二项式系数的性质教案 1
教学目标
1．掌握二项式系数性质，并会应用其解决一些简单问题．
2．培养学生观察、归纳、发现的能力以及分析问题与解决问题的能力．
3．培养学生从特殊到一般、从一般到特殊的认知能力．
教学重点与难点
二项式系数的性质及应用．
教学过程设计
师：二项式定理的内容是什么？
(教师板书)
师：上一节课，我们已经学会了如何将二项式展开及求展开式中指定项或指定项
系数、二项式系数的方法．今天，我们来研究一下二项式系数的性质．二项展开式中的
二项式系数指的是谁？共有多少个？
师：要研究它的一般规律，我们先通过杨辉三角看看 n为特殊值时，二项展开式
中二项式系数有什么特点？(出示幻灯片，内容如下)(从特殊到一般的思想由此引发)
杨辉三角：
(引导学生猜想，猜想是发现的开始)
生：第一项与第末项二项式系数相等．
(诱导一下)
师：这位同学找的是等量关系，是否完善呢？(用笔尖指杨辉三角中的二项式系数)
生：第二项与倒数第二项的二项式系数相等，第三项与倒数第三项的二项式系数
相等
……．
师：你能把你的想法概括成一句话吗？
生：……
师：在研究等差数列性质时，我们也发现了首末两项，第二项与倒数第二项，…
…它们和相等的规律，当时我们使用了什么术语呢？(学生顿悟)
生：在二项展开式中，与首末两端“等距”的两项的二项式系数相等．
师：有一定理由，当 n取 1～6时，均可验证此规律正确，但如果就肯定它正确，
未免太草率．谁能论证一下这个结论是否正确呢？
师：由此“猜想”得到证明，可以写成性质形式．(板书)
性质 1 在二项展开式中，与首末两端“等距”的两项的二项式系数相等．即：
师：发现了这个性质对解题的帮助体现在哪儿呢？我们来看两个小题．(出示幻灯
片)
1．求(a＋b)6展开式中的倒数第三项的二项式系数．
2．若(a＋b)n的展开式中，第三项的二项式系数与第五项的二项式系数相等，则
n=？
师：谁愿意回答这两个题目．(给学生 1～2分钟考虑一下)
现第五项就是倒数第三项，所以 n＋1=7，即 n=6．
(此时，给出这两个小题，可使学生及时的理解性质 1，并学会简单应用，有利于
知识的巩固、概念的记忆)
师：再看杨辉三角，找特点．
生：二项式系数先增加后减小．
师：有最值吗？
生：有，中间位置可能最大．
师：能再具体一些吗？是哪些项二项式系数最大？
(学生未必一下能说清楚，尽量鼓励学生说，积极参与)
未必简捷，只要正确就要鼓励他往下说，以免打消学生的积极性)
师：这个猜想是否正确呢？我可以告诉大家是正确的，但对它的严格证明，不是
本节课的重点，有兴趣的同学可在课下研究证明．(板书)
性质 2 二项式系数最大的项：
(性质 2的证明不给出，有利于突出本节课的重点，使内容合理，紧凑)
师：性质 2记忆一定要准确，如有疑问时，可以依靠杨辉三角，使特点法验证，
下面我们再来看两个小题．(出示幻灯片)
3．分别指出(a＋b)20与(x＋5y)15的展开式中哪些项的二项式系数最大，并分别求出
其最大的二项式系数(用组合数表示)
4．已知(a＋b)n的展开式中第十项和第十一项的二项式系数最大，求 n的值．
(以上两个小题也是对性质 2的巩固)
师：目前我们已经发现了二项式系数的两个性质，二项式系数还有没有其它规律
呢？在排列组合中，我们做过这样一个题目：(出示幻灯片)
已知集合A={0，1，2｝，求它的所有子集的个数．
师：当时，我们是怎么做的呢？
生：是，刚才求的就是二项式系数的和．(学生呼应，达到前后知识的联系，前一
节中出这个题的一个目的就是为这一节作铺垫)
再相加，但如果集合A中元素个数很多，我们该如何计算呢？二项式系数的和是
否也有规律呢？
(学生思考，诱导一下)
师：不妨再从杨辉三角中挖掘．
生：2n，对吗？
师：大家是否也同意这个同学的想法呢？如果认可，请给予例 1(板书)严格地证明．
师：例 1是一个等式，可以通过证明等式的几条途径来考虑．
(诱导一下)
师：现在我们学习的是二项式定理，等号的两边都可以从这个角度来考虑．(将 2n
换成(1＋1)n)
学生甲：(板演)
师：还有没有其它方法呢？这个等式与二项式定理(黑板上有)比较一下有什么发现
呢？
生：将二项式定理中的 a，b都取成 1，因为二项式定理对 a，b取任意值都是成立
的．
生：(板演)
在二项展开式中，
令 a=1，b=1，得
师：第二种方法是赋值法，是解决与二项展开系数有关问题的重要手段．我们已
经发现并证明了二项式系数的三个性质，它还有一个性质，也是很常用的，我直接给
出，大家看看怎样证明．(板书)
例 2 证明在(a＋b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系
数的和．
师：先翻译成数学语言．(容易发现目标，减少盲目性)
(鼓励学生继续往下进行)
(到了这一步，由于有例 1的铺垫，学生很容易想到赋值法)
生：(板演)
证明：在二项展开式
中令 a=1，b=－1，得
师：例 1与例 2是二项式系数(或组合数)的两个常用的性质，它们的证明方法和结
论都有相当重要的意义．
(例 1、例 2体现了由一般到特殊的思想)
师：例 2得到了奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，但这并不
意味着等号两边的个数相同．当 n为偶数时，奇数项的二项式系数多一个；当 n为奇
数时，奇数项的二项式系数与偶数项的二项式系数个数相同．下面我们来看两个小题：
(出示幻灯片)(考查一下学生是否会算)
5．求(a＋b)10的展开式中的各项的二项式系数和及奇数项的二项式系数和．
学生甲：算 5题(a＋b)10展开式中各项二项式系数和为 1024，奇数项二项式系数和
为 512．
(以上两个小题训练，加深学生对例 1、例 2结论的记忆，遇到问题时，可直接转化
为简单的数学语言或得到具体值)
师：现在我们要来解决一个问题．(板书)
练习 已知(1－2x)n展开式中，奇数项的二项式系数之和为 32，求展开式中哪项二
项式系数最大，并求该项．
生：(板演)
(此题不难，可由学生独立完成，自我检查)
师：今天这堂课的关键是利用杨辉三角形直观性发现并证明二项式系数的性质．
(由学生叙述这四个性质)我们可以把第一个性质简记为二项式系数对称规律，性质 2简
记为最大二项式系数规律，后两个性质所采取的方法——赋值法是解决与二项展开系
数有关问题的重要手段．
师：今天课下的作业是课本 P257练习：1，2，3；P258：9，10，补充三
2)已知：(1－2x)5=a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，求 a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5的值．
3)若二项式(x3＋x－2)n的展开式中，只有第六项系数最大，则展开式中的常数项是
什么？
课堂教学设计说明
这份教案的教学过程可简记为以下几个环节：
1．提出问题：寻求二项式系数的性质；
2．观察杨辉三角发现二项式系数的特点；
3．得三个猜想(性质 1，2，例 1)并逐一证明(除性质 2)，证明后紧跟小练习；
4．用赋值法，证明例 2；
5．练习，加强记忆；
6．小结、作业．
我之所以这样设计这堂课，主要有以下几个原因：
第一，二项式定理这部分内容比较枯燥，需要记忆的知识点也比较多，更要求教
师不断地挖掘规律简化学生的记忆负担．但即使如此，学生的学习仍处于被动状态，
所以这节课，我想充分发挥学生的积极性，化被动为主动，因此我引入了杨辉三角，
利用它图表的直观性很容易发现规律，这个规律是由学生自己发现的，当然也就容易
记忆．
第二，以往我们处理二项式系数的性质这一节时，总是将性质用定论的形式直接
呈现在学生面前，然后自己再说出证明方法，紧接着就是上例题做练习．这样，似乎
是开门见山，直截了当，节约时间，但忽视了很重要的一点．数学教学的实质是思维
过程的教学，“直截了当”则掩盖了“思维过程”，把知识和方法不是作为思维过程
暴露在学生面前，而是作为结果抛给学生，这种“奉送”的做法势必回避了数学思想
的培养．长此以往，学生的数学素质很难得到提高．
第三，分别在得到性质 1，2，例 1，例 2后马上出几个小题加以巩固，题目的深
浅是根据学生的程度不同而定的．但我觉得一定得有，否则四个结论全出来后，学生
再见题目，会有手足无措的感觉，效果不佳．
第四，性质 2的证明是本节的难点，本教案回避了这一点，没有给予证明，因为
本教案是为普通班设计的．而“好班”对性质 2应给予证明，性质 2，证明如下：
最好，再补充下面一个例题：
例 3 求(1＋2x＋x2)10·(1－x)5的展开式中各项系数的和．
解：原式=(1＋x)20·(1－x)5
=(a0＋a1x＋a2x2＋…＋a20x20)·(b0＋b1x＋b2x2＋…＋b5x5)
=C0＋C1x＋C2x2＋…＋C25x25．
由于展开式(1＋2x＋x2)10·(1－x)5=C0＋C1x＋C2x2＋C3x3＋…＋C25x25中对于任意的
x均成立，
则令 x=1，得 C1＋C2＋…＋C25=0，
所以(1＋2x＋x2)10·(1－x)5的展开式中各项系数和为零．
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