11名工人,其中 5人会钳工,4人会车工,2人既会钳工,又会车工,现从中选 出4名钳工,4名车工,共有多少种选派方案? 法一:以双能工人为标准进行分类: (1)若 2个双能工人均步选出,有 4445CC 种; (2)若 2个双能工人选1人为钳工,有 443512 CCC 种; (3)若 2个双能工人选1人为车工,有 344512 CCC 种; (4)若 2个双能工人全选为钳工,有 442522 CCC 种; (5)若 2个双能工人全选为车工,有 244522 CCC 种; (6)若 2个双能工人1人选为钳工,1人选为车工,有 34113512 CCCC 种 故所求的选派方案总数为 4 4 4 5CC + 443512 CCC + 344512 CCC + 442522 CCC + 244522 CCC + 34113512 CCCC =185 种. 法二:以钳工为标准进行分类,可分为 3大类:钳工选出4人;钳工选出 3人;钳工选 出2人. (1)当钳工选出4人时,若双能工人不选入有 4445CC ;若双能工人选入1人,有 3 4 1 2 4 5 CCC 种;若两个双能工人全选入,有 242245 CCC 种. (2)当钳工选出3人时,若 2个双能工人选入1人,有 441235 CCC 种;若两个双能 工人全选入,有 11341235 CCCC 种. (3)当钳工选出2人时,这时双能工人只能作为钳工,选法有 442225 CCC 种. 故选派方案的总数为 ( 4445CC + 341245 CCC + 242245 CCC )+( 441235 CCC + 11341235 CCCC )+ 442225 CCC =185种. 法三:以车工为标准进行分类,可分为 3大类:车工全选出;车工选出 3人;车工选出 2人. (1)当车工全选出时,若双能工人不选入有 4544CC ;若双能工人选入 1人,有 3 5 1 2 4 4 CCC 种;若两个双能工人全选入,有 252244 CCC 种. (2)当车工选出3人时,若2个双能工人选入1人,有 451234 CCC 种;若两个双能 工人全选入,有 11351234 CCCC 种. (3)当车工选出2人时,这时双能工人只能全作为车工,选法有 452224 CCC 种. 故选派方案的总数为 ( 4544CC + 351244 CCC + 252244 CCC )+( 451234 CCC + 11351234 CCCC )+ 452224 CCC =185种. 指出:此题用分类合成法,为了不重复,不遗漏,进行分类时要认准一个标准,以避免 多标准造成顾此失彼的错误. 三、小结: 四、作业:教材第104页 习题第12、13题.