抛物线及其标准方程教案
●教学目标
（一）教学知识点
1.抛物线的定义.
2.抛物线的四种标准方程形式及其对应的焦点和准线.
（二）能力训练要求
1.掌握抛物线的定义及其标准方程.
2.掌握抛物线的焦点、准线及方程与焦点坐标的关系.
（三）德育渗透目标
1.训练学生化简方程的运算能力.
2.培养学生数形结合、分类讨论的思想.
3.根据圆锥曲线的统一定义，可以对学生进行运动、变化、对立、统一的辩证唯物主义思
想教育.
●教学重点
1.抛物线的定义及焦点与准线.
2.抛物线的四种标准方程形式，以及p的意义.
●教学难点
抛物线的四种图形，标准方程的推导及焦点坐标与准线方程.
●教学方法
启发引导式
通过回忆椭圆与双曲线的第二定义可引入抛物线的定义，从而推出抛物线的四种标准
方程.
●教具准备
投影片两张
第一张：抛物线的四种形式（记作§8.5.1 A）
第二张：例题与课时小结（记作§8.5.1 B）
●教学过程
Ⅰ.课题导入
［师］我们知道，到一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数的点的轨迹，
当常数在（0，1）内变化时，轨迹是椭圆；当常数大于 1时，轨迹是双曲线；那么当常数
等于1时轨迹是什么曲线呢？这就是今天我们要学习的第三种圆锥曲线——抛物线，以及
它的定义和标准方程.
板书课题“抛物线及其标准方程（1）”.
［师］现在，同学们思考两个问题：
1.对抛物线大家已有了哪些认识？
［生］在物理学中，抛物线被认为是抛体运动的轨迹；在数学中，抛物线是二次函数
的图象.
［师］2.二次函数中抛物线的图象特征是什么？
［生］在二次函数中研究的抛物线，它的对称轴平行于 y轴，开口向上或开口向下两
种情形
［师］如果抛物线的对称轴不平行于 y轴，那么就不能作为二次函数的图象来研究了.
今天我们突破函数研究中的限制，从一般意义上来研究抛物线.
Ⅱ.讲授新课
［师］如图所示，把一根直尺固定在图上直线 l的位置，把一块三
角尺的一条直角边紧靠着直尺的边缘，再把一条细绳的一端固定在三角尺的另一条直角边
的一点A，取绳长等于点A到直角顶点C的长（即点A到直线l的距离），并且把绳子的另
一端固定在图板上的一点 F，用铅笔尖扣着绳子，使点 A到笔尖的一段绳子紧靠着三角尺，
然后将三角尺沿着直尺上下滑动，笔尖就在图板上描出了一条曲线.请同学们说出这条曲线
有什么特征？
［生］这条曲线上任意一点 P到F的距离与它到直线 l的距离相等.再把图板绕点F旋
转90°，曲线即为初中见过的抛物线.
［师］现在我们一起归纳抛物线的定义：平面内与一个定点 F和一条定直线 l的距离
相等的点的轨迹叫做抛物线.点 F叫做抛物线的焦点，直线 l叫做抛物线的准线.下面根据
抛物线的定义来求其方程，大家先想想一般求曲线方程的步骤.
［生］首先建立适当的坐标系，然后在曲线上任取一点坐标设为（x,y)，再根据题意
找出 x与y的关系即为所求方程.
［师］现在大家自己求抛物线方程，根据抛物线定义，知道 F是定点，l是定直线，
从而F到l的距离为定值，设为p，则 p是大于0的数.
以下是学生的几种不同求法：
解法一：以 l为 y轴，过点 F垂直于 l的直线为 x轴建立直角坐
标系（如右图所示），则定点F（p,0)
设动点 M（x,y)，由抛物线定义得：
xypx 22)(
化简得：
y2=2px-p2(p＞0)
解法二：以定点 F为原点，过点 F垂直于l的直线为 x轴建立直
角坐标系（如右图所示），则定点F（0，0），l的方程为 x=-p.
设动点 M（x,y)，由抛物线定义得：
22 yx =|x+p|
化简得：
y2=2px+p2(p＞0)
解法三：取过焦点 F且垂直于准线 l的直线为 x轴，x轴与l交于 K，以线段KF的垂直
平分线为y轴建立直角坐标系，如右图所示，则有F（ 2
p ,0）,l的方程为 x=- 2
p .
设动点 M（x,y），由抛物线定义得：
2)2(
22 pxypx
化简得
y2=2px(p＞0)
［师］通过比较可以看出，第三种解法的答案不仅具有较简的形
式，而且方程中一次项的系数是焦点到准线距离的 2倍.我们把这个方程叫做抛物线的标准
方程，它表示抛物线的焦点在 x轴的正半轴上，坐标是（ 2
p ,0），准线方程是 x=- 2
p .现
在大家开始做课本P118上的练习第1题.
学生们经过一番运算，得出当坐标系变为以过焦点且垂直于直线 l的直线作为 y轴，
原点和抛物线都不变时，抛物线方程为 x2=2py.
［师］一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，
如下表所示：（打出投影片§8.5.1 A）
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
y2=2px(p＞0) （ 2
p ,0） x=- 2
p
y2=-2px(p＞0) （- 2
p ,0） x= 2
p
x2=2py(p＞0) （0, 2
p ） y=- 2
p
x2=-2py(p＞0) （0,- 2
p ） y= 2
p
［师］下面结合表格，看下列例题：（打开§8.5.1 B)
1.已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程.
2.已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2），求它的标准方程.
分析：1.先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出 p，再写出焦点坐标和
准线方程.
2.先根据焦点位置确定抛物线类型，设出标准方程，求出p，再写出标准方程.
解：1.∵抛物线方程为y2=6x
∴p=3
则焦点坐标是（ 2
3 ，0）
准线方程是 x=- 2
3
2.∵焦点在y轴的负半轴上，且 2
p =2
∴p=4
则所求抛物线的标准方程是
x2=-8y
Ⅲ.课堂练习
请学生板演
（1）根据下列条件写出抛物线的标准方程：
①焦点是F(0,3)，
②准线方程是 x=- 4
1 ，
③焦点到准线的距离是2.
解：①∵焦点是F（0，3）
∴抛物线开口向上，且 2
p =3
则 p=6
∴所求抛物线方程是
x2=12y
②∵准线方程是 x=- 4
1
∴抛物线开口向右，且 2
p = 4
1
则 p= 2
1
∴所求抛物线方程是
y2=x
③∵焦点到准线的距离是2
∴p=2
∴所求抛物线方程是
y2=4x、y2=-4x、x2=4y、x2=-4y
(2)求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
① y2=20x,
②x2+8y=0,
③ 2y2+5x=0.
解：①∵抛物线方程为y2=20x
∴p=10
则焦点坐标是F(5,0)
准线方程是 x=-5
②∵抛物线方程是 x2+8y=0,即 x2=-8y
∴p=4
则焦点坐标是F（0，-2）
准线方程是y=2
③∵抛物线方程是2y2+5x=0，即y2=- 2
5 x
∴p= 4
5
则焦点坐标是F(- 8
5 ,0)
准线方程是 x= 8
5
Ⅳ.课时小结
由于抛物线的标准方程有四种形式，且每一种形式都只含有一个参数p，因此只要给
出确定p的一个条件就可以求出抛物线的标准方程.当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以
后，它的标准方程就惟一确定.
Ⅴ.课后作业
（一）课本P119习题8.5 2、4
（二）预习内容：该小节剩下的两道例题.
●板书设计
§8.5.1 抛物线及其标准方程
(一)抛物线 （二）标准方程 （三）例题
定义 推导 （四）练习题
（五）课时小结
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