圆的一般方程教案
教学目标
(1)在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数
特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋
F=0表示圆的条件．
(2)能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．
(3)理解并能初步应用圆系的知识去处理问题．
教学重点和难点
重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，
根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F．
难点：圆系的理解和应用．
教学过程设计
(一)教师讲授：
请同学们看出圆的标准方程：
(x－a)2＋(y－b)2=r2，圆心(a，b)，半径r．
把圆的标准方程展开，并整理：
x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2=0．
我们把它看成下面的形式：
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0 ①
这个方程是圆的方程．
反过来给出一个形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0的方程，它表示的曲线
是圆．
② (配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆？
(1)当 D2＋E2－4F＞0时，方程②表示
(2)当 D2＋E2－4F=0时，方程②表示
(3)当 D2＋E2－4F＜0时，方程②不表示任何图形
∴当D2＋E2－4F＞0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0．
做圆的一般方程．
现在我们来看圆的一般方程的特点：(启发学生归纳)
(1)①x2和y2的系数相同，不等于0．
②没有xy这样的二次项．
同学们不难发现，x2和y2的系数相同，不等于0．且没有xy这样的
二次项，是方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的必要条件．但不是充分
条件．
(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三
个系数，圆的方程就确定了．
(二)研究问题1，求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2(4，2)的圆的
方程，并求这个圆的半径和圆心坐标．
[解法一]设所求圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0．
把已知三点的坐标代入，得三个方程，解这三个方程组成的方程组
∴所求圆的方程为x2＋y2－8x＋6y=0．
[解法二]先求OM1和OM2的中垂线：
y－1=(－2)(x－2) 2x＋y=5
∴所求圆的方程为，(x－4)2＋(y＋3)2=25．
[分析]设动点M(x，y)，|MO|、|MA|都可表示出．
解 设曲线上的动点为M(x，y)．
化简得 x2＋y2＋2x－3=0
配方 (x＋1)2＋y2=4．
∴所求的轨迹是以C(－1，0)为圆心，2为半径的圆．
研究问题3，自P0(x0，y0)作圆x2＋y2=r2的两切线，切点分别为
P1、P2，求证：P1P2所在直线的方程为x0x＋y0y=r2．
[分析]自P0(x0，y0)作图x2＋y2=r2的两切线，切点分别为P1、P2如
具体去求P1、P2的坐标，则运动量是非常大的．为此我们要研究较简单
的办法．
P0P1、P0P2是圆O的两条切线，∠OP1P0=∠OP2P0=90°，则O、P1、P0、P2
四点共圆，P1、P2为两个圆的交点，为此我们从两个圆的交点入手．
即 x2＋y2－x0x－y0y=0．
把(2)代入(1)：x0x＋y0y=r2．
∴P1P2所在直线的方程为x0x＋y0y=r2．
这里同学们可能有点不太明白，为什么由方程(1)和(2)变出的关系
式x0x＋y0y=r2就是过两圆交点的直线．
请同学们回忆一下，我们在前面研究两条曲线交点的有关问题时，
研究过这样一个定理．(课本复习题七，24题)“两条曲线的方程是
f1(x，y)=0，和f2(x，y)=0，它们的交点是P(x0，y0)．求证：方程
f1(x，y)＋λf2(x，y)=0的曲线也经过点P，这里λ是任意实数”．
根据这一定理，(x2＋y2－x0x－y0y)＋λ(x2＋y2－r2)=0．表示过两
圆交点的曲线，为了消去x2，y2项，我们取λ=－1，得曲线方程，x0x
＋y0y=r2，实际上是直线x0x＋y0y=r2．就是说，直线x0x＋y0y=r2过两圆
的交点．
通过这个题，我们有下面一般的结论：
如果圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1=0，和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋
F2=0相交．
(1)当λ≠－1时，方程(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1)＋λ(x2＋y2＋D2x
＋E2y＋F2)=0表示过圆C1与C2交点的圆．
(2)当λ=－1时，方程(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)=0表示过
圆C1和C2交点的直线．
这点的证明留给同学们课后去思考，而这个结论同学们今后在解题
中将会得到应用．应当注意的是：
方程(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1)＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)=0中由于
λ取值的不同，得到不同的圆，这无数个圆形成一个集合，这个集合我
们把它叫做一个圆系．这个圆系就是经过两圆交点的所有圆的集合．
(三)学生课堂练习
1．课本练习题1
(1)点(0，0)．
2．课本练习题2．
(1)圆心为(3，0)，半径为3；(2)圆心为(0，－b)，半径为|b|．
3．课本练习题3．
(四)作业
习题 7．7 5，6，7，8
/7
