角的概念的推广教案
教学目的（要求）：使学生理解任意角的概念，学会在平面内建立坐标系来讨论任意角；
能在 0到 360范围内，找出与此范围外每一个已知角终边相同的角，并判定其
为第几象限的角；能写出与任一已知角终边相同的角的集合；理解正角、负角、
零角等概念，掌握轴线角、象限角、区间角的表示方法；培养数形结合的数学思
想。
教学重点（难点）：重点是任意角、象限角的概念；难点是把终边相同的角用集合和符号
语言正确的表示出来。
教学准备：直尺
教学过程：
一、指导学生阅读教材 P.4-5，回答下列问题：
1．什么是角？它由哪几部分构成？
2．何谓正角、负角、零角？
3．在直角坐标系内讨论角一般有何前提条件？象限角是怎样定义的？
二、讲授新课：
1．正角、负角、零角要从终边相对于始边的旋转方向的不同来定角的正负以及零角的
意义。即当逆时针方向旋转时得到的角就是正角；顺时针方向旋转时得到的角就是负角；
终边没有作如何旋转所得的角就是零角。
2．任意角的概念的推广，其意义在于初中时学的角的取值范围为 0~360，而现在
它的取值范围是任意的。
3．终边相同的角：如果是一个任意的角，与它终边相同的所有角可表示为
k360+，kZ，终边相同的角的集合{|= k360+，kZ}，即任一与角 α终边相同的
角，都可以表示成角 α与整数个周角的和，这些角之间所差的都是 360的整倍数，这里
的不一定是锐角，也不一定是正角。例如：k360–482（kZ），就是指与–482的角终
边相同。
例 1：写出与–255角终边相同的角的集合，并求出 0~360之间终边相同的角。
解：与–255角终边相同的角的集合为{|=k360–225，（kZ）}；在 0~360之间
与–255角终边相同的角为 105。
4．用集合的形式表示象限角以及轴线角（终边在坐标轴上的角）
（1）象限角：
第一象限的角表示为{|=k360＜＜k360+90，（kZ）}；
第二象限的角表示为{|=k360+90＜＜k360+180，（kZ）}；
第三象限的角表示为{|=k360+180＜＜k360+270，（kZ）}；
第四象限的角表示为{|=k360+270＜＜k360+360，（kZ）}；
或{|=k36090＜＜k360，（kZ）}。
（2）轴线角：
终边在 x轴正半轴上的角的集合：{|=k360， kZ}；
终边在 x轴负半轴上的角的集合：{|=k360+180，kZ}；
终边在 x轴上的角的集合：{|=k180，kZ}；
终边在 y轴正半轴上的角的集合：{|=k360+90，kZ}；
终边在 y轴负半轴上的角的集合：{|=k360+270，kZ}；
终边在 y轴上的角的集合：{|=k180+90，kZ}；
终边在坐标轴上的角的集合：{|=k90，kZ}。
5．区间角：
锐角：(0,90)，钝角：(90,180)，注意区间(α,β)与(k360+α, k360+β)的区别。
例 1 在 0到 360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限的
角。
（1）–120； （2）640； （3）–95012´。
例 2 写出与下列各角终边相同的角的集合 S，并把 S中适合不等式–360≤β≤720的
元素 β写出来。
（1）60； （2）–21； （3）36314´。
例 3 已知是第二象限角，问 2
是第几象限角？2是第几象限角？分别加以说明。
解：∵在第二象限，∴k360+90＜＜k360+180，kZ
于是， k180+45＜ 2
＜k180+90, ∵kZ, ∴k=2n或 k=2n+1
当 k=2n时，n360+45＜ 2
＜n360+90, ∴ 2
在第一象限；
当 k=2n+1时，n360+225＜ 2
＜n360+270, ∴ 2
在第三象限；
∴当在第二象限时，∴ 2
可能在第一象限，也可能在第三象限。
类似地，2可能在第三、四象限或 y轴负半轴上。
三、课堂练习：P.7 1~5
四、小结提高：
在 0到 360范围内，找出与此范围外任何已知角终边相同的角的方法，可以按通常
的除法进行，角度是负数时，商是负数，保证余数为正值，且在 0到 360范围内即可。
五、课外作业：P.7 1、3、5
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