|ax+b|＜c，|ax+b|＞c(c＞0)型不等式教案
教学目标
1．通过对|ax+b|＜c，|ax+b|＞c(c＞0)型不等式的教学，学
生不仅要掌握其解法，更要抓住其化归转化的基本思想及解题过
程中的等价关系．注重对学生思维能力的培养，提高解题能力．
2．教学中加强学生对|x－a|＜b，|x－a|＞b(b＞0)型不等式
直观意义的理解，培养学生数形结合的能力．
教学重点与难点
教学重点是|ax+b|＜c，|ax+b|＞c(c＞0)型不等式的解法和
对其解集的直观意义的理解．难点是求解过程中的等价关系．
教学过程设计
一、复习提问及揭示课题
师：在初中，我们学过一元一次不等式及一元一次不等式组．
下面请同学们解不等式
并注明每步的依据．(要求学生写在课堂练习本上．)
师：通过此题的求解，请说出解不等式的主要依据及依据的
内容．
生：主要依据是不等式的基本性质，它的内容是：(1)不等式
两边都加上同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；(2)不等
式两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变；(3)不等式两边都
乘以同一个负数，不等号的方向改变．
师：在初中，我们还学过实数的绝对值，那么|a|的意义是什
么？
(学生口述，老师在黑板上给出符号表示，即
同时要求学生说出其几何意义，即|a|表示数a在数轴上对应
的点到原点的距离．)
师：请同学回答下列问题：(出示小黑板，由学生口述，教师
板书．)
(1)当 x______时，|2x－3|=2x－3；
(2)若|2x－3|=3－2x，则x_______；
(3)若|2x－3|=1，则x=______，并说明其几何意义．
(在说明|2x－3|=1的几何意义时，教师可先引导学生画数轴，
标出P(1)，P(2)
|2x－3|=1的几何意义是：数轴上表示数x的点P(x)(其中
P(x)=P(1)或 P(x)=P(2))到表
师：我们若将|2x－3|=1中的“=”号改为“＜”或“＞”号，
则这时x又将为何值呢？|2x－3|＜1或|2x－3|＞1的几何意义又
是什么呢？这就是我们今天要学习的内容．
(板书课题：|ax+b|＜c，|ax+b|＞c(c＞0)型不等式)
三、讲述新课
1．|x|＜a，|x|＞a(a＞0)型不等式．
师：为了寻找|ax+b|＜c，|ax+b|＞c型不等式的解法，我们
先从寻找最简单的不等式|x|＜a，|x|＞a的解法入手．看下面具
体例题．(板书)
例 解不等式|x|＜2．
师：请谈你的想法．
生：我考虑要先去掉绝对值符号．
师：怎样去掉绝对值符号，绝对值符号去掉后，不等式|x|＜
2将转化成怎样的不等式？请同学自己动笔试着写写．
(教师巡视，主要看第一步的逻辑表述是否等价(同解)，这是
一个难点，应使学生特别注意这一点．可分别将学生中书写正确
的，或带有问题的做实物投影，给出分析指导．)
不等式组(2)的解．
因为，满足不等式组(1)，即满足0≤x＜2的任意x的值，都
是原不等式|x|＜2的解；满足不等式组(2)，即满足－2＜x＜0的
任意x的值，也都是原不等式|x|＜2的解，所以|x|＜2的解集等
于不等式0≤x＜2与不等式－2＜x＜0的解集的并，即|x|＜2的
解集为
{x|0≤x＜2}∪{x|－2＜x＜0}={x|－2＜x＜2}．
(板书)
所以，原不等式的解集为{x|－2＜x＜2}．
(如果两个不等式的解集相等，那么这两个不等式叫做同解不
等式．一个不等式变形为另一个不等式时，如果这两个不等式是
同解不等式，那么这种变形叫做不等式
师：请同学将|x|＜2的解集在数轴上表示出，并试着解释其
几何意义．
生：|x|＜2的几何意义为表示数x的点到原点的距离小于
2，从数轴(图 2)可看出，表示|x|＜2的解集的线段(端点除外)，
就是数轴上到原点的距离小于2的所有点的集合．
师：若上述解不等式|x|＜2，改为解不等式|x|＞2，你能很
快求出解集，并在数轴上表示出来吗？
(学生基本都能得到正确答案，教师可根据学生实际情况略做
说明，或选学生所做的情况进行一下实物投影．)
师：通过解不等式|x|＜2，|x|＞2，你能总结归纳出规律吗？
请同学完成下列表格：
(做成投影幻灯片，或抄写在小黑板上，让学生完成在笔记本
上．)
2．|ax+b|＜c，|ax+b|＞c(c＞0)型不等式
师：现在我们来解不等式|2x－3|＜1．请问哪位同学有解决
的办法？
＜a，即可解决．
(分别由这两位学生板演，要求写出每步依据．)
解法1 |2x－3|＜1
所以，原不等式的解集为{x|1＜x＜2}．
解法2 |2x－3|＜1
所以，原不等式的解集为{x|1＜x＜2}．
师：请同学们把解集在数轴上表示出来(图4)．
对照此图，说说|2x－3|＜1的解集的几何意义．
生：|2x－3|＜1的解集的几何意义是：|2x－3|＜1的解集在
数轴上对应的是数
线段上所有的点(端点除外)．
师：若将解不等式|2x－3|＜1改为解不等式|2x－3|≥1呢？
请同学们自己写在笔记本上．
师：现在我们一起回顾一下解不等式|2x－3|＜1的思路．
第一种，将2x－3看成整体，化归转化成|x|＜a或|x|＞a的
形式；
第二种，利用绝对值的定义，去掉绝对值符号，转化成一元
一次不等式或一元一次不等式组．
第三种，利用两数差的绝对值的几何意义，借助数轴的直观，
得到不等式的解集．但此种方法不适用于解答题，是解答选择填
空题的捷径．
师：上述三种思路方法，对一般的|ax+b|＜c，|ax+b|＞c(c
＞0)型不等式适用吗？若适用，试写出每种方法的第一步．
(可将下列解法1，解法2，解法3写在投影幻灯片上，待学
生写一会儿后打出投影，再做进一步强调和说明．)
解法3 先将不等式变形为：
再画数轴用直观表示的方法解之．
师：解法1主要体现化归转化的思想，解题较简捷；解法2
体现了解绝对值不等式的一般思路方法，具有指导性；解法3应
用的是两数差的绝对值的几何意义，但要注意找好中心点和距离．
下面我们举几个例题．
例1 解不等式|2－3x|＞7．
(学生口述．老师板书．)
解 |2－3x|＞7
(先由学生谈谈自己的解法思路，选择较有代表性的解法让学
生板演．)
例3 解不等式|x+2|+|x－1|＜5．
师：观察不等式形式特征，你对解此不等式有何思考？
生甲：这个不等式的形式是两个绝对值的和小于 5，所以不
能直接套用|ax+b|＜c或|ax+b|＞c的公式形式，我想还是用绝对
值的定义，去掉绝对值符号来解．
生乙：|x+2|+|x－1|＜5的几何意义是不是就是：到－2那点
与到1那点的距离和小于 5的点集，我想画数轴直接找出解集．
(按两位同学提供的思路方法，先让学生自己动笔解．老师巡
视，主要看看代数方法第一步，几何方法中的数的表示，然后根
据实际情况引导．)
师：同学请注意，这里 x的取值全集是实数集 R．要想去掉|
x+2|中的绝对值符号，就要看x是小于－2还是大于－2；要想去
掉|x－1|中的绝对值符号，就要看x是小于1还是大于1．这样，－
2，1这两个数将x取值全集 R分成(－∞，－2)，[－2，1]，(1，+∞)
三个子集．由于x在每个子区间上都可能取值，故原不等式
|x+2|+|x－1|＜5
(以下步骤学生自己完成，最后给出答案，原不等式的解集为{x|－
3＜x＜－2}∪{x|－2≤x≤1}∪{x|1＜x＜2}={x|－3＜x＜2}．)
师：刚才×××同学已给出了|x+2|+|x－1|＜5的几何意义，那么，
同学先在数轴上标出与数－2，1所对应的点P(－2)，P(1)，然后找出
P(－2)，P(1)两点距离之和是 5的点．一个是数－3对应的点P(－3)，
一个是数2对应的点P(2)则线段 P(－3)P(－2)(除去端点)上的所有点
到 p(－2)，P(1)的距离和都小于 5．所以原不等式解集为{x|－3＜x＜
2}，如图5．
3．小结
师：今天这节课的重点是掌握解含绝对值符号的不等式的思路方法，
而正确求得解集的关键是求解变化过程的等价变形．具体解|ax+b|＜
c，|ax+b|＞c(c＞0)型不等式，要根据不等式的形式特征决定采取我们
前面总结的三种方法中的某一种，要注意，第三种方法适用于选择填空
题，不能作为解答的说理过程．
四、作业
1．课本P26～P27习题二第2．(2)，(4)；3．(3)，(4)题．
2．补充题
(1)若|x+1|+|x－2|＞3，则x的取值范围是________．
(2)不等式 4＜|3x－5|＜7的解集是________．
(3)若|x－3|＜a的解集为{x|2＜x＜4}，则a的取值是_______．
课堂教学设计说明
1．|ax+b|＜c，|ax+b|＞c(c＞0)型不等式这节课的教学，是在学
生上初中时学过的一元一次不等式及绝对值概念的基础上进行的．因此
在教学中，我们各通过一道练习题，复习有关的知识和方法，这为学生
学习最简的|x|＜a，|x|＞a(a＞0)的不等式做了铺垫．学生有了|x|＜
a，|x|＞a(a＞0)的解法后，通过换元转化的思想，得到|ax+b|＜c，|
ax+b|＞c(c＞0)的解法．也可按一般思路方法去掉绝对值符号，转化成
一元一次不等式或一元一次不等式组．这部分题不宜增加对字母系数的
讨论，因为初中学生对分类讨论没有什么接触，这又是学生的一个难点，
难点不宜集中，而且解不等式的内容高二还要继续学习，故例题只到例
3、例 4的难度．
2．教学的整个过程，主要想体现对思维和方法的落实上．思维上，
就是让学生落实在“转化”二字上；方法上，就是让学生落实两种方法，
第一种方法是通过绝对值的意义去掉绝对值符号，使|ax+b|＜c，|
ax+b|＞c(c＞0)型不等式转化成一元一次不等式或一元一次不等式组，
第二种方法是通过换无法使|ax+b|＜c，|ax+b|＞c(c＞0)型不等式转化
成最简单的|x|＜a，|x|＞a(a＞0)型不等式．
第一种方法是解绝对值不等式的最一般的方法，为了加以重视，教
学过程中写出了解不等式|2x－3|＜1的解法2，补充了例题3，目的是
加强一般方法的使用．
对例3再说明一点，对x取值情况分成(－∞，－2)，[－2，1]，
(1，+∞)三部分时，就按|x+2|，|x－1|的意义说，这里虽然渗透了对x
取值全集的分类讨论，但这节课上不讲分类讨论这个词，避免难点过多，
扰乱学生思维．
3．为了加强学生对|x－a|＜b，|x－a|＞b(b＞0)的不等式的解集
的直观意义的认识，在绝对值知识的复习中有意识地问了一下|2x－3|
=1的几何意义，这对学生思考|x－a|＜b，|x－a|＞b(b＞0)的几何意义
起到了引导作用．学生通过对几何直观意义的理解，不仅能提高解选择
填空题的速度，而且有助寻找解题思路，提高数形结合的能力．
4．对不等式解题过程的书写，采用等价变形的逻辑形式．这主要
是，要求学生思考前后两个不等式的关系，每一步都要保证同解，最后
求得的解集才是原不等式的解集．不等式的等价变形是贯穿整个解不等
式的一个难点，因此在引例和例题分析中
进行书写，特别是第一步的等价变形，它体现着学生的理解能力，
思维能力及逻辑性．
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