0 0 类别 : 教案

组合(二) 【教材】组合 【目的】1.掌握组合数的两个性质,并能运用它解决一些简单的应用问题. 2.初步掌握“一一对应”与“归纳”的思想. 3.进一步训练用组合数公式及分类(步)计数原理解决实际问题. 【过程】： 一、复习引入 1.复习:(1)组合数的计算公式的两种表示怎样?有何用途? (2)用组合数公式计算 ?310 C , ?710 C 它们有何关系?(相等) 2.引入:这种相等并非偶然,它正是本节课我们要学习的组合数的性质之一. (出示课题) 二、新课 1.组合数的性质一 (1)提出问题:为什么 710310 CC  或 71010710 CC 呢? 46646 CC 吗?将其推广到 mn n m n CC  呢? (2)解决问题:引导学生分三个层次解决. a.用“取法”与“剩法”和组合的概念解释:从 10个元素中取出 7个元素后, 还剩下 3个元素.就是说,从 10个元素中每次取出 7个元素的一个组合,与剩 下的(10-7)个元素的组合是一一对应的,因此, 71010710 CC .(可再举几个例 子) b.推广到一般:一般地,从 n个不同元素中取出 m个元素后,剩下(n-m)个元素. 因此,从 n个不同元素中取出 m个元素的每一个组合,与剩下的(n-m)个元素 的每一个组合一一对应,故 mnnmn CC  c.用组合数公式证明:(见教材) (3)几点说明: a.这时组合数的性质一,当 2 nm  时,用 mnnmn CC  ,可将组合数计算大大简化. b.为了使公式在 nm 时也成立,规定 10 nC . c.公式特征:两边下标同,上标之和等于下标. 2.组合数的性质二 (1)提出问题:见教材101页例4. 分析:本题是一个典型的抽球问题.口袋内7个白球虽然大小相同,但它们仍是 不同的元素,为了便于理解可以看成它们编上了号码:白 1,白 2,…白 7, 从而让学生理解(1)即是从8个不同元素中每次取出3个的组合,取法为 3 8C 种.对于(2)可启发学生:取出的3个球中含有1个黑球,则只考虑在 7个白球中取2个,因而有 27C 种取法.对于(3)可让学生分析得出. 启发:三个问题结果有何关系呢? 38C = 37C + 27C ,你能对此作出合理解释吗? (2)解决问题:引导学生分三个层次解决. a.用组合数定义解释: 38C = 37C + 27C ,即从口袋内的 8个球中所取出的 3个球, 可以分成两类:一类含1个黑球,一类不含黑球.故根据分类计数原理,等式成 立. b.推广到一般:一般地,从 1a , 2a ,… 1na 这 1n 个不同的元素中取出m个 的组合数是 mnC 1 ,这些组合可分成两类:一类含 1a ,一类不含 1a ,含有 1a 的组合是从 2a , 3a ,… 1na 这 n个元素中取出( 1m )个元素与 1a 组成 的,共有 1mnC 个, 不含 1a 是从 2a , 3a ,… 1na 这 n个元素中取出m个 元素组成的,共有 mnC 个,由分类计数原理得: mnC 1 = mnC + 1mnC . c.用组合数公式证明:(见教材) (3)几点说明: a.这是组合数的第二个性质,在下节“二项式定理”中,将会看到它的重要应用. b.此公式在计算、证明的过程中,同样能简化运算. c.公式特征:下标相同,而上标差 1的两个组合数之和等于下标比原下标多 1上 标与高的相同的一个组合数. d.此公式的引入过程,用到了“分类”的思想,“分类”是处理排列组合问题的 重要方法. 3.例题: 例 1 计算 (1) 198200C (2) 69584737 CCCC  ( 210 ) (3) 21025242322 CCCCC   例 2 求证 212 2   nmnmnmnm CCCC 例 3 解方程 xx CC 217217  例 4 求 x xxx CC 321383   的值. (先求出 10x ,代入的所求值为466) 4.练习: 教材第103页练习1、2、3 三、小结: 1.组合数的性质:(1) mnnmn CC  (2) mnC 1 = mnC + 1mnC 2.应用组合数的性质时,要点是当 2 nm  时,可由 mnnmn CC  简化运算;性质二可 正用,即裂项,也可逆用,即并项. 3.三个思想:“取法”与“剩法”一一对应的思想,特殊到一般的归纳思想,“含与 不含其元素”的分类思想. 四、作业:教材第104页 习题第2、4题.