§4.5.1 正弦、余弦的诱导公式
●教学目标
(一)知识目标
正弦、余弦的诱导公式.
(二)能力目标
1.理解诱导公式的推导方法.
2.掌握诱导公式并运用之进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明.
3.培养学生化归、转化的能力.
(三)德育目标
通过诱导公式的应用，使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的一条行之有效的途径.
●教学重点
理解并掌握诱导公式.
●教学难点
诱导公式的应用——求三角函数值，化简三角函数式，证明简单的三角恒等式.
●教学方法
讲授法
利用任意角三角函数的定义，推导出公式，并指导学生运用之解决求值、化简以及简单
三角函数式的证明，使学生对转化“矛盾”，解决问题有较深刻的认识，从而达到突破难
点的目的.
●教具准备
幻灯片2张：
第一张：(下图)(记作4.5.1 A)
(课本上图 4—15 是不妥的，图上所画α是钝角，而叙述
的是任意角，这个矛盾是不应该出现的).
第二张：(记作 4.5.1 B)可照图 4—16 作出，但要注意
角的标法，它与图4—15存在同样的问题，要更正.
●教学过程
Ⅰ.复习回顾
师：前面我们学习了任意角三角函数的定义，还学习了一组公式：即终边相同的角的
同一三角函数值相等，对于任意角三角函数的定义我们在研究三角函数在各象限内的符号
时，在研究同角三角函数关系时，都进行了回顾，因此同学们是比较熟悉的，那么哪位同
学还能记得我们学习的公式一，知道它的作用是什么呢?
生：这组公式是sin（ｋ·360°＋α）＝sinα
cos（ｋ·360°＋α）＝cosα
tan（ｋ·360°＋α）＝tanα，(ｋ∈Z）
利用这组公式可以将求任意角的三角函数值转化为求0°到360°角的三角函数值.
师：初中我们学习了锐角三角函数，任意一个锐角的三角函数值我们都能求得，但
90°到 360°角的三角函数值，我们还是不会求，要想求出其值，我们还得继续去寻求办
法：看能不能把它转化成锐角三角函数，这节课我们就来研究这个问题(板书课题).
Ⅱ.讲授新课
师：如图(打出幻灯片 4.5.1 A)，已知任意角α的终边与单位圆相交于点 P(x，ｙ),
由于角 180°+α的终边就是角α的反向延长线，所以角 180°＋α的终边与单位圆的交
点P′与点P关于原点 O对称，由此可知，点P′的坐标是（－x，－ｙ），由正弦函数、余
弦函数的定义可得：(板书)
sinα＝ｙ
cosα＝x
sin（180°＋α）＝－ｙ
cos（180°＋α）＝－x
∴sin（180°＋α）＝－sinα
cos（180°＋α）＝－cosα
于是我们得到一组公式(公式二)：
sin（180°＋α）＝－sinα
cos（180°＋α）＝－cosα
下面我们再来研究任意角α与－α的三角函数之间的关系，如图(打出幻灯片 4.5.1
B)，任意角α的终边与单位圆相交于点 P(x，ｙ），角－α的终边与单位圆相交于点 P
′，因为这两个角的终边关于 x轴对称，所以点P′的坐标是（x，－ｙ），由正弦函数、
余弦函数的定义可得.(板书)
sinα＝ｙ cosα＝x
sin（－α）＝－ｙ cos（－α）＝x
所以sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα
于是又得到一组公式(公式三)
sin（－α）＝－sinα
cos（－α）＝cosα
师：分析这两组公式它有如下的特点：
1.180°＋α、－α的三角函数都化成了α的同名三角函数.
2.前面的“＋”“－”号是把α看作锐角时原函数的符号.即把 α看作锐角时，
180°＋α是第三象限角，第三象限角的正弦是负值，等号右边放“－”号，第三象限角
的余弦是负值，等号右边放“－”号；把α看作锐角时，－α是第四象限角，第四象限
角的正弦是负值，等号右边放“－”号，第四象限角的余弦是正值，等号右边放“＋”号.
这也就是说，180°＋α、－α的三角函数都等于α的同名三角函数且前面放上把α
看作锐角时原函数的符号，可以简记为：(板书)
函数名不变，正负看象限
师：你能根据公式二、三，利用我们前面学过的知识，推导出180°＋α、－α的正切、
余切吗?
生：(有了上节课后的预习，这个推导不是问题)
cotsin
cos
)sin(
)cos()cot( tancos
sin
)cos(
)sin()tan(
cotsin
cos
)180sin(
)180cos()180cot( tancos
sin
)180cos(
)180sin()180tan(
师：所得的结果还符合我们总结的规律吗?
生：(观察、判断)符合.
师：我们把它分别并入公式二、三中.此时公式二中就有180°＋α的正弦、余弦、正切、
余切四个；公式三中就有－α的正弦、余弦、正切、 余切四个.
注意：公式中的α是任意角.
下面我们来看几个例子.
Ⅲ.例题分析
［例 1］求下列三角函数值
(1)cos225° （2） 10
11sin
解：(1)cos225°＝cos（180°＋45°）＝－cos45°＝－ 2
2 ；
(2) 3090.018sin10sin)10sin(10
11sin .(sin18°的值系查表所
得)
［例 2］求下列三角函数值
(1) )3sin(
（2） )21240cos(
解：(1) 2
3
3sin)3sin(
；
(2)
4970.02160cos)2160180cos(21240cos)21240cos(
［例 3］化简 )180cos()180sin(
)360sin()180cos(
解：原式＝ 1)cos(sin
sincos
)180cos()180sin(
sincos
Ⅳ.课堂练习 课本 P30练习1、2、3、4之奇数号题.
Ⅴ.课时小结
本节课我们学习了公式二、公式三两组公式，这两组公式在求三角函数值、化简三角函
数式及证明三角恒等式时是经常用到的，为了记牢公式，我们总结出了“函数名不变，正
负看象限”的简便记法，同学们要正确理解这句话的含义，不过更重要的还是应用，我们
要多练习，以便掌握得更好，运用得更自如.
Ⅵ.课后作业
一、P30练习1、2、3、4之偶数号题.
二、1.预习课本P30~P32
2.预习提纲
(1)推导180°－α、360°－α的正切、余切.
(2)我们总结的“函数名不变，正负看象限”对于公式四、公式五还正确吗?
●板书设计
§4.5.1 正弦、余弦的诱导公式 例 1
P(x,y)、P′（-x,-y）
由正弦函数、余弦函数的定义得
sinα＝ｙ cosα＝x 例 2
sin（180°＋α）＝－ｙ
cos（180°＋α）＝－x
所以sin（180°＋α）＝－sinα， 例 3
cos（180°＋α）＝－cosα
于是，公式二
练习
公式三
公式的简便记法： 小结
函数名不变、正负看象限.
●备课资料
《高中数学的内容、方法与技巧》
《高中数学辅导》
●教学后记
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