0 0 类别 : 课件

1 北大附中深圳南山分 校 选自 2006 年广州市普通高中毕业班综合测试（一） 概 念 清 ， 路 子 正 方 法 优 ， 运 算 准 拒绝勤奋创新的人， 永远不能体会成功的 快乐！ 酸涩的人，永远不能体味甜美的甘醇 ！ 成功 = 艰苦的劳动 + 正确的方法 + 少谈 空话 励 志、勤 学、善 思 、笃 行！ 用微笑面对高考 , 用知识酿造未来 ! 2017年4月27日 2北大附中深圳南山分 校 奋 斗 拼 博 3北大附中深圳南山分 校 [ 广州一模 ] 17.( 本小题满分 14 分） 如图 , 边长为 2 的线段 AB 夹在直二面角 α-l- β 的两个半平面内， A∈α ， B∈β, 且 AB 与 平面 α 、 β 所成的角都是 30 0 ,AC⊥l 垂足为 C ， BD⊥l ，垂足为 D. (Ⅰ) 直线 AB 与 CD 所成的角； （Ⅱ ) 求二面角 C-AB-D 所成平面角的余弦值 ． l β α D C B A 如何合理的选择正确的 方法解“立几”题？ 通过解题的过程您将有 会什么样的收获与启发 ？本节课将为你诠释其中奥 秘 . 4北大附中深圳南山分 校 一、异面直线所成的 角 根据异面直线所成角的定义，求异面直线所成角 , 就是要将其变换成相交直线所成有角 . （ 2) 平移法：即根据定义，以“运动”的观点，用 “平移转化”的方法，使之成为相交直线所成的角 . 具体地讲是选择“特殊点”作异面直线的平行线，构 作含异面直线所成 ( 或其补角 ) 的角的三角形，再求 之 .（ 3)补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体 ，如正方体、平行六面体等，其目的在于易于发现两 条异面直线的关系 . （ 1) 向量法：线线角可转化为两直线的方向向量所成 的角 . | |cos | | | | AB CD AB CD   uuur uuur uuur uuur 异面直线所成角的范围是 :(0 ， 900 ] 注：当余弦值为负值时其对应角为钝角， 这不符合定义，故其补角为所求的角 . 求异面直线所成的角常用的方法有： 5北大附中深圳南山分 校 二、直线和平面所成的角 直线与平面平行或在平面内直线和平面所成的角的是 0º ； 斜线和平面所成的角是：斜线及斜线 在平面上的射影所成的角 . 关键是找 准斜线段在平面内的射影； 直线与平面垂直，直线和平面所成的角是 90º ； 通常是从斜线上找特殊点，作平面的垂线段，构作 含所求线面角的三角形求之 . 求斜线与平面所成的角，还可以利用三面角的余弦公 式 n A B 线面角等于直线的方向向量与 平面的法向量所成角的余角 . 线面角或等于直线的方向向量与 平面的法向量所成角的补角的余 角 . | |sin | | | | AB n AB n   uuur r uuur r 向量法 6北大附中深圳南山分 校 二面角：从一条直线出发的两个半 平面所组成 的图形叫做二面角 . （ 1 ）定义法： 根据定义作出二面角的平 面角 .   A B求二面角常用方法有： （ 2 ）垂线法：用三垂线定理或其逆定理作出二 面角的平面角 . 如图，由三垂线定理 ( 或逆定 理 ), 过二面角 -l- 的一个面上 一点 P 向另一个面作垂线 PA ， 再由垂足 A( 或点 P) 向棱作垂线 AB( 或 PB) ，连 PB ( 或 AB) ，则 PBA 就是二面角 -l- 的平面角 . P B   l （ 3 ）垂面法： 作二面角棱的垂面，则垂面和二面 角的两个面的交线所成的角即是该二面角的平面角 . A 三、二面角 二面角的大小用它的平面角来度量 . BO A α β 7北大附中深圳南山分 校 O 用这个关系式求可 锐二面角的平面角 .ABC DBC S S  cos A D C B H （ 4 ）射影法：如图所示， AO 平面 ，设  AHO=  是二面角 A-BC-D 的平面角，由 cos  = 可得， ABC 与它在过其底边 BC 的平面上的射影  OBC 以及两者所成的 二面角之间的关系： OH AH 求空间各角的大小，通常是转化为平面角来计算 ；其格式为：应先定其位，后算其值，其特点：“夹 议夹叙” . 用间接法求空间角，在答题时一定要规范解题过程 . 小结：正确掌握空间各种 角的定义及取值范围： （ 1）异面直线所成角的 范围： 0º90 （ 2）直线与平面所成的角  的范围： 0º90 （ 3）二面角的平面角的 范围通常认为：0º180 8北大附中深圳南山分 校 O 面面角等于两平面的法向量所成的 角或等于两平面的法向量所成角的 补角 .技巧：先由直觉判断二面角为锐角 还是为钝角然后取等角或补角与之 相等 . mur nr 5. 向量法 : cos | | | | n m n m   r ur r ur借用公式 2 2 2 2 2 cosEF d m n mn     用此公式就可以求出二面角的平面角； 这实为异面直线上两点的距离公式，但 这里不局限于 (0º,90º], 6. 公式法：如图，CBF=  为二面角的平面角  ， 在 CBF 中，由余弦定理可求得， 2 2 2 cosCF m n mn    再由 RtECF 可 得 (0º,180º)   E F m n d B C l m d 9北大附中深圳南山分 校 [广州一模 ] 17.( 本小题满分 14 分） 如图 , 边长为 2 的线段 AB 夹在直二面角 α-l-β 的两个半平面内 ,A α, ∈ B β∈ ，且 AB 与平面 α 、 β 所成的角都是 300 , AC l⊥ 垂足为 C， BD l⊥ ，垂足为 D. ( ) Ⅰ 直线 AB 与 CD 所 成的角； （Ⅱ ) 求二面角 C-AB-D 所成平面角的余弦值．( )Ⅰ 由于 α ⊥ β ，且 AC l⊥ ， 则 AC ⊥ β ，建立如图所示 空间直角坐标系 . 故直线 AB 与 CD 所成的角 为 450 (1, 2,0), (0, 2,0)AB CD   uuur uuur l β α B A D C x y z 2 AC l⊥ 于 C ， BD l⊥ 于 D ， 则 AC=1, BD=1, AD= , CD= 3 所以 A （ 0, 0, 1 ） , B(1,- , 0) C(0,0,0), D(0, - , 0) 2 2 2 2cos , .2| || | 2 2 AB CDAB CD AB CD     uuur uuuruuur uuur uuur uuur 解法一：向量法 10北大附中深圳南山分 校 l β α D C EB A ( )Ⅰ 在平面 β 内过点 B 作 BE DC∥ 且 BE=DC ，连结 CE ， EA ， BC ， AD ，则四边 形 BECD 是矩形，所以 ∠ ABE 就是直线 AB 与 CD 所成的角 .∵AB=2 ， α⊥β ， AC l⊥ ， AC α ，∴ AC ⊥ β. ∵CE BE, AE BE⊥ ∴ ⊥ ∴ ∠ABC=300 ,∴AC=1, 同理 BD=1, CE=1, AE=∴ 2 ∴ ∠ABE=450, 故直线 AB 与 CD 所成的角为 450. 在 Rt AEB△ 中， sin ABE=∠ 22 AE AB  解法二：平移法 解法三：补形法 把空间图形补成熟悉的或完整的几 何体，其目的在于易于发现两条异面直线的关系 . [广州一模 ] 17.( 本小题满分 14 分） 如图 , 边长为 2 的线段 AB 夹在直二面角 α-l-β 的两个半平面内 ,A α, ∈ B β∈ ，且 AB 与平面 α 、 β 所成的角都是 300 , AC l⊥ 垂足为 C， BD l⊥ ，垂足为 D. ( ) Ⅰ 直线 AB 与 CD 所 成的角； 11北大附中深圳南山分 校 B 例 1、长方体 ABCD-A1B1C1D1 ， AB12 cm， AD1cm，求异面直线 A1C1 与 BD1 所成 的角 . 解法一（平移法）：如图，连 B1D1 与 A1C1 交于 O1 ，取 BB1 的中点M，连 O1M，则 O1MD1B， O1 M 于是A1O1M就是异面直线 A1C1 与BD1 所成的角（或其补角），连A1M，在 A1O1M中 D B1A1 D1 C1 A C 2 2 1 2 1 5,AM    2 2 21 11 1 32 1 2 ,2 2 2M BD     2 2 1 1 1 52 1 ,2 2AO    由余弦定理得 1 1 5cos ,5AOM   ∴A1C1 与 BD1 所成的角 为 5arccos .5解法二（补形法）：如图，补一个与原长方体全等 的并与原长方体有公共面 BC1 的方体 B1F ，连结 A1E ， C1E ，则A1C1E 为 A1C1 与 BD1 所成的角 ( 或 补角 ) ， 12北大附中深圳南山分 校 1 1 1 15, 2 5, 3AC AE C E   在 A1C1E 中， 由余弦定理得 1 1 5cos 5AC E   A1C1 与 BD1 所成的角为 5arccos .5 F1 E F E1 B D B1A1 D1 C1 A C 解法三（向量法） ： A1 D1 C1 B1 A B CD x y z 1 1 1(1,0,2) (0,2,2), (0,0,2), 1 2 0A C D B，（，，） 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 5| | | | AC D BAC D B AC D B   uuuur uuuuruuuur uuuur uuuur uuuur所以cos< >= = ， 1（）建立如图空间直角坐标系. 1 1 1 1 1 1 1, 2 | | 5,| AC D B AC D B    uuuur uuuur uuuur uuuur因为（，0），= （1，2，-2）， |=3 5 .51 1 1故异面直线A C、D B所成的角为arccos 13北大附中深圳南山分 校 l β α D CG F B A （Ⅱ）∵ AC⊥β, AC 平面 ABC, ∴ 平面 BAC⊥平面 BDC, 且交线是 BC.  过 D 点作 DF ⊥ BC ，垂足 为 F ，则 DF ⊥平面 BAC. 2 2 3Rt BDC BC AB BD  V在中，， 过 F 点作 FG A⊥ B ，垂足 为 G, 连结 DG，则 DG ⊥AB.所以∠ DFG 二面角 C-AB-D 的平面角． 21 2 6 1 3 .3 33 3 BD DC BDDF BFBC BC       ， 2 2 2Rt ACB DC BC BD  V在中，， 0 3sin 30 .6Rt BGF FG BF  V在中， 2 2 2 26 3 3( ) ( ) .3 6 2Rt DFG DG DF FG    V在中， 1cos .3 FGDGF DG    故二面角 C-AB-D 所 成平面角的余弦值为 1 .3 解法一：垂线法 [广州一模 ] 17.( 本小题满分 14 分） 如图 , 边长为 2 的线段 AB 夹在直二面角 α-l-β 的两个半平面内 ,A α, ∈ B β∈ 且 AB 与平面 α 、 β 所成的角都是 300 , AC l⊥ 垂足为 C ， BD l⊥ ，垂足为 D. （Ⅱ ) 求二面角 C- AB-D 所成平面角的余弦值． 14北大附中深圳南山分 校 由于 D 在平面 ABC 内的射影 F 在 BC 边上， ABF 为 ABD 在平面 ABC 上的射影，设所求的二面角为 , 解法二：射影法 l β α D C FB A cos .ABFABD S S  V V 则有 3 3 .2ABDS V V又Rt ABD 中，AB=2，BD=1， AD= ， 3V又Rt ABD 中，AB=2，BD=1，AD= ， 1 3 .2 2ABDS AD BD  V 6 2 32 3 .3 3V又Rt BDC中，BD=1，DC= ，BC= ,DE= ，CE=1 1 2 6( ) ( 3 ) .2 2 3 3 6ABF ABC ACFS S S AC BC AC CF        V V V1cos .3 故 故二面角 C-AB-D 所成平面角的余弦值为 1 .3 [广州一模 ] 17.( 本小题满分 14 分） 如图 , 边长为 2 的线段 AB 夹在直二面角 α-l-β 的两个半平面内 ,A α, ∈ B β∈ ，且 AB 与平面 α 、 β 所成的角都是 300 , AC l⊥ 垂足为 C ， BD l⊥ ，垂足为 D. （Ⅱ ) 求二面角 C- AB-D 所成平面角的余弦值． 15北大附中深圳南山分 校 l β α B A D C x y z 1 1 0 0 CA n Cb n      uuur ur uur ur由得 0 01 0 0 21 0 2            1 1 1 1 1 1 1 1 1 （，，）（x ,y ,z）z （1，，）（x ,y ,z）x y( 2,1,01, ). r11取 ny则 2 2 2 0 0 21 0 2 0 0 0 0 00 DA n z DB n                     uuur uur uuur uur 2 2 2 2 2 2 2 2 （，，）（x ,y ,z）y由 （1，，）（x ,y ,z）x 2n (0,1, 21, ). r2取y则 1 21 2 1 2 1 1cos , .3| || | 3 3 n nn n n n     ur uurur uur ur uur 故二面角 C-AB-D 所成平面角的余弦值为1 .3 解法三：向量法 设平面 ABD 的一个法向量为 n2=(x2,y2,z2) ， ( )Ⅱ 设平面 ABC 的一个法向量 为 n1=(x1,y1,z1) ， [广州一模 ] 17.( 本小题满分 14 分） 如图 , 边长为 2 的线段 AB 夹在直二面角 α-l-β 的两个半平面内 ,A α, ∈ B β,∈ 且 AB 与平面 α 、 β 所成的角都是 300 , AC l⊥ 垂 足为 C ， BD l⊥ ，垂足为 D. （Ⅱ ) 求二面角 C-AB-D 所成平面角的余弦值． 16北大附中深圳南山分 校 如图，作 CE 、 DF 都垂直 于所求二面角的棱 AB ， E 、 F 是垂足，设所 求二面角 C-AB-D 的平面角 大小为，易求 3 , 1, 2.2CE DF EF CD    解法四：公式法 l β α D C F B A E 2 2 2 2 1 .3cos 2 CE DF EF CD CE DF      [广州一模 ] 17.( 本小题满分 14 分） 如图 , 边长为 2 的线段 AB 夹在直二面角 α-l-β 的两个半平面 内， A α∈ ， B β,∈ 且 AB 与平面 α 、 β 所成的角都是 300 , AC l⊥ 垂足为 C ， BD l⊥ ，垂足为 D. ( ) Ⅰ 直线 AB 与 CD 所成的角； （Ⅱ ) 求二面角 C-AB-D 所成平面角的余弦值． 带着微笑，带着自信走进考场 ！ 18北大附中深圳南山分 校 例 3 、如图，斜三棱柱 ABC—A1B1C1 的底面为一等腰 直角三角形，直角边 AB=AC=2cm ，侧棱与底面成 60º 角， BC1AC ， BC1= cm, 求 BC1 与底面所成的角 . 2 6 分析：欲求 BC1与底面 ABC所成的角 ，关键在于准确地找到 BC1在底面上 的射影 . A1 B1 C1 B A C O x 3 x 解：  ACAB， ACBC1， ∴AC 平面 ABC1，于是平面 ABC1 平面 ABC，作 C1O 平面 ABC ，则点 O在平面 ABC1和平面 ABC的交线 BA上， 在 OBC1中 BC1= (已 知） 2 6 2 2 2 1 x xC 0=x, CO= ,Rt AOC A0 CO AC 433    V令则中 在 RtBOC中，  2 22 2(2 4) 2 6 , x 15 x 2 26( .3x x     解得或舍） 1 1 1 10sin ,4 OCC BO BC    BC1与底面所成的角是 .4 10arcsin 注意到 ACAB和 ACBC1，即 AC 平面 ABC1，所以，平面 ABC1 平面 ABC，故点 C1在底面 上的射影 O在平面 ABC1和平面 ABC的交线 BA上， C1BO为所 求的角 . 19北大附中深圳南山分 校   A C B D H F 解法一 ( 垂线法 ): 如图 , 由已知可 得平面 ABC 平面 , 作 DHBC 于 H ，则 DH 平面 ABC ，作 DFAB 于 F ，连 HF ，则据三垂线 定理的逆定理知 DFH 为所求二面 角的平面角 . 于是在 DFH 中，由余弦定理， 得 3cos 3DFH  即面 ABD 与面 ABC 所成的二面角为 3arccos 3 3 6, , ,3 3DF a HF a DH a  又知 BAD=45º, ABC=30 º ， 得 【回顾】已知直二面角  l ,A ,B , 线段 AB=2a ， AB 与成 45º 的角，与成 30º 角，过 A 、 B 两点分别作棱 l 的垂线 AC 、 BD ，求面 ABD 与面 ABC 所成角的大小 . 20北大附中深圳南山分 校 A C B D H 由于 D 在平面 ABC 内的射影 H 在 BC 边上  ABH 为 ABD 在平面 ABC 上的射影设所求的二面角为 , 则有 cos = S ABH /S ABD ， 代入上式，得 3cos 3  22 3 ,3ABHS a  21 2ABDS a  由解法一，易求得 已知直二面角  l ,A ,B , 线段 AB=2a ， AB 与成 45º 的角，与成 30º 角，过 A 、 B 两点分别作棱 l 的垂线 AC 、 BD ，求面 ABD 与面 ABC 所成角的大小 . （为什 么？） 解法二（射影法）：   l 3arccos 3 故 数学使人美丽！ 21北大附中深圳南山分 校     2 2 2 2 2 22 23 2 2 3 2 cos 2 3 32 a CE DF EF CD CE DF a a a a a           3arccos 3 故   A C B DE F 如图，作 CE 、 DF 都垂直于所求二面角的棱 AB ， E 、 F 是垂足，设所求二面角 C-AB-D 的平面角 大小为，易求 应用公式可得： 3 , ,2 2 aCE a DF a EF   解法三（公式法）： 已知直二面角  l ,A ,B , 线段 AB=2a ， AB 与成 45º 的角，与成 30º 角，过 A 、 B 两点分别作棱 l 的垂线 AC 、 BD ，求面 ABD 与面 ABC 所成角的大小 . 胜利属于自强不息的人！ 22北大附中深圳南山分 校 同 学 们 再 见 ！ 刻 苦 勤 奋