线段的定比分点教案
教学目的：
(1)理解线段的定比分点的概念，掌握定比分点公式及中点公式的应用。
(2)培养学生思维的深刻性与灵活性，提高分析和解决问题的能力。
重点：
线段定比分点公式及其应用。
难点：
理解定比分点的概念，掌握定比分点公式的应用。
教法：引导、启发
教具：三角板、投影仪
(一)引入
问题：(1)设 P是 P1P2的中点，P1(x1,y1),P2(x2,y2)如何求P点的坐标。
(2)如图，P是 P1P2的三等分点，已知 P1(x1,y1),P2(x2,y2)能否求出 P点的坐
标？怎么求？
(3)设 P是直线P1P2上的点，已知P1(x1,y1),P2(x2,y2)，在什么条件下可求出
P点的坐标？
归纳：求P点的坐标，关键
(1)中 ;21 pppp (2)中 ;2
1
21 pppp (3)中的条件：知道 21 pppp ，
其中λ的值。
(二)新课
1、 线段的定比分点的概念。
定义：设 P1P2是直线 l 上两点，P 是 l 上不同于 P1P2的任意一点，若
21 pppp ，则称λ叫点 P分有向线段 21 pp 所成的比，点 P叫线段 21 pp 的
定比分点。
分析：想想，给定P1P2，P在l上可能的位置有几种？（3种）
(1)若 P在线段 21 pp 上，则λ>0,且 ||
||
2
1
pp
PP ；
(2)若 P在线段 21 pp 的延长线或反向延长线上，
则λ<0,且 ||
||
2
1
pp
PP ；
探讨：P 在 21 pp 的延长线上，λ值的范围？
（λ<-1）
P在 21 pp 的反向延长线上，λ值的范围？（-1<λ<0）
想想：λ值能否取到-1？为什么？（此时P1,P2重合，与题意不符）
说明：(1)只要三点P1、P2、P共线，则可以定义P分 21 pp 的比。
(2)若 P点位置确定，则λ值可由| pp1 |，| 2PP |确定。
(3)P分 pp1 的比，与P分 21 pp 的比一般不同。
2、 导出线段的定比分点公式
设P1(x1,y1)、P2(x2,y2)、P(x,y)，P分 21 pp 的比为λ，试用P1、P2的坐标，表
示P的坐标。
学生完成。
教师讲评：由定义 pp1 =λ 2PP
∴(x-x1,y-y1)=λ(x2-x,y2-y)
即 (x-x1,y-y1)=(λ(x2-x),λ(y2-y))
)(
)(
21
22
yyyy
xxxx
1
1
21
21
yyy
xxx
(-1)
3、 线段的定比分点公式。
设P1(x1,y1)、P2(x2,y2)、P(x,y)，P分 21 pp 的比为λ，则
1
1
21
21
yyy
xxx
(-1) *
称*叫 P分有向线段 21 pp 的定比分点坐标公式。
指出：
(1)公式的意义：已知P1、P2的坐标及P分 21 pp 的比λ，求P的坐标。
(2)公式的结构：（略）
(3)公式成立的条件：-1
(4)公式的特例：=1 得中点公式。
4、 公式的应用
例1：已知两点P1(3,2)、P2(-8,3)求 P( 2
1 ,y)分 21 pp 的比λ及y的值。
分析与解答（略）
前2条：由定比分点公式可得① xx
xx
2
1 ② yy
yy
2
1
总结：求λ的方法①用定义 ②用公式。
练习1：如图，求B分 AC，B分CA的比；求C为 AB，A分BC 比。
练习2：已知A(1,-1),B(-4,5), 半线段 AB 延长到 C，使|AC|=3|AB|，求 C
的坐标。
小结：本节学习的主要内容是线段的定比分点公式。
(1)若 P与 P1P2共线， 21 PPPP ，则λ叫P分 21PP 的比。
(2)若 P是 21PP 的定比分点，且P1P2的坐标已知，需先求P分 21PP 的比λ
才能求出P的坐标。
(3)求λ的方法 ①定义法 ②公式法
(4)中点公式是定比分点公式的特例，应用方泛。
作业：习题5.5 (1)—(5)
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