0 0 类别 : 教案

抛物线及其标准方程教案 1．在“拉线画抛物线”的基础上，提出抛物线的定义，然后推导抛物线的标准方程． （1）在推导标准方程之前，首先让学生考虑怎样建立坐标系？由定义可知直线 KF是 曲线的对称轴，所以把 KF作为 x轴可以使方程不会出现 y的一次项，因线段 KF的中点适 合条件，即它在抛物线上，所以以 KF的中点为原点，方程中就不会出现常数项，这样建 立坐标系，得出的方程比较简单． （2）设焦点到准线的距离｜KF｜＝p（p＞0），这是抛物线方程中参数 p的几何意义． 因为抛物线的顶点是 KF的中点，所以知道了 p，焦点 F（ 2 p ，0），准线 2 px  都可以 确定了．由于抛物线的标准方程中只有一个参数 p，所以只需一个条件，就可以求出抛物 线的标准方程． （3）由于 p是抛物线的焦点到准线的距离，所以 p永远大于零．这点必须向学生强调． 以防止以后设错标准形式，而出现 p为负值的错误． 2．如果选取坐标系使得抛物线的顶点在原点，对称轴和一条坐标轴重合，那么随着焦 点在 x轴或 y轴的正半轴或负半轴的不同情况，会得到四种不同的抛物线的标准方程：y2＝ 2px，y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py（p＞0）．由 y2＝2px的焦点坐标、准线方程和图形， 用类比的方法得到 y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py的焦点坐标、准线方程和图形（见课本中 的表）． （1）教学中要通过例题阐明：y2＝2px的焦点坐标 F（ 2 p ,0），准线方程 2 px  中， 2 p 是 2p的 4 1 （其它三种标准形式也是这样），如：y2＝6x中，2p＝6， 2 3 4 6 2  p ．所 以焦点坐标是 F（ 2 3 ，0），准线方程是 2 3x ． （2）标准方程有四种形式，要防止如下错误：求过点 A（－2，6）的抛物线的标准方 程时，设抛物线标准方程为 y2＝2px，把 x＝－2，y＝6代入得 p＝－9．所以，抛物线的标 准方程为 y2＝－18x，结果错了，原因是标准方程的设定不全面，正确的思路是根据条件画 出示意图，从而确定所求抛物线方程分别为 x2＝2py（p＞0）或 y2＝－2px（p＞0）．将 A（－2，6）分别代入 yx 3 42  或 y2＝－18x．在设所求方程时，最好用标准方程，此时 注意 p＞0． 3．画图时，注意不要把抛物线画成是双曲线的一支，双曲线有渐近线，而抛物线没有 渐近线，当抛物线上点趋向于无穷远时，曲线接近于和轴平行． 4．平面内到定点 F和定直线 l的距离之比等于常数 e，当 0＜e＜1时，轨迹为椭圆； 当 e＝1时，轨迹为抛物线；当 e＞1时，轨迹为双曲线．这就是圆锥曲线的统一定义．