0 0 类别 : 教案

§2.9.1 函数的应用举例教案 ●教学目标 （一）教学知识点 1.数学模型. 2.数学建模. 3.数学应用题的能力要求. 4.解答应用题的基本步骤. （二）能力训练要求 1.了解数学建模. 2.掌握根据已知条件建立函数关系式. 3.培养学生分析问题、解决问题的能力. 4.培养学生应用数学的意识. （三）德育渗透目标 1.认识事物之间的相互联系. 2.了解数学在实际中的应用. ●教学重点 根据已知条件建立函数关系式 ●教学难点 数学建模意识 ●教学方法 读议讲练法 首先要求学生通过阅读课本来了解数学模型的概念及数学建模的思想方法，然后通过 讨论与学生一起分析得出数学应用题的解决应达到哪些能力要求，再通过讲解例题与大家 一起总结解答应用题的基本步骤，最后通过相应的课堂练习使学生巩固对数学应用题的认 识，同时加强对相关知识点的熟悉程度. ●教具准备 投影片 第一张：例1（记作§2.9.1 A） 第二张：例2（记作§2.9.1 B） 第三张：数学应用题能力要求及解答步骤（记作§2.9.1 C） ●教学过程 Ⅰ.复习回顾 ［师］前面，我们已经学习了函数的概念、函数的性质以及指数函数和对数函数，并要 求大家在课前对本章作系统地归纳整理，接下来，用已学过的知识举例说明函数的应用. Ⅱ.讲授新课 ［师］大家首先阅读课本P96～P97，来了解一下数学建模的有关知识. 1.数学模型与数学建模 简单地说，数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近 似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述. 数学模型方法，是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来 研究实际问题的一般数学方法. 2.例题讲解 ［例 1］用长为 m的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图），若矩形底 边长为2x，求此框架的面积y与x的函数式，并写出它的定义域. 分析：所求框架面积由矩形和半圆组成，数量关系较为明确，而且题中已设出变量， 所以属于函数关系的简单应用. 解 ： 如 图 ， 设 AB=2x ， 则 CD 弧 长 =πx, 于 是 AD= 2 2 xxm  因此y=2x· 22 2 2xxxm   , 即 y=- mxx  22 4 再由     02 2 02   xxm x  解之得 0＜x＜ 2 m 即函数式是y=- 2 4 ·x2+mx 定义域是：（0， 2 m ） 评述：此题虽为函数关系的简单应用，但应让学生通过此题明确应用题的能力要求及 求解应用题的基本步骤. （1）数学应用题的能力要求 ①阅读理解能力；②抽象概括能力；③数学语言的运用能力；④分析、解决数学问题的 能力； （2）解答应用题的基本步骤 ①合理、恰当假设；②抽象概括数量关系，并能用数学语言表示；③分析、解决数学问 题；④数学问题的解向实际问题的还原. ［师］有了上述说明，我们在看例2时就应有所注意. ［例 2］如图所示，有一块半径为 R的半圆形钢板， 计划剪裁成等腰梯形 ABCD 的形状，它的下底 AB 是⊙O的 直径，上底 CD 的端点在圆周上，写出这个梯形周长 y和 腰长x间的函数式，并求出它的定义域. 分析：要用腰长表示周长的关系式，应该知道等腰梯形各边的长，下底长已知为2R， 两腰长为2x,因此，只须用已知量（半径 R）和腰长x把上底表示出来，即可写出周长 y与 腰长x的函数式. 解：如图所示，AB=2R，C、D在⊙O的半圆周上 设腰长 AD=BC=x，作 DE⊥AB，垂足为 E，连结 BD，那么∠ ADB 是直角，由此 Rt△ADE∽Rt△ABD. ∴AD2=AE·AB，即 AE= R x 2 2 ∴CD=AB-2AE=2R- R x 2 所以，y=2R+2x+(2R- R x 2 ),即 y=- R x 2 +2x+4R 再由 Rx R xR R x x 20, 02 02 0 2 2     解得          ∴周长y与腰长x的函数式为：y=- R 1 (x2+2x+4R),定义域为：（0， 2 R） 评述：例2是实际应用问题.解题过程是从问题出发，引进数学符号，建立函数关系式， 再研究函数关系式的定义域，并结合问题的实际意义做出回答，这个过程实际上就是建立 数学模型的一种最简单的情形. Ⅲ.课堂练习 课本P92练习 1.将一个底面圆的直径为 d的圆柱截成横截面为长方形的棱 柱，若这个长方形截面的一条边长为 x，对角线长为 d，截面的 面积为A，求面积A以x为自变量的函数式，并写出它的定义域. 解：如图，截面的一条边为 x，对角线 AC=d,另一条边 BC= 22 xd  ,所以 S=x 22 xd  ,定义域为：{x|0＜x＜d} 2.如图，有一块边长为 a的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为 x的小正方形， 然后折成一个无盖的盒子，写出体积 V以x为自变量的函数式，并 讨论这个函数的定义域. 解：∵底面边长为 a-2x,∴底面积为(a-2x)2 又长方体高为x,∴长方体体积 V=x(a-2x)2 由 a-2x＞0,得x＜ 2 a 又 x＞0,∴函数定义域为{x|0＜x＜ 2 a } Ⅳ.课时小结 ［师］通过本节学习，大家应对数学建模有所了解，并能根据已知条件建立函数关系 式，逐步掌握解决实际问题的能力. Ⅴ.课后作业 （一）课本P93习题2.9 1.建筑一个容积为 8000 m3，深为6 m的长方体蓄水池，池壁的造价为 a元/m2,池底的 造价为2a元/m2,把总造价 y(元)表示为底的一边长为x(m)的函数. 解：设底面的另一边长为 z(m)，则根据题意有6xz=8000,z= x3 4000 池壁造价为 a·(2x+2z)·6=12a(x+ x3 4000 ) 池底造价为2a· 3 8000 6 8000  a 所以，总造价：y=［12a(x+ x3 4000 )+ 3 8000 a］(元) 2.如图，灌溉渠的横截面是等腰梯形，底 宽 2 m，边坡的倾角为 45°，水深 h m，求横 断面中有水面积 A（m2）与水深 h(m)的函数关 系式 解：如图，作AC⊥CE，BD⊥CE， ∴Rt△BDE面积： 2 1 h2，矩形面积：2h ∴A=S 矩+2SRt△BDE=2h+2× 2 1 h2=h2+2h(m2) （二）1.预习内容：课本P91例2 2.预习提纲： （1）例2的数学模型和哪种函数有关？ （2）试列举有关平均增长率的实际问题. ●板书设计 §2.9.1 函数的应用举例 1.应用题能力要求： （1）阅读理解能力； （2）抽象概括能力； （3）数学语言运用能力； （4）分析、解决数学问题的能 力. 2.解答基本步骤： 例 1 （1）合理、恰当假设； （2）抽象数量关系； 例 2 （3）分析解决问题； 学生练习 （4）数学问题的解向实际问题还原.